弹性力学的变分原理课件

1、变分原理- from Wikipedia & 百度百科 把一个物理问题用变分法化为求泛函极值（或驻值）的问题，后者就称为该物理问题的变分原理。 物理学的一条基本原理：力学中的虚功原理、最小势能原理、最小余能原理、哈密顿原理等，电磁理论，几何光学中的费马原理，量子力学等； 变分法： 变分法是处理泛函的数学领域，和处理函数的普通微积分相对。 变分法最终寻求的是极值函数：它们使得泛函取得极大或极小值。弹性力学的变分原理 为什么要在弹性力学中引入变分原理弹性力学变分原理是弹性理论的重要组成部分,通过古典变分学用功和能的观点表述弹性力学基本理论，并发展成为弹性力学近似解法和当代数值计算方法理论基础的组成

2、部分。变分原理已成为有限元法的理论基础，而广义变分原理已成为混合和杂交有限元的理论基础。动机-Motivation问题的引入弹性力学问题的两种基本解法1、建立偏微分方程边值问题（直接法）精确，但往往求解困难，有解答的问题有限问题的引入弹性力学问题的两种基本解法2、建立变分方程：泛函极值问题，近似解法优点：最终可以转化为求函数的极值问题，化为代数方程，为近似解的寻求提供方便。也是数值方法的理论基础。两种方法具有等价性,且力学问题中的泛函多为能量,是标量,应用方便。门与窗户，前门与后门11-1 变分法的预备知识数学上的变分法：求解泛函的极值方法 （一般）弹性力学中的变分法：（具体）以能量为泛函，求

3、能量泛函的极值方法，又称能量法。严格地，能量法与变分法不尽相同，变分法含义更广。关于变分法的若干基本概念：一、函数与泛函1、函数函数是实数空间到实数空间的映射2、泛函是函数空间到实数空间的映射 （实例）例：设-面内有给定的两点和，如图 所示，连接这两点的任一曲线的长度为 显然长度L依赖于曲线的形状，也就是依赖于函数y(x)的形式。因此，长度就是函数y(x)的泛函。 一般情况下，泛函具有如下形式：二、函数的微分 与变分1、自变量的微分dx2、函数的微分-因变量增量3、函数的变分-与微分对应，仍为函数注意到：与(*)式比较，可见：即：结论：导数的变分等于变分的导数，或变分 记号与求导记号可以互换。

4、三、泛函的变分一般情况下，泛函可写为：1、按照泰勒级数展开法则，被积函数 f 的增量可以写成 上式中右边的前两项是f 的增量的主部，定义为 f 的一阶变分，表示为2、再考察定义泛函I 的变分结论：变分运算和积分运算可以交换次序与上式比较，可得：* 导数的变分等于变分的导数四、泛函的驻值与极值1、函数的驻值和极值-对比理解如果函数y(x)在xx0的邻近任一点上的值都不大于或都不小于y(x0)，即 y(x)y(x0)或（峰、谷） 则称函数y(x)在xx处达到极大值或极小值。极值的必要条件为 极值必是驻值，但驻值不一定是极值。取极值的必要条件为 ，其充分条件由二阶导数来判定2、泛函的驻值和极值其中：

5、五、欧拉方程与自然边界条件 因为取驻值，所以为欧拉微分方程，可见上述泛函的驻值问题等同于欧拉微分方程边值问题的解。如果问题是：自变函数事先满足的边界条件称为本质边界条件。实例本章学习重点：建立力学概念本章包含了非常多的力学概念，这些概念是有限元及其它力学分支中普遍用到的，需对其内涵有一定了解公式的推导、证明过程理解思路即可公式推导较多、较繁，但11 2 应变能与余应变能1.应变能-物体因变形而储存的能量。功和能的关系-热力学定律：可逆过程外力做功动能、应变能不可逆过程热能、声能 耗散拉伸试样发热、与周围环境热交换声子振动、声波传播在弹性力学中，仅研究可逆过程。对于静力学问题，认为外荷载对弹性体

