圆周率π计算附简单应用

1、圆周率n的计算及简单应用一、二的来历二即圆周率，定义为：圆的周长与直径之比，是一个常数。通常用希腊字母n来表示。英国人琼斯在1706年首次创用n代表圆周率。但是，他的符号并未立刻被采用，后来，欧拉予以提倡，才渐渐被推广开来。此后n才成为圆周率的专用符号。二的历史是饶有趣味的。对二的研究程度，在一定程度上反映一个地区和时代的数学水平，。实际上，在古代长期使用二=3这个数值，古巴比伦、古印度、古中国都是如此。直到公元前2世纪，中国的周髀算经里已有周三径一的记载。后来东汉的数学家又将n值改为约为3.16。然而直正使圆周率的计算建立在科学的基础上，应归功于阿基米德。他用几何方法证明了圆周率与圆直径之比

2、小于22/7而大于223/71，为此专门写了一篇论文圆的度量，同时这也是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。但是第一次用正确方法计算n值的，是中国魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法即穷竭法，算得n值约为3.14。在我国称这种方法为割圆术。直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。后人为纪念刘徽的贡献，也将圆周率称为徽率。公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把二值算到小点后第七位即3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。同时，祖冲之还找到了两个分数，分别是22/7和355/113。用分数来代替n，极大地简化了计算

3、，这种思想比西方也早一千多年。由中国南朝数学家祖冲之计算出的圆周率，保持了一千多年的世界记录。直到在1596年，才由荷兰数学家卢道夫打破了。他把二值推到小数点后第15位小数，后来又推到了第35位。人们在他1610年去世后，为了纪念他的这项成就，为此在他的墓碑上刻上：这个数，从此也把它称为卢道夫数。之后，随着数学的发展，尤其是微积分的发现，西方数学家计算二的工作，有了飞速的进展。1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出了808位小数的二值。二的人工计算时代随着电子计算机的问世而宣告结束。在20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的二，在70年代又突破这个记录，算到了150万位。到90年

4、代初，用新的计算方法，算到的二值已到4.8亿位。至2010年最新记录是2000万亿。二的计算经历了几千年的历史，它的每一次重大进步，都标志着算法和技术的革新。二、n的定义圆周率（Pi）是圆周长与直径的比值，一般用希腊字母二表示，是一个在数学及物理学中普遍存在的数学常数。二也等于圆形之面积与半径平方之比。因此，二是精确计算圆周长、圆面积、球体积等几何形状的关键值。在分析学里，二可以严格地定义为满足sinx=0的最小正实数x。圆周率5）般定义为一个圆的周长（C）与直径（d）的比:二=C。由图形的相似性可以知道对于任何的图形的C的值都相等。dd这样就定义出了常数二。但是也可以换一个角度-从求圆面积和

5、半径的比来定义。现说明如下：任取半径为R的圆，画出它的内接正n边形，并把多边形的面积记作Sn。显然，当n无限增加时，内接正n边形周长Pn接近于圆周长C，Pn接近于圆周长；同时，Sn也接近一个确定值。这个值叫圆的面积A。也就是说当n无限增加C时，内接正多边形面积组成的无穷数列S3,S4,S5,.Sn,.的极限是A。现在证明：圆周率二又是A和R的平方的比，即（1）A-二R2成立。事实上，这时D=2R,而n,an和园内接正2n边形的面积之间，有明（2）也成立明（2）也成立S2n二nR/2和（3）4二nan的关系。其中（3）成立是显然的，下面证如左图画。O的内接正2n边形并连接它的中心和顶点，这2n条

6、连线就把它分成2n个三角形。把其中相邻的两个三角形记作OACOCB,这时，AB与AC垂直相交于D，于是有（4）OB的面积二CDAB/2。而AB二an是圆内接正n边形的一边，又ODCD=OC二R。因此，从（4）和（5）就可以得到（6）QAC的面积OCB的面积AOB的面积ACB的面积二(ODCD)AB/2二Ran/2。而圆内接正2n边形是由n个这样的相邻三角形组.9ACJ0CB拼成的，因此由（6）就得到（2）。从（2）和（3）就可得到S2n二PnR/2。当n无限增加时，S2n趋向于A，pn趋向于C，所以（7）的两边就分别趋向于A和CR/2，而CR/2DR/2R2,这就得到（1）。这样就从另外一个角

