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文档简介
1、 第三章 延续时间信号处置3.1 线性时不变延续系统的时域数学模型 3.1.1 微分方程的建立 3.1.2 微分方程的求解 3.2 计算零形状呼应的卷积积分法 3.2.1 零输入呼应与零形状呼应 3.2.2 冲激呼应 3.2.3 用卷积积分计算零形状呼应 3.3 系统函数 3.3.1 系统函数的定义 3.3.2 系统的三种描画方式 3.3.3 用系统函数计算系统的零形状呼应 3.3.4 由系统函数的零极点分布确定时域特性 3.4 信号的频域处置3.4 信号的频域处置 3.4.1 系统的频率呼应 3.4.2 信号的无失真传输条件 3.4.3 理想低通滤波器 3.4.4 实践模拟滤波器 信号处置方
2、法:时域、复频域、频域。线性时不变系统的呼应零输入呼应零形状呼应线性时不变系统分析的一个重要思想:将输入信号表示为某个根本信号的线性组合,当系统对该根本信号的零形状呼应知,根据叠加原理和时不变性,系统的零形状呼应那么为根本信号呼应的组合,其组合规律与输入信号的一样。输入为零,仅由初始形状产生的呼应初始形状为零,仅由输入信号产生的呼应例如,假设知系统对根本信号 输入时的零形状呼应为 ,又知输入 可以表示为那么输入为 时的零形状呼应为时域:单位冲激信号就是这样一种根本信号,任一信号都可以用冲激信号的积分方式表示,即冲激信号的线性组合。卷积积分频域:信号分解为 的线性组合。 频率呼应复频域:信号分解
3、为 的线性组合。 系统函数3.1 线性时不变延续系统的时域数学模型微分方程3.1.1 微分方程的建立基尔霍夫定律KCL、KVL元件的电压电流约束关系VCR根据:例:图示RLC串联电路中,e(t)为鼓励信号,输出呼应为回路中的电流i(t) 。试求该电路中呼应与鼓励的数学关系。 解:根据KVL,得由元件VCR,有二阶线性常系数微分方程,对应于一个二阶系统 对于一个n阶系统,设鼓励信号为x(t),呼应为y(t),可用一个n阶常系数线性微分方程来描画。 LTI系统的时域数学模型:LTI系统x(t)y(t)式中,an-1, ,a0和bm, ,b0均为常数,nm。3.1.2 微分方程的求解1、时域经典解法
4、 齐次解为齐次微分方程的解,其函数方式由微分方程的特征根决议。齐次解的方式仅取决于系统本身的特性特征根,与鼓励信号的函数方式无关,称为系统的自在呼应或固有呼应;特解的函数方式由鼓励信号决议,称为系统的强迫呼应。 全解:齐次解 特解 例:描画某线性时不变延续系统的微分方程为 试求系统的呼应。解:特征方程为 其特征根11,22。该方程的齐次解为 鼓励,且a1与特征根1一样,故该方程的特解为 将特解代入微分方程,比较方程两边系数可得C0=0 ,C1=1。所以特解 因此方程的完全解为 代入初始条件 解得 C1=1 ,C2=1。从而系统的呼应为 2、运用拉普拉斯变换法解微分方程 描画n阶系统的微分方程的
5、普通方式为 系统的初始形状为y(0-) ,y(1)(0-),,y(n-1) (0-)。思绪:用拉普拉斯变换微分特性s域的代数方程t域的微分方程零输入呼应零形状呼应y(t)假设 在t = 0时接入系统,那么例.某LTI系统由微分方程描画求呼应解:对方程进展单边拉氏变换:代入可得:其中,第一项为强迫呼应,其它为自然呼应。3.2 计算零形状呼应的卷积方法3.2.1 零输入呼应和零形状呼应零输入呼应 完全呼应:零形状呼应 零输入呼应是鼓励为零时仅由系统的初始形状所引起的呼应。由于鼓励为零,故有零形状呼应是系统的初始形状为零时仅由鼓励所引起的呼应 。在t=0-时辰鼓励尚未接入,故应有 零输入呼应中,初始
