高二数学知识点：排列与组合

1、6/6高二数学知识点：排列与组合排列组合公式/排列组合计算公式排列P和顺序有关组合C不牵涉到顺序的问题排列分顺序 ,组合不分例如把5本不同的书分给3个人 ,有几种分法.排列把5本书分给3个人 ,有几种分法组合1.排列及计算公式从n个不同元素中 ,任取m(mn)个元素按照一定的顺序排成一列 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数 ,用符号p(n ,m)表示.p(n ,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个不同元素中 ,任取m(m

2、n)个元素并成一组 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数 ,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n ,m)表示.c(n ,m)=p(n ,m)/m!=n!/(n-m)!*m!);c(n ,m)=c(n ,n-m);3.其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n ,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类 ,每类的个数分别是n1 ,n2 ,.nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*.*nk!).k类元素 ,每类的个数无限 ,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1 ,m).排列(

3、Pnm(n为下标 ,m为上标)Pnm=n(n-1)(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n组合(Cnm(n为下标 ,m为上标)Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m2019-07-0813：30公式P是指排列 ,从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合 ,从N个元素取R个 ,不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘 ,如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个

4、 ,表达式应该为n*(n-1)*(n-2).(n-r+1);因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r举例：Q1：有从1到9共计9个号码球 ,请问 ,可以组成多少个三位数?A1：123和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的 ,既属于“排列P计算范畴。上问题中 ,任何一个号码只能用一次 ,显然不会出现988 ,997之类的组合 ,我们可以这么看 ,百位数有9种可能 ,十位数那么应该有9-1种可能 ,个位数那么应该只有9-1-1种可能 ,最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P(3 ,9)=9*8*7 ,(从9倒数3个的乘积)Q2：有从1到9共计9个号码球 ,请问 ,如果三个一

5、组 ,代表“三国联盟 ,可以组合成多少个“三国联盟?A2：213组合和312组合 ,代表同一个组合 ,只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的 ,属于“组合C计算范畴。上问题中 ,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3 ,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组 ,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个 ,而不限制每个课外小组的人数 ,因此共有种不同方法.(2)由于每名学生都只

6、参加一个课外小组 ,而且每个小组至多有一名学生参加 ,因此共有种不同方法.点评由于要让3名学生逐个选择课外小组 ,故两问都用乘法原理进行计算.例2排成一行 ,其中不排第一 ,不排第二 ,不排第三 ,不排第四的不同排法共有多少种?解依题意 ,符合要求的排法可分为第一个排、中的某一个 ,共3类 ,每一类中不同排法可采用画“树图的方式逐一排出：符合题意的不同排法共有9种.点评按照分“类的思路 ,此题应用了加法原理.为把握不同排法的规律 ,“树图是一种具有直观形象的有效做法 ,也是解决计数问题的一种数学模型.例3判断以下问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果.(1)高三年级学生会有11人：每两人互通

7、一封信 ,共通了多少封信?每两人互握了一次手 ,共握了多少次手?(2)高二年级数学课外小组共10人：从中选一名正组长和一名副组长 ,共有多少种不同的选法?从中选2名参加省数学竞赛 ,有多少种不同的选法?(3)有2 ,3 ,5 ,7 ,11 ,13 ,17 ,19八个质数：从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?从中任取两个求它的积 ,可以得到多少个不同的积?(4)有8盆花：从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆 ,有多少种不同的选法?从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法?分析(1)由于每人互通一封信 ,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信 ,所以与顺序有关是排列;由于每两人互握一次手 ,甲

8、与乙握手 ,乙与甲握手是同一次握手 ,与顺序无关 ,所以是组合问题.其他类似分析.(1)是排列问题 ,共用了封信;是组合问题 ,共需握手(次).(2)是排列问题 ,共有(种)不同的选法;是组合问题 ,共有种不同的选法.(3)是排列问题 ,共有种不同的商;是组合问题 ,共有种不同的积.(4)是排列问题 ,共有种不同的选法;是组合问题 ,共有种不同的选法.例4证明.证明左式右式.等式成立.点评这是一个排列数等式的证明问题 ,选用阶乘之商的形式 ,并利用阶乘的性质 ,可使变形过程得以简化.例5化简.解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式 ,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的两个

9、性质 ,都使变形过程得以简化.例6解方程：(1);(2).解(1)原方程解得.(2)原方程可变为原方程可化为.即 ,解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理 ,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义 ,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质 ,并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质 ,并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示其实,任何一门学科都离不开死记硬背,关键是记忆有技巧,“死记之后会“活用。不记住那些根底知识,怎么会向高层次进军?尤其是语文学科涉猎的范围很广,要真正提高学生的写作水平,单靠分析文章的写作技巧是远远不够的,必须从根底知识抓起,每天挤一点时间让学生“死记名篇佳句、名言警句,以及丰富的词语、新颖的材料等。这样,就会在有限的时间、空间里给学生的脑海里注入无限的内容。日积月累,积少成多,从而收到水滴石穿,绳锯木断的成效。(一)加法原理乘法原理单靠“死记还不行,还得“活用,姑且称之为“先死后活吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