7、度一一用圆面积来定义了二。三、n的性质二的性质怎样？这是人们研究了几千年的的问题。关圆周率的性质及人们对它进行研究的历史，不同的数学家研究方法各不相同。在美国数学史家达维德.尤金.史密斯的著作数论尺规作图及周率一书中，将二的历史分为以下三个时代：（1）自古时至17世纪中期，这个时代大都是求一个正方形等于一个已知圆等的努力，或用目前的初等教科书中所描述的那种纯粹几何方法，来求二的近似值。（2）自微积分起，到德国数学家兰伯特证明二是无理数为止，即约17世纪60年代至18世纪60年代的100年，这一时代的特色，是解析方法替代了古代的几何方法；并认为其著名的研究者为牛顿、莱布尼兹、詹姆斯伯努利和约翰.

8、伯努利、欧拉等。这个时代求二值的方法，不再用古代的“穷竭法”，而是用无穷级数及无穷乘积等。（3）从18世纪中期至20世纪，其特色是探求二的性质，即是否为有理数、代数数、超越数等。F面要说的是二的性质，指的是二是一个什么样的数。例如，它是整数还是分数？是常数还是变量？是有理数还是无理数？等等。古希腊数学家欧几里得在几何原本一书中，就提到了二是常数。中国公元前的古书墨子中也有“小圆之圆与大圆之圆同”的记载；周髀算经中也有“径一而周三”的记载，也认为二是一个常数。虽然古人一直笃信二是一个常数，而且知道它的近似值，但其准确值却无人知晓。多数国家的古人最早都认为二是整数3.在中国，出上述周髀算经等书籍之

9、外，大约在1世纪的九章算术中也是这样认为。在古希腊、巴比伦、埃及、印度、日本中关于数学的史料中也是同样的记载。例如，希伯来人的两个编年史中就有二、3的记载。这种二：、3的认识，大致持续到刘徽之前，即约3世纪。不过古希腊是一个例外-因为阿基米德在公元前200多年就科学地求得实用而较准确的二值3.14.无理数最早由古希腊数学家毕达哥拉斯学派中的西帕索斯发现。他计算出边长为1的正方形的对角线长2。但是2不能用任何两个数的比来表示即不是有理数，也就是是无限不循环小数。在当时叫“没有比”或“不能表示”，后来称之为“不可通约量”。14世纪。数学家布拉德瓦丁最早采用“无理”一词后，至十六七世纪，欧洲人逐渐将

10、无理数纳入运算。荷兰科学家西蒙.斯蒂文、两位英国数学家沃利斯和哈利奥特、法国数学家笛卡尔等都承认无理数。无理数的本质特征是“无限不循环”，由于在各种形式的二的级数展开式中，始终没有找到一个递减的几何级数，也一直没有找到二的“莱布尼兹级数和”的公式，对二值的“马拉松”式的计算竞赛中也一直没有发现任何循环现象。于是，认为二可能是有理数的希望逐渐消失。事实上，早在十五六世纪，印度数学家尼拉斯塔.萨玛亚吉就确信二是无理数了。此后在超越数时期，人们又猜测二是超越数，在1822年，林德曼在连续函数的意义下，用欧拉公式仁0，终于证明了二是超越数。下面分别给出二是无理数好超越数的证明。二是无理数的证明苏格兰数

11、学家詹姆斯.格雷戈里是第一个企图证明二是无理数的人。不过，他的巧妙的证明不很严格，因而不太令人满意。此外，法国数学家托马斯.范特.德.拉尼也在17世纪末对二的物理性做出过推断，这一推断在半个世纪后，有兰伯特证明。1737年，欧拉给出了用无限连分数计算平方根的一般方法，并将自然对数的底展开成三种无限连分数。1761年，兰伯特向柏林科学院提交论文，初步证明了二也是无理数。他用欧拉的方法，并从欧拉发现的e111丄丄2161014和数学家布隆克子爵发现的41232521-兀2+2+2+入手，先得到后来以他姓氏命名的两个连分式：ex-1111111x=.,tanx二.。ex12/x6/x10/x1/x-

