第6章z变换离散时间系统的z域分析ppt课件

1、第6章 z变换、离散时间系统的z域分析6.1 引言6.2 Z变换的定义及收敛域6.3 逆Z变换 6.4 Z变换的根本性质6.5 Z变换与拉普拉斯变换的关系6.6序列的傅氏变换6.7 利用Z变换求解差分方程6-8 离散系统的系统函数及频率呼应6-1 引言 信号与系统的分析方法有时域、变换域两种。一.时域分析法 1.延续时间信号与系统： 信号的时域运算，时域分解，经典时域 分析法，近代时域分析法，卷积积分。 2.离散时间信号与系统： 序列的变换与运算，卷积和，差分方程 的求解。二.变换域分析法 1.延续时间信号与系统： 信号与系统的频域分析、复频域 分析。 2.离散时间信号与系统： Z变换，DFT

2、(FFT)。 Z变换可将差分方程转化为代数方程。6-2 Z变换的定义及收敛域一.Z变换定义： 序列的Z变换定义如下： *实践上，将x(n)展为z-1的幂级数。 其中z为复变量，以其实部为横坐标，虚部为纵坐标构成的平面为 z 平面。二.收敛域 我们知道，一个序列的Z变换有无意义，首先要看它能否收敛，而收敛与否的判别又取决于该变换收敛域的详细界定， 所以，讨论Z变换，就必然要思索其收敛域确实切情形。 1.定义: 使序列x(n)的z变换X(z)收敛的一切z值的集合称作X(z)的收敛域.2.收敛条件： X(z)收敛的充要条件是绝对可和。 要使上式成立，除和序列x(n)有关以外，和z变量在z平面上取值的

3、域也有关。假设对于某个序列，称能使上式成立的z变量取值的域为X(z)的收敛域, 那么可以推想, 对于不同的序列, 就有不同的收敛域。 收敛域普通用下式表示： Rx-|z|Rx+ 收敛域普通是用一个环状域表示的，这里Rx-和Rx+分别是两个圆的半径，收敛域就是用这两个圆构成的环状域表示的，Rx-和Rx+称为收敛半径。当然Rx-可小到零， Rx+可以大到无穷大。 jImzRx+Rx-Rez0z变换的收敛域常用的Z变换是一个有理函数，可用两个多项式之比表示： 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点，分母多项式的根是X(z)的极点。在极点处X(z)不存在，因此可以推想收敛域中一定没有极点，那么收敛域也

4、一定是以极点为边境。总结以上所述, Z变换收敛域的特点是： (1) Z变换只存在在收敛域中，不同的序列有不同的收敛域。(2) 收敛域用环状域表示，且总是以极点为边境。0n2n1n (n).有限长序列三.几种序列的z变换及其收敛域其收敛域应包括即充溢整个Z平面。例1 求序列的Z变换及收敛域。 解：这相当时的有限长序列，例 2 求x(n)=RN(n)的Z变换及其收敛域。解:x(n) =RN(n)是一个有限长序列，它的非零值区间是n=0N-1，根据上面的分析, 它的收敛域应是0|z|。x(n)n0n1.1. 右边序列*第一项为有限长序列，第二项为z的负幂级数,为了分析它的变换收敛域的特点，将其变换分

5、成两部分，一部分是n0的部分，另一部分是n0的部分，分析如下：收敛域第一项为有限长序列,其收敛域为0|z|;第二项为z的负幂次级数，其收敛域为 Rx-|z|;两者都收敛的域亦为Rx-|z|z|时，这是无穷递缩等比级数，收敛。收敛域：*收敛域一定在模最小的极点所在的圆内。 双边序列指n为恣意值时,x(n)皆有值的序列，即左边序列和右边序列之和。 .双边序列0nx第二项为左边序列，其收敛域为：第一项为右边序列(因果)其收敛域为：当Rx-Rx+时，其收敛域为例 ：x(n) =a， a为实数，求其Z变换及它的收敛域。解： 这是一个双边序列，它的Z变换求解如下： 在收敛域中，Z变换为 该例题要求|a|1

6、，此时x(n)=a|n|是一个收敛序列；假设0a1，它的波形和收敛域如下图。 图 波形(a)与收敛域(b)下面进展简要的总结(1) 收敛域中无极点，收敛域普通以极点为边境。 (2) 有限长序列Z变换的收敛域是整个z平面，特殊点z=0, 另外思索。(3) 右序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆外，特殊点z=0, 另外思索。(4) 左序列Z变换的收敛域是在某个圆的圆内，特殊点z=0, 另外思索。(5) 双边序列Z变换的收敛域是环状域，特殊点z=0, 另外思索。(6) 特殊点的思索： 序列x(n)的n值全部取正整数，收敛域包含z=点，例如因果序列的Z变换的收敛域包含z=点； 序列x(n)的n值全部取负整

