2019高中数学 第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词学案 新人教A版选修2-1

1、1.4全称量词与存在量词1.4.1全称量词1.4.2存在量词1.4.3含有一个量词的命题的否定学习目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定(重点，难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定(重点，易混点)自主预习探新知1全称量词与全称命题qr(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，(x)，(x)，表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM

2、，p(x)2存在量词与特称命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“x0M，p(x0)”思考：(1)“一元二次方程ax22x10有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式(2)“不等式(m1)x2(m1)x3(m1)0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式0提示(1)是特称命题，可改写为“存在x0R，使ax22x010”(2)是全称命题，可改写成：“xR，(m1)x2(m1)x3(m1)0的否定是x/R，x2

3、3x30.()1D当xR时，xx2x0，故选D.2172(2)存在一个x0R，使10；(2)是特称命题因为不存在x0R，使10成立，所以该命题是假命题答案(1)(2)(3)2命题p：“存在实数m，使方程x2mx10有实数根”，则“p”形式的命题是()A存在实数m，使方程x2mx10无实根B不存在实数m，使方程x2mx10无实根C对任意的实数m，方程x2mx10无实根D至多有一个实数m，使方程x2mx10有实根答案C3下列四个命题中的真命题为()【导学号：46342031】Ax0Z,14x0024合作探究攻重难全称命题和特称命题的概念及真假判断指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假

4、(1)xN,2x1是奇数；x01(3)能被5整除的整数末位数是0；(4)有一个角，使sin1解(1)是全称命题，因为xN,2x1都是奇数，所以该命题是真命题x01(3)是全称命题因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题(4)是特称命题，因为R，sin1,1，所以该命题是假命题规律方法1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法(1)分析命题中是否含有量词；(2)分析量词是全称量词还是存在量词；(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断2D存在一个负数x，使2x，都有sinxsinxcosx2sinx2，此命题不成立；对于选项D，当x，时，tanx0，命题显然不成立故选B.2全称命

5、题与特称命题真假的判断方法p(1)要判定全称命题“xM，(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题(2)要判定特称命题“x0M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题跟踪训练1(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是()A锐角三角形的内角是锐角或钝角B至少有一个实数x，使x20C两个无理数的和必是无理数1xBA中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x0时，x20，所以B既是

6、特称命题又是真命题；C中因为3(3)0，所以C是假命题；D中对于任一个负数1x(2)下列命题中，真命题是()【导学号：46342032】2Bx(3，)，x22x1CxR，x2x12B(1)对于选项A，4对于选项B，x22x1(x1)22，当x3时，(x1)220，此命题成立；对于选项C，x2x1x1230，x2x1对任意实数x都不成立，此命24题不成立；232p：xR，xx0；因为xR，xxx0恒成立42含有一个量词的命题的否定(1)命题“xR，x2x”的否定是()Ax/R，x2xBxR，x2xCx/R，x2xDxR，x2x(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：14p：所有的正方形都是菱形；

7、0p：至少有一个实数x0，使x310.思路探究先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定(1)解析原命题的否定为xR，x2x，故选D.答案D10(2)解p：x0R，x2x040，假命题1122p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题p：xR，x310，假命题因为x1时，x310.规律方法对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法(1)确定类型：是特称命题还是全称命题(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词(3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定跟踪训练2

8、(1)命题“x0(0，)，lnx0 x01”的否定是()Ax(0，)，lnxx1Bx/(0，)，lnxx1Cx0(0，)，lnx0 x01Dx0/(0，)，lnx0 x01A特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是x(0，)，lnxx1.4注意到当14m0时，即m时，一元二次方程没有实数根，所以p是真命题(2)写出下列命题的否定，并判断其真假p：不论m取何实数，方程x2xm0必有实数根；0q:存在一个实数x0，使得x2x010；r：等圆的面积相等，周长相等；s：对任意角，都有sin2cos21.解这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2xm0有实数根”，其否定形式是p：“存在实数m，

9、使得x2xm0没有实数根”14这一命题的否定形式是q：“对所有的实数x，都有x2x10”，利用配方法可以证得q是真命题这一命题的否定形式是r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知r是假命题这一命题的否定形式是s：“存在R，sin2cos21”，由于命题s是真命题，所以s是假命题.由全称(特称)命题的真假确定参数的范围探究问题1若含参数的命题p是假命题，如何求参数的取值范围？提示：先求p，再求参数的取值范围2全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？提示：全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应(1)若命题p“xR,2x23ax90”的否定是_x0R，0“xR，0”的否定是“x0R，0；(2)x3,5,7,3x1是偶函数；0(3)x0Q，x23解(1)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题