6、形状是指系统没加外部鼓励时系统的固有形状,反映的是系统以往的历史信息。区别:零形状呼应的求解有经典法和卷积法。例:描画某线性时不变延续系统的微分方程为,求系统的零输入呼应、零形状呼应和全呼应。由特征方程有1= -2,2= -3。那么齐次解 代入初始条件解得C1=10 ,C2=10。于是零输入呼应为 解:1求零输入呼应yzi(t)当鼓励为零时,满足齐次方程2求零形状呼应yzs(t)那么方程的特解由于齐次解为那么 由于鼓励为阶跃函数,在t=0时不会使系统发生突变,因此,解得C1=3 ,C2=2。于是零形状呼应为 3全呼应 由于鼓励1. 定义:系统在单位冲激信号鼓励下的零形状呼应,简称冲激呼应,以h
7、(t)表示.2. 求解:用常系数微分方程描画的系统,其冲激呼应满足当那么:式中,待定系数采用冲激平衡法确定3.2.2 冲激呼应3. 特点:4. 冲激呼应在系统分析中的作用:1).冲激呼应由系统的特征根组成;2).冲激呼应的方式与齐次解的方式一样;3).冲激呼应中的待定系数由冲激函数平衡法决议;4).冲激呼应中能够含有冲激函数。1).用冲激呼应求解系统的零形状呼应;2).h(t)可以表征系统本身的特性。例1:知某线性时不变系统的动态方程为:试求系统的冲激呼应h(t)。解:由冲激呼应定义,当时,y(t)即为h(t),原动态方程为:特征根s1 =-3,且nm,那么冲激呼应h(t)为: 其中,A为待定
8、系数,将h(t)代入原方程式有: 挑选特性解得A2,那么系统的冲激呼应为:例2:知某线性时不变系统的动态方程为:试求系统的冲激呼应h(t)。解:由冲激呼应定义,当时,y(t)即为h(t),原动态方程为:特征根s1 =-6,且n=m,为坚持动态方程左右平衡,冲激呼应h(t)必含 那么冲激呼应h(t)为: 其中,A、B为待定系数,将h(t)代入原方程式有: 挑选特性解得A16,B3。系统的冲激呼应为:总结:冲激呼应h(t)中能否含冲激信号 及其高阶导数,是过察看动态方程右边的 的导数最高次与方程左边h(t)的导数次来决议。对于h(t)中的 项,其方式由特征方程的特征根来定。方法二:拉普拉斯变换法
9、由于对上式作拉氏逆变换,得系统的冲激呼应为方程两边取拉氏变换,得3.2.3 用卷积积分计算零形状呼应 1、延续时间信号的冲激表示任一信号x(t)可用无限多个不同加权的冲激函数的“和表示: 2、求解LTI系统零形状呼应的卷积方法原理:将信号分解为冲激信号的加权和,借助冲激呼应,求解系统对任一信号的零形状呼应。卷积定义: 对于恣意两个信号f1(t)和f2(t),两者的卷积运算定义为恣意信号x(t)分解为单位冲激信号的线性组合系统的冲激呼应h(t)系统的时不变特性线性特性的均匀性卷积与零形状呼应即:yzs(t)等于x(t)与h(t)的卷积积分线性特性的叠加性在输入信号x(t)作用下,系统的零形状呼应
10、为输入信号与冲激呼应的卷积积分。 3、卷积运算的性质卷积的代数性质交换律交换律表示两个函数卷积,其顺序可以交换。有时可使卷积简便。在系统分析中,这意味着一个冲激呼应为h(t)的LTI系统对输入x(t)的呼应与一个冲激呼应为x(t)的LTI系统对输入h(t)的呼应是一样的。分配律用于系统分析,相当于并联络统的冲激呼应,等于组成并联络统的各子系统冲激呼应之和。x(t)h1(t)h2(t)分配律结合律结合律用于系统分析,相当于级联络统的冲激呼应,等于组成级联络统的各子系统冲激呼应的卷积。改动两个系统的级联顺序,系统总的呼应坚持不变。 h1(t) h2(t)x(t)卷积的时移性质h(t)x(t)y(t
11、)h(t)y(t-t1)x(t-t1)h(t-t2)x(t-t1)y(t-t1-t2)h(t-t2)x(t)y(t-t2)时不变性质与冲激函数的卷积卷积的微积分性质1卷积的微分 与冲激偶信号的卷积 2卷积的积分特别地:特别地:与阶跃信号的卷积与冲激信号 的卷积,等于x(t)本身;与冲激偶信号 的卷积,等于x(t)的导数;与阶跃信号 的卷积,等于x(t)的积分。小结:x(t)与奇特信号的卷积例1: 求 解: 根据时移性质和微积分性质,有 例2: 知系统的冲激呼应求输入 时的零形状呼应yzs(t)。 解: 例3: 知系统的冲激呼应求输入 时的零形状呼应yzs(t)。 解: 3.3 系统函数3.3.