6、所做的功全部转化为弹性体的应变能，并贮存于弹性体内。若卸去外荷载，弹性体将释放出全部的应变能，并恢复其未受载时的初始状态。 弹簧准静态加载分析：从A状态到B状态外荷载做功的增量：弹性体应变能增量:对于弹性静力学问题，根据热力学第一定律： 热力学第一定律The First Law of Thermodynamics就是不同形式的能量在传递与转换过程中守恒的定律，表达式为Q=U+W。表述形式：热量可以从一个物体传递到另一个物体，也可以与机械能或其他能量互相转换，但在转换过程中能量的总值保持不变。-From 百度百科“物理名词”连续介质力学广泛的应用热量与机械能的交换-蒸汽机有趣的发展历史：迈尔(医

7、生)、赫姆霍兹、焦耳微元体在某一应变状态获得的应变能增量为其中， 为弹性体变形过程中的位移增量。 利用高斯公式得：高斯公式考虑到应力张量的对称性，有应力张量对称性广义高斯公式哑标可交换定义：单位体积弹性体的应变能(或称应变能密度)为 与前式有：得比较比较:此式称为格林(Green)公式，它适用于一般材料，不局限于线弹性材料。由于弹性体的应变能由其变形状态唯一确定，它是状态函数，与变形过程无关，故有在状态 的应变能密度为 、 为 0 、 的某个中间状态。积分代表增量不断累积的过程 弹性体应变能是状态函数，故上式积分与路径无关。 对于线性问题，可假设在变形过程中应力、应变分量等比例增长。 2. 余

8、应变能、余应变能密度对于单向拉伸问题应变能密度为 引入另一标量函数：即余应变能密度 余应变能反转自变、因变关系一般地，应变能密度和余应变能密度满足关系 对于线弹性体11-3 广义虚功原理容许位移容许应变容许应力虚位移虚应变虚应力虚位移原理虚应力原理功互等原理11-3 广义虚功原理一、真实位移、真实应力和真实应变即几何连续条件即平衡条件它们构成弹性力学问题的解。二、容许位移、容许应变 只对应于一个连续的位移场，但不一定对应于一个平衡的应力状态，即与 对应的应力不一定满足平衡条件；而真实位移必对应一个平衡的应力状态。 容许位移和应变不一定是真实的位移和应变。但反之，真实的位移和应变必然是容许的。

9、比较3、容许应力比较与容许应力对应的应变与位移不一定满足协调方程和位移边界条件，不保证物体内部存在单值连续的位移场，但真实应力对应于单值连续的位移场。容许应力不一定是真实的应力。但反之，真实的应力必然是容许的。 4、虚位移、虚应变弹性体平衡位置附近，几何约束条件容许的微小位移，或两组容许位移之差，称为虚位移或位移的变分，记为5、虚应力弹性体平衡位置附近，平衡条件所容许的微小应力改变，或两组容许应力之差.但在位移边界上引起一个容许的面力6、广义虚功原理外力在容许位移上所做的功等于容许应力在与该容许位移相应的容许应变上所做的功。简述为，外力虚功等于内力虚功。 证明：移项后 说明： 1、证明中，涉及

10、到平衡、几何方程，并未涉及到物理方程。故在小变形及连续性条件下，适用于任何材料。 2、容许应力与容许位移、容许应变可以是同一弹性体中不同的受力状态和变形状态，彼此独立。 3、（a）平衡条件、（b）几何条件、（c）广义虚功方程三者间的关系-由其中任两个条件可得第三个。由（a）、（b) (c)已证明由（b）、（c) (a) 表述为：若有一组内外力，对于任意容许位移和相应的容许应变，使广义虚功原理成立，则这组内外力是平衡的。证明因为广义虚功原理几何条件分部积分由（a）、（c) (b) 类似可证明。 表述为：若有一组位移和应变，对于任意容许应力，使广义虚功原理成立，则这组位移和应变是可能的。关系：平衡

11、条件几何条件平衡条件几何条件广义虚功原理7、虚位移原理-发生虚位移由广义虚功原理：并取再考虑广义虚功原理虚位移原理外力虚功=内力虚功即为：或称：虚位移原理 平衡方程应力边界条件虚位移原理右端项代回到虚位移原理，即得分部积分拆分边界虚位移是任意的，可得8、虚应力原理-发生虚应力由广义虚功原理：由广义虚功原理：外余虚功=内余虚功再考虑广义虚功原理边条合并表明在已知位移的边界上，虚面力在真实位移上作的功，等于整个弹性体的虚应力在真实应变上作的功。即虚应力原理。虚应力原理 几何方程位移边界条件分部积分拆分边界应力张量对称性移项再考虑虚应力方程，可得由于变分的任意性9、功的互等定理 广义虚功方程应用于同

12、一弹性体两种不同受力和变形状态下的解答。若取第一种应力，第二种位移和应变，则：若取第二种应力，第一种位移和应变，则：故有交换哑标弹性张量对称性注意：1、功的互等定理仅适用于线弹性体。2、可进一步得到位移互等、反力互等定理。11-4 最小势能原理、位移变分方程虚位移原理称为位移变分方程，也称Lagrange变分方程。表示：弹性体应变能的变分等于外力虚功。另：外力大小和方向在 过程中不变。对于线弹性体： 由此可见，在满足几何条件的所有可能的位移中，实际存在的位移使总势能变分为零，即：使总势能泛函取驻值。 进一步可以证明，对于稳定平衡状态， ，这个驻值为极小值。又因为解具有唯一性，由此可以导出：最小

13、势能原理：在所有变形可能的位移中，实际存在的位移使总势能取最小值。它等价于平衡方程和应力边界条件。证明如下：必要性也成立。所以变分问题 的欧拉方程为平衡方程 ，自然边界条件为应力边界条件。证明是极小值 对于线弹性体，其总势能为总势能泛函又：Taylor展开对于稳定平衡，应力存在变分由：而：得：所以各向同性弹性体115 最小余能原理、应力变分方程1、在第二节已经证明了同样，可以证明证明如下2、由虚应力原理即应力变分方程3、由于 是边界Su上给定的已知函数， 所以右端项中变分可以移到积分号前面，并记 由此可见，在所有静力可能的应力中，实际存在的应力使弹性体的总余能泛函取驻值，进一步可以证明，对于稳

14、定平衡状态，这个驻值为极小值。又解具有唯一性，由此可以导出最小余能原理：在所有静力可能的应力中，实际存在的应力使弹性体的总余能取最小值。 得到:弹性体总余能证明最小余能原理等价于几何方程和位移边界条件。 为零，仅为公式推导方便反之，必要性也成立 变分问题 的欧拉方程为几何方程，自然边界条件为位移边界条件。第一节 变分法的预备知识第二节 应变能与余应变能第三节 广义虚功原理 第四节 最小势能原理 位移变分方程 第五节 最小余能原理 应力变分方程 第八节 基于最小势能原理的近似计算 第九节 基于最小余能原理的近似计算 数学工具基本概念一般原理推论应用最小势能原理：在所有变形可能的位移中，实际存在的

15、位移使总势能取最小值。最小余能原理：在所有静力可能的应力中，实际存在的应力使弹性体的总余能取最小值。 找到变形可能的位移 表示出弹性体的总势能或其变分 研究总势能泛函驻值条件 找到静力可能的应力 表示出弹性体的总余能或其变分 研究总余能泛函驻值条件11-8 基于最小势能原理的近似计算基于最小势能原理，如果能够列出所有变形可能的位移，其中使总势能取最小值的那个位移，就是真实的位移。问题在于：我们不可能列出所有变形可能的位移，一般只能选其中的一组，故解具有近似性。但：如果事先给出的变形可能位移中含有真解的形式，则一定可以求出真解。1. Ritz 法不失一般性,设可能位移为上式所示的位移总能满足位移

16、边界条件 求位移的问题 求系数m,m,m其中,含有应变能和位移的变分,如何实现?改变函数组合中不同函数的权重或贡献代入,有:m，关于m,m,m的3m个线性代数方程组 2.伽辽金法 由:得到:如果选择的位移不仅满足位移边界条件，而且还满足应力边界条件，则上式成为关于m,m,m的3m个线性代数方程组 得到:例1.求简支梁的挠曲线满足端点基本边界条件:分析:关键是求J 的表达式,设:w(0)0， w(l)0由最小势能原理 ，得到:代入:所以有:跨中挠度为材料力学结果偏小2%左右例2.平面矩形薄板受均布压力作用1) 写出位移边界条件平面应力问题3)取一项 计算2) 设满足位移边界条件的位移函数体力为零得到:求出:根据:最小势能原理：在所有变形