12、3/x-5/x兰伯特研究了两个式子的性质之后，得到以下两个定理。定理1如果x是0以外的有理数，则tanx必然是无理数；反之，如果tanx是0以外的有理数，则x必然是无理数。定理2如果x是0以外的有理数，则ex必然是无理数；反之，如果ex为1以外的有理数，则x必然为无理数。最后，他假设x/4，则tanx=1;因为1是有理数，所以由定理1知道，二/4必然是无理数，因而n也必然是无理数。不过，兰伯特的上述证明并不十分严格。下面给出n是无理数的两种证明方法。证法一：首先给出二一个定义。定义理=2minl，0,cos：=0,即二是使cos、=0的最小正数的两倍。按这个定义，利用定积分容易得到半径为r的圆

13、的面积为2行，因此这样的定义是合理的。下面证明:是无理数。利用反证法。设二是有理数，则2二也是有理数，于是存在正整数p,nnq，使得二2=卫。由于丄0(n：J因此存在正整数N使得qn!n!设f是如下定义的2N次多项式f(x)二f(x)二xN(1-X)N!则f满足f(x)二f(1-x),f(k)(x)=(-1)kf(k)(1-x)(k=1,2,)展开f的表达式得对其求导k次(0空k空2N)得12N3市浓。I2Nf(k)(x)nn-k1)CnxnNn:max和,k若0岂kN,显然f(k)(0)Z,因此由f(k)(x)=(-1)kf(k)(1-x)，知f(k)(1)Z;若N乞k乞2N,显然f(k)(

14、0)仏Z,因此显然f(k)(1)Z。N!N令F(x)八(-1)jpgqjf(2j)(x),则利用fk(0)乙f(k)(1)Z得到j=0F(0)Z,F(1)Z。进一步计算得NF(n)(x)二2F(x)八(-1)jpN_jqjfj=0N(2j2)2jNjj(x)十兀Z(j)PCj=0qjf(2j)(x)NjN-j1jJ(2j)(x)二(-1)pqfj=0(2N2)N4N2(x)+pqf(x)=p兀f(x),NjN-jj(2j)-(-1)pqfj=0NN-十1)qf(x)其中利用了f是2N次多项式，因此f(22)(x)=0。再令g(x)二F(x)sin：xF(x)cos：x,则g(x)二F(x)二2

15、F(x)sin二x二pN二2f(x)sin二x。一1一、一，且f(1)f(0)=丄g(1)-g(0)。利用Lagrange中值定理得，存在(0,1)，使得F(1)F(0)=1g()=pN二f()sin二。Tt由f的定义可知o：f()1，于是0：f()sin1N!N!,因此十兀0:F(1)F(0)=pN二f()sin二：:：p：1。N!但已知F乙F(1)乙因此F(1)F(0)Z,与上式矛盾。这就证明了二是无理数。证法二:定理设a,b,n,为正整数，令f(x-(a-,则有n!(1)f(ax)=f(x)；b当x=O,x=a时，f(k)(x)(0岂k乞2n)取值为整数；b假设二是有理数，即:-a,a,

16、b为即约正整数，贝Jf(x)sinxdxTOCo1-5hzb、0为整数，由此可知二不可能是有理数。证明(1)直接验算可得f(x)；f(x)；(b_x)nab(ax)n和abx)n(bx)nEkn!(b)n!n!(2)可由(1)得f(k)(x)=f(k)(a_x).(-1)k,k=1,2,.2n;f(0)=f(k)(旦)(-1)k,k=1,2.,2n;显然bb瞪)=f(0)=0,b由于X=0是f(x)的n阶零点，于是f(k)(0f(k)(旦)=0,k=1,2,.n1;b1n1利用f(x)二一cn(-b)ixn1an4，当i=0,1,n时，f(n(0)cn(-b)(ni)!anJn!1=0n!为正