12、1 系统函数的定义系统函数H(s)定义为 它只与系统的构造、元件参数有关,而与鼓励、初始形状无关。系统零形状呼应的拉氏变换与鼓励的拉氏变换之比。系统函数的来源由描画系统输入输出关系的微分方程(零形状)产生由时域卷积产生由系统冲激呼应产生由s域电路模型产生初始条件为0I1(s)I2(s)U1(s)U2(s)+3.3.2 系统的三种描画方式时域输入输出关系微分方程 经典法时域的冲激呼应h(t) 卷积法s域的系统函数H(s) 拉氏变换在这三种描画中,可以根据其中任一种方式推导出另外两种方式。例: 知当输入x (t)= e-t(t)时,某LTI因果系统的零形状呼应 y(t) = (3e-t -4e-2
13、t + e-3t)(t)求该系统的冲激呼应和描画该系统的微分方程。 解:h(t)= (4e-2t -2e-3t) (t)微分方程为 y(t)+5y(t)+6y(t) = 2x (t)+ 8x(t) s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2sX(s)+ 8X(s) 取逆变换 yzs(t)+5yzs(t)+6yzs(t) = 2x (t)+ 8x (t) 3.3.3 用系统函数计算系统的零形状呼应 y(t)= h(t)*x(t)H(s)= L h(t)Y(s)= H(s)X(s)X(s)= L x(t)零形状根据系统函数的定义,恣意鼓励下,系统的零形状呼应的象函数可以表示为系统函数与
14、鼓励信号的象函数的乘积。 我们可以利用系统函数,在复频域中求得系统零形状呼应的象函数,然后对其作拉普拉斯逆变换,求得时域中零形状呼应的原函数。 例:如下图电路,鼓励信号求电路的零形状呼应u2(t)。 解:令1、系统函数的零、极点LTI系统的系统函数是复变量s的有理分式,即 3.3.4由系统函数的零极点分布确定时域特性D(s)=0的根p1,p2,pn称为系统函数H(s)的极点;N(s)=0的根z1,z2,zm称为系统函数H(s)的零点。 例:将零极点画在复平面上得零、极点分布图。 由于多项式的系数为实数,因此系统函数的零极点为: 实数、共轭虚数、共轭复数零点:z = -2极点:p1 = -1,
15、p2,3 = j研讨系统函数的零、极点有以下几个方面的意义:1从系统函数的极点分布可以了解系统的固有频率,进而了解系统冲激呼应的方式,也就是说可以知道系统的冲激呼应是指数型,衰减振荡型,等幅振荡型,还是几者的组合,从而可以了解系统的呼应特性及系统能否稳定。2从系统的零、极点分布可以求得系统的频率呼应特性,从而可以分析系统的正弦稳态呼应特性。系统的时域、频域特性都集中地以其系统函数或系统函数的零、极点分布表现出来。2、系统函数H(s)与时域呼应h(t) 冲激呼应的函数方式由H(s)的极点确定。 所讨论系统均为因果系统。主要讨论单极点的情况。 H(s)按其极点在s平面上的位置可分为: 在左半开平面
16、、虚轴和右半开平面三类。 1在左半开平面:衰减 假设系统函数有负实单极点p= (0),那么N(s)中有因子(s+),其所对应的呼应函数为Ke-t(t) (b) 假设有一对共轭复极点p1,2=-j0,那么N(s)中有因子(s+)2+ 0 2 K e-tcos(0 t+)(t) 以上两种情况:当t时,呼应均趋于0。2在虚轴上 :等幅(a)单极点p=0,那么呼应为K(t) (b)共轭虚数极点p1,2=j 0 那么呼应为 Kcos(0 t+)(t)3在右半开平面 :均为递增函数。 正实单极点p= (0),那么呼应为Ket(t) (b) 一对共轭复极点p1,2=j0 那么呼应为 K etcos(0 t+