7、数，收敛域包含z=0点。除了上面两种情况以外，也就是说, n的取值既有正整数，也有负整数时，收敛域不包括z=0, 两点。表 常见序列的Z变换及其收敛域 6-3 Z逆变换一.定义：知X(z)及其收敛域,反过来求序列x(n)的变换称作Z反变换。z变换公式：逆z变换是一个对 进展的围线积分，积分途径C是一条在Xz收敛环域Rx-，Rx+以内反时针方向绕原点一周的单围线。0c直接计算围线积分比较费事，普通不采用此法求z反变换，求解逆z变换的常用方法有：留数法幂级数法部分分式法二.求Z反变换的方法1.留数法 令F(z)=X(z)zn-1， F(z)在围线c内的极点用zk表示，假 设有M个极点。根据留数定理

8、下式成立: 假设极点zk是单阶极点，根据留数定理，极点留数用下式求解： ResF(z),zk=(z-zk)F(z)|z=zk 假设极点zk是N阶极点，根据留数定理，极点留数用下式求解： 根据留数辅助定理下式成立： 根据留数辅助定理下式成立： 但是上式成立需求一个条件，条件是： 假设X(z)用有理式X(z)=P(z)/Q(z)表示，P(z)和Q(z)分别是M 与N阶多项式，要求下式成立： N-M-n+12 或者写成 N-M-n1 例 1 知X(z)=(1-az-1) -1，收敛域是|z|a|，求其逆Z变换x(n)。 解 由于收敛域包含点，可以推想x(n)是一个因果序列。 为了用留数定理求解，首先

9、确定被积函数F(z)的极点。这里要留意F(z)中的n是在-+之间取值，因此F(z)极点能否包含z=0点和n的取值有关。为此将n分成两部分分析，一部分是n0，此时z=0不是极点； 另一部分是n0，此时z=0是一个n阶极点。 当n0时， F(z)的极点是z=a。再确定在围线c内的极点，由收敛域|z|a|知道围线c内的极点也只需z=a点。这样序列x(n)等于被积函数F(z)在极点z=a的留数。x(n)=ResF(z), a极点z=a是一个单阶极点，按照求单阶极点的方法，得到： x(n)=ResF(z), a= 由于收敛域包含点，这是一个因果序列，因果序列的序列值在n0时，全取零值， 因此n0时的x(

10、n)不需求再求。最后该例题的逆Z变换为 x(n) =anu(n) 上式中的u(n)是为了限制x(n)是一个因果序列。为了练习求逆Z变换的方法，下面用留数定理求n0时的x(n)，检验x(n)能否取零值。 当n0时，F(z)的极点有：z=0, a，其中z=0是一个n阶极点，由收敛域知道这两个极点全在围线c内，由于多阶极点留数不易求，改求围线c以外的极点留数。当然, 要求N-M-n12，或者检查F(z)的分母阶次能否比分子阶次大于等于2。这里F(z)的分母阶次是1，分子阶次是n，而且n0 ，因此可以用求围线c以外的极点留数替代求围线c内的留数。但是围线c外没有极点，那么得到同样的结果： 当n0时，

11、x(n) =0。 例 2 假设x(n)的Z变换用下式表示： 收敛域取|z|a-1|，试求X(z)的逆Z变换。 解 X(z)的极点分布如下图。首先由于收敛域|z|a-1|包含点，原序列一定是因果序列，只需求解n0的部分即可。下面先确定被积函数F(z)的极点。 当n0 时，F(z)的极点为：z=a,a-1，极点分布如下图。由于收敛域是|z| a-1 |，这两个极点均在围线c内，那么原序列就是这两个极点的留数之和。 由于n0，最后得到： x(n)=(an-a-n)u(n) 当然也可以用留数定理求n0时的x(n)，它一定是x(n)=0。该例题阐明记住序列特点和收敛域的一些结论可以简化解题过程。 例 3

12、 假设x(n)的Z变换用下式表示： 收敛域取|z|a|，试求其原序列x(n) 。 解 由于收敛域是在以|a|为半径的圆内，可以推论这是一个左序列，又由于收敛域包含z=0点， x(n)的n值全部取负整数，或者说当n0时，x(n)=0，因此只需求求解n0时的x(n)。 被积函数F(z)仍用下式表示： 推导公式如下： 最后将序列表示成 x(n)=(a-n-an)u(-n-1)例 4 假设x(n)的Z变换用下式表示： 收敛域取|a|z|a-1|，试求X(z)的逆Z变换。 解 由于收敛域是一个环状域，可以推论原序列是一个双边序列。被积函数仍为下式： 当n0时，F(z)的极点有：z=a,a-1，但围线c以