17、整数，所以f(k)(0)和f(k)(-)均为整数(k=0,1,.,2n),f(2n1)(x)=0;b(3)假设二是有理数，即二二空，其中a,b为即约正整数。b用分部积分法并由(2)的结果，即知ff(x)sinxdx为整数，事实上，由于f(k)(0),f(k(),sin(k)(0),sin(k)C)(k=1,2,.,2n)均为整数，且f(2n30,经过分部积分得:n(2n)of(x)sinxdx二of(x)(-1)(sinx)dx=(_1)nf(x)(sinx)(2n“_ff(x)(sinx)(2nJ)dx00ZEE。ZEE：-f(x)(sinx)(2nJL)沃+ff(x)(sinx)(2n)d

18、x0-f(x)(sinx)(2nN+.+f(2n)(x)sinxdx00)nf(x)的x)2-f(x)(sinx)2(-宀(x)sinx)(f2n(x)co叫,由此可知of(x)sinxdx为整数；另一方面，当0：x：旦时，有b221nnan1nan1nzan1a、nf(x)xb(x)bx(x)b(2)(),!bn!bn!4bn!4bb2n:：)，这就表:：)，这就表a于疋0：f(x)sinxdx(0(n“10n!4b明ff(x)sinxdx不是整数，这个矛盾说明了兀不是有理数，因此兀是无理数。认识了二是无理数，从理论上彻底解决了求二精确值的问题。从理论上讲，人们尽管可以求得它准确到任意有限位

19、小数的值，但实际上永远不可能得到准确值-有无限多位。:是超越数的证明虽然在1822年，林德曼给出了二是超越数的证明，但其证明相当冗长。后来很多数学家对这个证明进行了简化并且给出了初等证明。下面用反证法来说明。定理二是超越数证明：若二是代数数，则二二也是代数数，以片厂门2，.片表示的极小多项式的全部零点，记m二denG)，由L-1，则有(1e)(1e).(1e)=0(1)(1)式也可以写成2n个之和，其中-门；nvn，,为0或1.假设这些有l个不为零，记1,.，那么(1)式写为qe：1.e：=0,q=2n_1。设P为充分大的素数，含多项式f(x)为f(x)二mlpxp(x-：Jp.(x-：JpJ

20、八I(：k)八；e：2f(u)dukikz!0四、n的计算二值是多少和它是怎样被计算出来的？国内外关于二值计算方面的论著颇丰，但归纳起来主要有五种：割圆术、分析法、椭圆积分法、概率模型法。下面就分别以这四种方法来计算二值。割圆术古希腊数学家、物理学家阿基米德是割圆术的鼻祖，因此介绍阿基米德的割圆方法，其他割圆方法都可以从此出得来。阿基米德割圆术的数学思想是：圆周长介于这个圆的内接多边形和外切多边形之间，当这些多边形的边数增加时，圆周长和它们的周长差相差越小；因此，通过计算这些多边形的周长来接近圆的周长-只要多边形的边数增多到某种程度，就能得到符合精确度的圆周长进而得到一定精度的二值如图所示，0

21、为圆心，AB为。O的外切正6边形一边的一半，OA为半径，/AOB二300,0是角/AOB的角平分OAABOAAB5710BCBOA0BACCBOAOBOAAB153OAACOAACABAC该式子与前面的誉嚅比较就得到OA571AC153线。显然此时有等嚅小詈。把这两个式子相加就得到从这个不等式出发，立即可以推出圆外切正6边形、正12边形的周长与直径之比的上界。同样，计算圆内接正多边形的边长，可以确定比值的下界。利用比例关系和勾股定理重复上述过程，一直算到96边形，最后得到1468822774673722236336内接正96边形周长外切96边形周长7n7；7120仃1直径直径4由此可得出223

22、/71：二:22/7。事实上采用较简单的22/7，而不取223/71。阿基米德首次科学而准确地确定223/71厂：:：:22/7。取二两位实用值为3.14或22/7。从理论上指出了一种可以求得任意准确度的二值的计算方法一一-割圆术即“古典方法”。且第一次在科学中提出误差估计及其准确度和如何确定的问题，即用上下界确定近似值；这与其后的祖冲之确定二值的计算方法有异曲同工之妙。分析法随着微积分的发现，数学家们对二值的计算方法的改进也在不断进行，人们开始摆脱由阿基米德开创的“割圆术”-几何方法，而采用分析法来计算二值。下面先来介绍分析法计算二值的简要历史，然后提出一种易于理解的计算方式。1650年，英

23、国数学家沃利斯利用类比、归纳和极限的方法，从计算圆的面积入手，得出二=24466，载于他的著作无穷算41X3X3X5X5X.述中。这是分析法计算二值正式诞生前的“前奏曲”。1671年，詹姆斯.格雷戈里公开他发现的公式：TOCo1-5hz3579XXXXarctanx=x.（1：x乞1）。3579但其没有认识到发现的上述公式已经为计算二值开辟了一个新的时代。如果设式子中的x=1，就可以得到二十1J.。43579由于是莱布尼兹发现这个式子，后人把它称之为“莱布尼兹公式”或“莱布尼兹级数和”。但是，用莱布尼兹公式算二，则收敛太慢，工作量太大。例如，要求出3.14要算628项。而要求出二值的第六位小数

24、，就不多不少正好取2106项。由于工作繁杂，所以很少有人实际用这种方法去计算二值。1676年，微积分的发明者牛顿，发现了一个反正弦函数的展开式：257丄x丄3x丄5xarcsinx=x.。2汉352汉4X67他设式子中的X=1/2，就得到1丄13+十十62232324525246727并用他计算出二的14位小数。由于用上述式子计算值效率并不高，所以牛顿的这个值还不如早于他的古典方法。虽然牛顿计算二的位数不多，但此时由他和莱布尼兹创立的微积分正开始显示强大的生命力一一他的计算是用分析法算二值的第一次小试牛刀。1699年英国数学家阿伯拉罕.夏普假设格雷戈里公式公式里的就得到夏普公式:就得到夏普公式

25、:1337一)111/3(12一63335他用这个公式将二算到小数点后72位，其中71位正确。在夏普之前分析法在提高二值位数上并无辉煌战果。69年后的夏普用分析法把二值增加到72位，才开始了分析法大规模计算二值的实战历程。其后令人眼花缭乱的各种算二值的分析法如雨后春笋。这一漫长历程一直持续了近300年-知道20世纪50年代之后。1789年威加利用欧拉发现的公式：兀1311二5arctan2arctan2arctanarctan。477937将二值计算到143位。1844年德国汉堡的数学家约翰.马丁扎卡赖亚斯.达什用许尔茨.冯.斯特拉斯尼茨基教授发现的公式:1=4arctanarctan170a

26、rctan199将二值计算到后205位年弗格森利用高斯发现的公式：兀111=3arctanarctanarctan44201985将二值计算到后809位。年6月，美国数学家列维.史密斯和雷恩奇，算出了1121位二值，创造了人工算二值的最高纪录。随后随着科学技术的发展，尤其是电子计算机的出现，“人工”算二的时代宣告结束，电子计算机在计算的准确性和速度方面比人工计算快乐许多。在1973年，法国数学家让.吉劳德和同事马丁.玻叶等，用CDC-7600型机花去23小时18分钟，将二值算到小数点后1001250位，登上100万高峰。直到2010年利用“云计算”利用23天已经达到2000万亿位。下面从分析法

27、中具体举例如下：例一：利用沃利斯公式Wallis公式几种表达式如下:或J行（2/厂斗FiF面证明这个公式:X21dx利用分部积分法利用分部积分法(1-x2tir=xl-x2p+/?1/1心2x2(l-x_12dx-0v0=忒1-(1-*)(1-X2ftfc=心丄-叭于是有关系式(5)(5)从上式可知1。=1li二n/4.根据这两个初值条件有刚!/X严为偶数(w+l)!7_,幷为奇数S+1)!4或者（2m）!(2m+1)!1l2m+lr!7T2w-1=(2W+2)2其中n=0,1,2,而由（7）式也可知V厶卿一1厶胡2V厶卿一1厶胡2（8）将（9）式代入（8）式（2m）!（2w-l）!n（2血一

28、2）!*0且有上限，而%_（2机+2艸（2郴+1）（2册-1艸氏（2m+3）（2W+l!2（2m!f（2附+2）4nr+4m+4-f：r-1*（2m+3）（2m+1）4m2+4m+3说明Wm随着m的增大递增，所以如下极限存在，且由夹逼定理得其值limWm=7rWallis公式得证。例二显然Wallis公式比割圆术要易于计算得多，且简单易懂，但是Wallis公式在形势上仍显复杂，且全部乘除算法也难以提咼计算机计算效率。在计算机上计算最好是只有乘除项之和，如：n在式中，实际上令X=cos、：，则有dx二sin、：d：.式变为厶订(I_/二-jsin&(sit?祚朋二fsin6d6I如果令x=sin

29、，则只变换形式不影响结果。可以据此设想利用其它的三角函数也能得到同样的结果。令=f4taifOdO.1(10)注意这里的积分上限改成了二/4，因为二/2宀.二/4的时候ta”1，将导致积分发散。对(10)式做变换hcosJoIcose=ta：r2ode-坦严彌Jodeh.7于是有关系式而初值T=/4，观察规律有7T77T7总结规律得l_4Il_4I心12胡一1)(12)其中m=1,2,3而从式(10)中可知其中m=1,2,3而从式(10)中可知lim=0flt-KO结合(12)式，得到戶-黑十（”册(13)或者(-lf+12m一1(-lf+12m一1(14)显然利用这种方法在形式上要比利用Wa

30、llis简单得多，计算机执行运算的时候也能更加快速。例三椭圆积分法椭圆积分法建立在椭圆积分变换的理论上，始作俑者是印度数学家拉马努金。他在1914年“模方程和二的逼近”一文中，给出了14个计算二的公式。其中之一，是关于椭圆积分变换理论和二的快速逼近之间，联系紧密的“拉马努金公式”（“LM”）122；:-（4n儿110326390n、二亦n炖（诙）。用“LM”每计算一项就可以得到8位的十进制精度，“LM”的(1/4人(1/2人(3/4人(n!)3(1/4人(1/2人(3/4人(n!)3一个有趣的“变种”是994n2110326390n这里(Cn)是递增阶乘，即G)=c(c1)(c-2).(cn-

31、1)不过，拉马努金没有给出公式的哦证明，仅仅给出了一些不充分的解释。直到1987年，才有加拿大的波尔稳兄弟给出证明。只取“LM的前两项就有122r（4、22r（41儿1103263901匚二莎苛（跻）9801荷（站），由此可以算出7：3.1415935.：3.14159.-得到了六位准确二值。由此可见，“LM是一个收敛很快的公式。例三概率法首先用概率法计算二值的是法国数学家蒲丰，该实验也被称之为蒲丰实验，而此类问题也被称为蒲丰问题。我们先给蒲丰实验做一个通俗的说明。假设下图中平行线距离为4厘米，针长2厘米。将任意掷向向平耳/胪;行线时，可能相交-有一端碰到平行线也二f一-算相交，也可能不相交。

32、问题是，大量多次投掷时，投掷总次数n与相交次数k的比值即n/k=?根据“公平竞争”原则，显然每一毫米长的针与直线相交的次数为k/20，没2毫米则为2k/20，等等-针与直线可能相交的次数与针的长度成正比。当然，这个结论对上图所表示的任意形状的、总长位2厘米的针也适用。不过，弯针可能有几处和直线相交，就必须把每个交点都算进去。现在，改用用直径4厘米，周长4二厘米长的圆形针，任然将它投向上述平行线。显然，每次投掷的必然结果是，和两条直线都相交（相切也视为相交）。如果哦投掷n次，则相交次数必为2n次。对比以上实验，并用上述可能相交次数与长度成正比的结论，就有2/（4二）=k/2n，也就是n/k二二。

33、1777年，蒲丰在1760年写成的或然算术试验出版，书中给出了掷针问题的一般情况的解答。如果向画有等距离且距离为a的一组平行线投掷长为1（1:a）的直针，那么，直针与直线相交的概率为p=21/（a二）。以下证明这一结论。如左图所示，设AD与平行线中的任意一条MN相交，显然针不可能和两条线相交，只有当且仅当s二BC乞（Isin）/2的时候，针和MN才相交。又建立一个s随变化的坐标系，同时画一个长为二、宽为a/2的矩形。那么，这个矩形的面积表示什么呢？不管线与针相不相交，都有s=BCa/2和汀。所以，矩形面积表示相交和不相交次数的总和即总投掷次数。再在上图所示的位置画正弦曲线s=（lsin）/2的

34、半周。显然，阴影部分内的点就表示线与针相交，而阴影部分的面积就表示相交的次数。这就得到概率p二k/n二阴影面积/矩形米面积二ld：si-（:）=21022a兀，就是p=k/n=2I/（a二）。这也证明了前述p=2l/（a：），并且得到投针法求二的一般公式專=2nl/（ak）。此时，如果向前面那样假设2I=a就得到:二n/k。蒲丰实验引出过很多数学和其他学科的成果。例如，著名的蒙特卡罗方法即统计方法，他的滥觞就是蒲丰实验。再如，投针问题用频率代替概率，还提供了一种概率模型，计算这种模型的概率叫几何概率。此外，蒲丰实验还启发一门重要的数学分支-积分几何的诞生因此蒲实验的理论实践意义都十分重大。五、

35、二的应用二是一个奇迹般的数字，数学公式、定理中几乎无处不在，而随着数学的发展，它也会继续在数学以及其他学科的大海里继续漫游。下面举例说明二在数学及其他学科当中的应用。例一二与曲线图形面积有关圆或其中一部分的问题要涉及二，这已不足为奇，但求非圆或圆弧围成的图形面积时，也会出现二。例如求心形线r二a(1cos(a0)所围平面图形的面积A，有A%10232a2A%10232a2二12r2=2.a(1cos2dr出现二的原因，还是求面积过程中积分运算的结果。再看一个一个名例：求正弦交流电i=Imsi的平均值Ipj。这就相当于求正弦曲线所围成的曲线图形面积。如图所示正弦交流电的正负半周对称，所以，在一个

36、周期内交流电的“平均值”为0，这种含义的“平均值”没有任何意义。而前述Ipj则是先分别取正负半周的绝对值再“平均”，这是有意义的；这种Ipj又叫均绝值。因此，要求它的Ipj就要先求得正半周的平均值。可以算得电流i的Ipj是出21PJ2lmsintdt/(T/2)=兀即平均值是最大值Im的210.637倍；对电动势和电压也存在这倍数关系。在这里，二又一次出现在计算结果中nLaOn例二二与旋转体体积如图所示，任意曲线y=f(x)，他在区间-a,b上绕轴旋转，并与垂直于X轴的两个平面(这两X个平面由x=-a和x=b绕X轴旋转而成)的一部分构成一个旋转体。其体积微元即阴影部分的体积就是二y2dx，所以

37、他的体积V二b：f2(x)dx，-a结果中必然含有二可见，星形线旋转体的体积公式也含有二例四二与伯努利难题雅各布.伯努利对无穷级数很有研究，也求过一些无穷级数的和，但在求1匕二匕.一一“伯努利级数”时却一筹莫展。在伯努利223242死后两年，欧拉用奇妙、大胆的类比求得这个和为二2/6。以下是欧拉的求法:假设有一个2n次代数方程TOCo1-5hzbo-b|XTOCo1-5hzbo-b|X这就是著名的1$4-。这就解决了伯努利难题。px6223242欧拉采用的类比方法虽然巧妙、大胆，然而有失严密。因为，虽然“一元n次方程有n个根”成立，但既无“一元无限次方程有无限一（_1）ndx=0。（1）式（1）有2n个不同的根一“_2.Jn。如果两个代数方程有相同的根，而且常数项相等，那么这两个方程其他项的系数也应该分别相等，那么有222bo_bixb2X-.（_1）tnx=0（1-2）（1-2）（12）。P1卩2Pn比较上式两边x2的系数。就得到1b二bo（.2.22）。（2）_1_2n考虑三角形方程sinx=0，他有无穷个根:0,_二,2二,。将sinx展开为级数后，把方程两边除以x,就得到1-x2/3!x4/5!-x个根”的定理，也不知道一元无限次方程与系数的关系。欧拉个人也/7!=0。（3）显然（3）式的根是：:,2二,。本来（3）式的