17、)(t) 综合结论:LTI延续因果系统的h(t)的函数方式由H(s)的极点确定。 H(s)在左半平面的极点所对应的呼应函数为衰减的。即当t时,呼应均趋于0。 H(s)在虚轴上的一阶极点所对应的呼应函数不增不减。 H(s)在右半平面上的极点,其所对应的呼应函数都是递增的。即当t时,呼应均趋于。 H(s)的极点的实部决议了冲激呼应随时间的衰减或增长情况。极点间隔虚轴越远,即极点的实部的绝对值越大,冲激呼应的衰减或增长越快,反之越慢。而极点的虚部决议了冲激呼应随时间的正弦振荡情况。当极点间隔实轴越远,即极点的虚部的绝对值越大,冲激呼应正弦振荡的角频率越高,反之越低。 H(s)的零点分布影响冲激呼应的
18、幅度和相位,但不影响冲激呼应的变化规律。 3.4 信号的频域处置3.4.1 系统的频率呼应零形状频率呼应H()可定义为系统零形状呼应的傅里叶变换Y()与鼓励x(t)的傅里叶变换X()之比,即 傅里叶变换法H()称为幅频特性或幅频呼应; 称为相频特性或相频呼应。H()是的偶函数, 是的奇函数。 频率呼应H()的求法1. H() = F h(t) 2. H() = Y()/X()由微分方程求,对微分方程两边取傅里叶变换。由电路直接求出。 例:某系统的微分方程为 y(t) + 2y(t) = x(t)求1系统的频率特性2x(t) = e-t(t)时的呼应y(t)。解:1微分方程两边取傅里叶变换jY(
19、) + 2Y() = X() 23.4.2 系统的无失真传输条件系统对于信号的作用大体可分为两类:一类是信号的传输,一类是滤波。传输要求信号尽量不失真,而滤波那么滤去或减弱不需求有的成分,必然伴随着失真。 1、失真线性系统引起的信号失真由两方面的要素呵斥幅度失真:各频率分量幅度产生不同程度的衰减;相位失真:各频率分量产生的相移不与频率成正比,使呼应的各频率分量在时间轴上的相对位置产生变化。 信号经系统传输,要遭到系统函数 的加权,输出波形发生了变化,与输入波形不同,那么产生失真。线性系统的失真幅度,相位变化,不产生新的频率成分;非线性系统产生非线性失真产生新的频率成分。 对系统的不同用途有不同
20、的要求:1无失真传输;2利用失真波形变换。2、无失真传输 1定义:信号无失真传输是指系统的输出信号与输入信号相比,只需幅度的大小和出现时间的先后不同,而没有波形上的变化。 即: 输入信号为x(t),经过无失真传输后,输出信号应为 y(t) = K x(tt0)幅度可以比例添加可以有时移波形外形不变2无失真传输的系统条件即幅频特性H()=K , 各分量衰减一致相频特性 ,各分量时延一致几点认识:要求幅度为与频率无关的常数K,系统的通频带为无限宽。相位特性与 成正比,是一条过原点的负斜率直线。不失真的线性系统其冲激呼应也是冲激函数。 只需相位与频率成正比,方能保证各谐波有一样的延迟时间,在延迟后各
21、次谐波叠加方能不失真。 延迟时间t0 是相位特性的斜率:群时延或称群延时在满足信号传输不产生相位失真的情况下,系统的群时延特性应为常数。 相位特性为什么与频率成正比关系?此系统不满足信号失真3、利用失真波形构成系统的无失真传输条件总结时域频域为常数理想滤波器可分为低通、高通、带通、带阻。 滤波器允许信号完全经过的频段称为滤波器的通带pass band ,完全不允许信号经过的频段称为阻带stop band。3.4.3 理想低通滤波器具有如下图幅频、相频特性的系统称为理想低通滤波器。 理想低通滤波器的频率呼应可写为: c称为截止角频率。信号中一切高于c的频率分量将被完全阻止而不能经过系统,而低于c的频率分量会无失真地经过系统。 理想低通滤波器的冲激呼应可见,理想低通滤波器的冲激呼应为一个延时的Sa函数,其峰值较鼓励信号延迟了t0时辰。 该系统实践上是物理不可实现的非因果系统。由傅里叶变换可得:1理想滤波器是非因果系统。因此是物理不可实现的;虽然从频域滤波的角度看,理想滤波器的频率特性是最正确的。但它们的时域特性并不是最正确的。 有起伏、旁瓣、主瓣,这阐明理想滤波器的时域特性与频域特性并不兼容在工程运用中,当要设计一个滤波器时,必需对时域特性
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