13、内只需极点z=a，因此x(n)就等于该点的留数： 当nRx+， x(n)为因果序列，那么X(z)展成Z的负幂级数。 假设 收敛域|z|a| |z|a| 这时 收敛域为|z|a|。而其收敛域已是整个Z平面。 例:知 ,求其z变换。解：2. 序列的移位假设那么有：这是由于 如作n-n0=m的变量交换，即可得 普通情况下，x(n-n0)的Z变换之收敛域与X(z)的收敛域一样， 但在z=0或z=处也有能够出现例外。例如Z (n)在整个Z平面收敛，而(n-1)的Z变换在z=0处就不收敛，而(n+1)的Z变换又在z=处不收敛。 例: 求序列x(n)=u(n)-u(n-3)的z变换。解:3. Z域尺度变换(

14、乘以指数序列)假设，那么证明：4. 序列的线性加权(Z域求导数)假设，那么证明：5. 共轭序列假设，那么证明：6. 翻褶序列假设，那么证明：7. 初值定理证明：例:知X(z)= ，收敛域是|z|0.9，试求出原序列的初值。 解:收敛域阐明这是一个因果序列，利用该性质，它的初值推导如下：8. 终值定理证明： 又由于只允许X(z)在z=1处能够有一阶极点，故因子z-1)将抵消这一极点，因此(z-1)X(z)在上收敛。所以可取z 1的极限。例:知 ，收敛域是|z|0.9，试求出原序列的终值。 解:由收敛域知道它的原序列是一个因果序列，又知极点是z=0.9，且是一阶的，根据终值定理，有 由逆Z变换可知

15、原序列是x(n)=0.9nu(n)，它的终值，即当n时的序列值确是0。 由该例可以推论, 假设因果序列的Z变换在单位圆上无极点，那么该序列的终值为0。9. 有限项累加特性证明：10.序列的卷积和(时域卷积定理) 证明： 例: 知网络的单位脉冲呼应h(n)=anu(n), |a|1，网络输入序列x(n)=u(n)，求网络的输出序列y(n) 解:求网络的输出序列y(n)可以用两种方法，一种是直接求解线性卷积，另外一种方法是利用Z变换方法。这里要用到序列卷积性质。 (1) 直接求解线性卷积：(2) Z变换法： y(n)=h(n)*x(n)将上式进展Z变换，得到： Y(z)=X(z)H(z)式中 H(

16、z)=ZTh(n)=ZTanu(n)= H(z)=ZTx(n)=ZTu(n)= Y(z)=X(z)H(z)= 由于x(n)和h(n)均为因果序列，y(n)必为因果序列。由上式知道Y(z)的极点是a和1，而|a|1，因此选Y(z)的收敛域为|z|1。 最后将y(n)表示为 例解：11.序列相乘(Z域卷积定理)其中,C是在变量V平面上，X(z/v),H(v)公共收敛域内环原点的一条逆时针单封锁围线。 证明从略例:解： 12.帕塞瓦定理(parseval)其中“*表示复共轭，闭合积分围线C在公共收敛域内。 证明从略假设那么有:*几点阐明： 13. Z变换的定理及性质小结 以上我们讨论了Z变换的部分定

17、理和性质， 有些在计算及分析Z变换时非常有用。为此，我们将上面讨论过的以及其它一些比较有用的性质一并列于表2.2(P68)中。表内所列区域为Z变换的收敛域。需求阐明的是，有的时候，即在某些特殊情况下， 收敛域可以大于所示收敛区域。 表2.2 Z变换的一些根本性质 6-5 Z变换与拉氏变换的关系 一.Z变换与拉氏变换的关系1.理想抽样信号的拉氏变换设 为延续信号， 为其理想抽样信号，那么 序列x(n)的z变换为 ，思索到 ,显然，当 时，序列x(n) 的 z 变换就等于理想抽样信号的拉氏变换。2.Z变换与拉氏变换的关系( S、Z平面映射关系 S平面用直角坐标表示为： Z平面用极坐标表示为： 又由

18、于 所以有：因此， ;这就是说， Z的模只与S的实部相对应, Z的相角只与S虚部相对应。 =0,即S平面的虚轴 r=1,即Z平面单位圆； 0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的单位圆外 。j00(1).r与的关系= 0，S平面的实轴， = 0，Z平面正实轴；=0(常数)，S:平行实轴的直线， = 0T,Z:始于 原点的射线； S:宽 的程度条带， 整个z平面.0jImZReZ(2).与的关系=T二.Z变换和傅氏变换的关系 延续信号经理想抽样后,其频谱产生周期延拓， 即 我们知道,傅氏变换是拉氏变换在虚轴S=j 的特例,因此映射到Z平面上为单位圆。因此, 这就是说,抽样序列在单

19、位圆上的Z变换,就等 于理想抽样信号傅氏变换。 用数字频率作为Z平面的单位圆的参数， 表示Z平面的辐角，且 。所以，序列在单位圆上的Z变换为序列的傅氏变换。6.6序列的傅氏变换1.正变换:2.反变换:傅氏变换的一些对称性质一、共轭对称序列与共轭反对称序列 1.共轭对称序列 设一复序列，假设满足xe(n)=xe*(-n)那么称序列为共轭对称序列。下面分析它们的对称关系。 设序列 其中 分别表示的实部和虚部。对其两边取共轭，那么再将-n代入，那么根据定义，那么这阐明共轭对称序列的实部是偶对称序列偶函数，而虚部是奇对称序列奇函数。*特殊地，如是实序列，共轭对称序列就是偶对称序列。2.共轭反对称序列

20、设一复序列，假设满足xo(n)=-xo*(-n) 那么称序列为共轭反对称序列。同样有：根据定义，那么 这阐明共轭反对称序列的实部是奇对称序列奇函数，而虚部是偶对称序列偶函数。 *特殊地，如是实序列，共轭反对称序列就是奇对称序列。 二、任一序列可表为共轭对称序列与共轭反对称序列之和三、序列的傅氏变换可表为共轭对称分量 与共轭反对称分量之和其中，四、两个根本性质证明：证明：五、序列的实、虚部与其傅氏变换偶、奇部 的关系 1.序列的实部的傅氏变换等于其傅氏变换的偶部证明：2.序列的j倍虚部的傅氏变换等于其傅氏变换的奇部证明：六、序列的偶、奇部与其傅氏变换的实、 虚部的关系1.序列的偶部的傅氏变换等于

21、其傅氏变换的实部证明：2.序列的奇部的傅氏变换等于其傅氏变换的虚部再乘以j。证明：七、序列为实序列的情况8.实序列也有如下性质：6.7 利用Z变换求解差分方程N阶LTI离散系统的差分方程普通方式为 7.6-1 当x(n)是因果序列，知初始边境条件y(-1), y(-2), , y(-N)时，可利用Z变换求解式7.5-1，对式7.5-1等式两边取Z变换，利用单边Z变换的位移性，得到 7.6-2 式中, y(l)是初始条件。 1. 零形状呼应 零形状呼应是仅由鼓励引起的呼应。当鼓励x(n)是因果序列时，并且系统初始条件为零y(l)=0, -Nl-1，那么式7.6-2为 7.6-3 由式7.6-3得

22、零形状呼应为 7.6-4令 7.6-5式中, H(z)为系统传输函数，零形状呼应还可表示为 7.6-67.6-7 例7.6-1 知一离散系统的差分方程为y(n)-by(n-1)=x(n), 求y(n)。其中x(n)=anu(n), y(-1)=0。 解 由于y(-1)=0， 是零形状呼应。对方程两边取Z变换 2. 零输入呼应 零输入呼应是仅由系统初始储能引起的呼应，与初始边境条件y(-1)、y(-2)、y(-N)亲密相关。此时鼓励x(n)=0，式7.6-1差分方程右边等于零， 式7.6-2变为 7.6-8 7.6-9 其中, y(l)为系统的初始边境条件， -Nl-1 7.6-10 例7.6-

23、2 差分方程同例7.6-1，x(n)=0，y(-1)=-1/b，求y(n)。 解 鼓励x(n)=0，是零输入呼应。 对方程两边取Z变换 3. 全呼应 利用Z变换，不需求分别求零形状呼应与零输入呼应，可以直接求解差分方程的全呼应。 7.6-11 例7.6-3 系统差分方程、鼓励x(n)同例7.6-1，y(0)=0，求y(n)。 解 先求出边境条件y(-1), 将n=0代入原方程迭代 y(0)-by(n-1)=x(0)=1解出y(-1)=-1/b，此时的y(n)是全呼应。 方程两边取Z变换Y(z)-bz-1Y(z)+y(-1)=X(z) 例7.6-4 知某离散系统模拟如图7.6-1所示，求系统函数H(z)及冲激呼应h(n)。 解 图 7.6-1 例7.6-3离散系统 线性移不变系统 h(n)为单位抽样呼应h(n)x(n) (n) H(z)称作线性移不变系统的系统函数，而且在单位圆 上的系统函数就是系统的频率呼应。6-8 离散系统的系统函数及频率呼应一.系统函数: