清北学堂高中数学竞赛试题

1、螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃

2、羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇

3、袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁

4、肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆

5、羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀

6、膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇

7、羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁

8、袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅

9、肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀

10、袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄

11、膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈

12、羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅

13、袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀

14、肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄

15、袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈

16、膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂

17、羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇

18、蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁

19、肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈

20、袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂

21、膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆

22、罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁

23、螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁螀肀蕿袆肈肀艿虿肄聿蒁羄羀肈薃螇袆肇蚅薀膅肆莅螅肁肅蒇薈羇膄薀螄袃膄艿薇蝿膃蒂螂膈膂薄蚅

24、肄膁蚆袀羀膀莆蚃袆腿蒈衿螂膈薁蚁肀芈芀袇羆芇莃蚀袂芆薅袅袈芅蚇螈膇芄莇薁肃芃葿螆罿芃薁蕿袅节芁螅螁莁莃薇聿莀蒆螃羅荿蚈薆羁莈莈袁袇莇蒀蚄膆莇薂袀肂莆蚅蚂羈蒅莄袈袄肁蒇蚁 清北学堂高中7+1课程09暑假数学特训班测试一试题解答一、选择题（满分36分，每一题6分）给定公比为q(q1)的等比数列an，设b1a1a2a3， b2a4a5a6， bna3n2a3n1a3n,，则数列bn ( C )(A)是等差数列 (B)是公比为q的等比数列(C)是公比为q3的等比数列 (D)既非等差数列也非等比数在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进

25、行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是 ( D )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3已知点A(1,2)，过点(5,2)的直线与抛物线y24x交于另外两点B,C，那么，ABC是( B )(A)锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)答案不确定二次函数与一次函数在同一个直角坐标系的图像为（） 解析：二次函数与一次函数图象交于两点、，由二次函数图象知，同号，而由中一次函数图象知异号，相矛盾,故舍去.又由知，当时，此时与中图形不符，与中图形相符. 故选5直线与抛物线中至少有一条相交，则m的取值范围是（ B ）A、 B、C、 D、以上均不正确解析：原命题可变为，求方程：，中至

26、少有一个方程有实数解，而此命题的反面是：“三个方程均无实数解”，于是，从全体实数中除去三个方程均无实数解的的值，使得所求.即变为解不等式组 得 ，故符合条件的取值范围是或，应选 .6有九条直线，其中每一条都将一平行四边形分割成面积比为2：3的两个四边形，那么这九条直线（ C ） A、存在这样的九条直线；没有两条过同一个点；B、至少有两条过同一个点；C、至少有三条过同一个点；D、至少有四条过同一个点； 提示：如图，设为满足要求的直线，将平行四边形分成两个梯形，易知，要使这两个梯形面积之比为2：3，只要其中位线比为2：3，即:=2：3，象这样的点有四个（图中），且适合条件的九条直线必过这四点中的一

27、个点.根据抽屉原理知，其中必有3条直线过同一个点. 故选C二填空题已知正整数n不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么，这样的n的个数是_6_已知点P在双曲线上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么，P的横坐标是3. 已知直线axbyc0中的a，b，c是取自集合3，2，1，0，1，2，,3中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么，这样的直线的条数是_43 4. 如果,那么的最大值是.5. 已知是满足,的实数解,试求最大值.若表示不超过的最大整数（如等等）则2003提示： = = = = 1三解答题(满分20分) 二次函

28、数，求：取最大时解析式解：将其带入，取“=”，（由确定），此时总结：未知和已知建立联系，四. 解答题(满分20分)设二次函数的图象以y轴为对称轴，已知，而且若点在的图象上，则点在函数的图象上。分析 由已知条件的解析式不难求得，欲求，可按定义分别求出内分别是减函数，增函数的的范围，求出它们的交即可。解（1）因的对称轴为y轴，故，从而。设在的图象上，即，则点在的图象上，即。故，因此，。（2）由（1）可得 。设，则要使在内为减函数，只需，但，故只要，所以。然而当时，因此，我们只要，在，内是减函数。同理，当时，内是增函数。综上讨论，存在唯一的实数，使得对应的满足要求。五. 解答题(满分20分) 已知曲

29、线，为正常数直线与曲线的实轴不垂直，且依次交直线、曲线、直线于、4个点，为坐标原点 （1）若，求证：的面积为定值； （2）若的面积等于面积的，求证：BACQPyOCxDBA解：（1）设直线：代入得：，得：，设，则有，设，易得：，由得，故，代入得，整理得：，又，=为定值. （2）设中点为，中点为则，所以，、重合，从而，从而，又的面积等于面积的，所以，从而.试卷分析本试卷包括五道大题。第一大题为选择题，包括6个小题。第1小题为简单的数列问题。第2小题主要考查排列组合问题。第3小题为解析几何与平面几何的一个简单的综合问题。主要考查第4小题为简单的二次函数与一次函数解析式中系数关系判断位置关系的问题。

30、第5小题为解析几何中根据相互关系确定求知参数的问题。第6小题为组合问题。主要考查了平面几何中关于梯形的基础知识及组合中抽屉原理的运用能力。第二大题为填空题，包括6个小题。第1小题为数论中的整数问题。第2小题为解析几何中双曲线基础知识问题，主要考查了基本概念及其运用。第3小题为一个简单综合题，属于解析几何与集合及排列组合的综合。主要考查直线与集合的基本概念和排列组合的基本运用。第4小题为条件限制下关于含有多元的二次根式极值问题。第5小题为简单的极值问题。第6小题为高斯函数的简单应用。主要考查了高斯函数基本概念的理解、数列通项的确定及二次根式化简变形能力。第三大题为二次函数确定解析式问题。本质上仍

31、是确定各项系数，但方法是通过绝对值不等式及极值办法解决。第四大题为二次函数的综合运用。主要考查了函数解析式的确定、函数的增减性问题。第五大题为解析几何与平面几何三角形面积的综合问题。主要考查的韦达定理的运用、三角形等底等高面积关系。综合来看，整个试卷作为特训试卷因为针对性测试而知识点覆盖面不大，技巧方面考查不是太多，总体难度不大，大多属于中等偏下程度题目。个别题目如第一大题中的第6小题技巧上有一定难度，方法上不易联想，第三第五大题在方法上属于常规方法，但是第三大题与待定系数法等普通方法确定解析式有所不同，但还是比较容易想到的。清北学堂高中7+1课程09暑假数学特训班测试二一填空题 1、若非零复

32、数满足,则的值是 1 .解析：,得或.(1)当时,原式=;(2)当时,同理可得:原式=1.评注：本题涉及单位根的应用。主要考查学生利用单位根的性质进行化简求值能力。难度不是很大。2. m个互不相同的正偶数与n个互不相同的正奇数和为1987，对于所有的m与n，求3m+4n的最大值 221 评注：本题涉及利用不等式求解最大值。主要考察学生利用奇偶数的特点进行代换求值。3. 8位乘客，随意踏上6节车厢，使得恰有两节车厢空着的上法有612360. 解答：（1）哪4节车厢上有客？（2）4节车厢必有客，从反面想，。为上无客的任意上车方法。则4节车厢每车均有客是，且。容斥原理解题上车方法为评注：本题考查概率

33、中容斥原理的理解和应用，关键在把问题化简，分步完成。4. 设为常数，函数 为一次函数，若，1，且关于x的方程的根是x1=1，x2=3，x3=-2，则的值为 -5 解析：由，1求得a=2，b=2，又因为方程的根是x1=1，x2=3，x3=-2，直线与抛物线交于（1，1）和（3，5）两点，故=，另一交点为（-2，-5），c=-5评注：本题考查分段函数以及一次函数的特点。主要关键在待定系数的确定，以及抛物线和直线的交点的确定。5. 曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积是解析：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是。评

34、注：本题考查数形结合的应用。关键在利用函数知识求出交点，以及切线方程，利用几何原理求解所围面积。6. 设，数x的个位数字9解析：令，由二项式定理知，对任意正整数n. 为整数，且个位数字为零.因此，x+y是个位数字为零的整数.再对y估值，因为， 且，所以 故x的个位数字为9.评注：本题考查对二项式定理以及不等式的应用。关键在二项式的构建，以及分数有理化的应用。7. 已知a0, a1，试求方程loga(xak)=(x2a2)有解时,k的取值范围 (,1)(0,1)评注：本题涉及对数的定义域的考察，关键在对数的变换，求值。8. 已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P BC1，Q BC，则D

35、1P + PQ的最小值是 2评注：本题涉及立体几何动点求值的问题。关键在取得最小值点。二、解答题：1（14分） 设A，B，C分别是复数Z0=ai, Z1=+bi, Z2=1+ci(其中a,b,c都是实数)对应的不共线的三点证明：曲线 Z=Z0cos4t+2Z1cos2tsin2t+Z2sin4t (tR) 与ABC中平行于AC的中位线只有一外公共点，并求出此点解析：设,则实虚部分离,可得,即 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT 又因为A,B,C三点不共线,故,可知所给曲线是抛物线段(如图)OABCDE1 xy0.5AB,BC的中点分别是,所以直线DE的方程为 = 2 * GB3 *

36、 MERGEFORMAT 由 = 1 * GB3 * MERGEFORMAT , = 2 * GB3 * MERGEFORMAT 联立得由于,得,注意到,所以,抛物线与平行于AC的中位线DE有且只有一个公共点,此点的坐标为,其对应的复数为.评注：本题考查对复数的理解应用。关键在利用数形结合，利用复数公式求出中点，以及平行的特点。2（15分）设数列满足满足+对成立求证：为整数列并求通项公式求证：是一个完全平方数评注：考察数列的相关知识。关键在巧妙的应用代数替换化简求值，需要一定的代换技巧。3、（15分）设在圆内接凸六边形ABCDFE中，AB=BC，CD=DE，EF=FA.试证：(1)AD，BE，

37、CF三条对角线交于一点； (2)AB+BC+CD+DE+EF+FAAK+BE+CF.分析与证明：连接AC，CE，EA，由已知可证AD，CF，EB是ACE的三条内角平分线，I为ACE的内心.从而有ID=CD=DE， IF=EF=FA， IB=AB=BC. 再由BDF，易证BP，DQ，FS是它的三条高，I是它的垂心，利用 不等式有： BI+DI+FI2 (IP+IQ+IS). 不难证明IE=2IP，IA=2IQ，IC=2IS. BI+DI+FIIA+IE+IC. AB+BC+CD+DE+EF+FA =2(BI+DI+FI) (IA+IE+IC)+(BI+DI+FI) =AD+BE+CF. I就是一

38、点两心.评注：本题考查正多边形性质。关键在对三角形内心（重心/角平分线交点）以及垂心的应用。二试1、给定正整数 n ，已知用克数都是正整数的 k 块砝码和一台天平可以称出质量为1,2,3, n 克的所有物品。 （1）求 k 的最小值 f ( n )； （2）当且仅当 n 取什么值时，上述 f ( n )块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。解析：(1)设这k块砝码的质量数分别为a1,a2,ak，且1a1a2ak，aiZ，1ik因为天平两端都可以放砝码，故可称质量为 xiai,xi-1，0，1若利用这k块砝码可以称出质量为1，2，3，,n的物品，则上述表示式中含有1，2，n，由对称性易知

39、也含有0，-1，-2，-n，即xiai|xi-1，0，10,1，n所以，2n+1=|0，1，n| |xiai|xi-1，0，1|3k，即 n设 n (m1,mZ)，则km且k=m时，可取a1=1,a2=3,am=3m-1 由数的三进制表示可知，对任意0p3m-1,都有p=yi3i-1，其中yi0，1，2则 p-=yi3i-1-3i-1=(yi-1)3i-1 令xi=yi-1，则xi-1，0，1故对一切-l 的整数l，都有l=xi3i-1 ,其中xi-1，0，1由于n，因此，对一切-nln的整数l，也有上述表示综上，可知k的最小值f(n)=m(n) .(2).当n3 时，由(1)可知1，3，3m

40、-1，3m就是一种砝码的组成方式下面我们证明1，3，3m-1,3m-1也是一种方式若1l ，由(1)可知l=xi3i-1，xi-1，0，1则 l=xi3i-1+0(3m-1)；若 ln3 ，则 l+1由(1)可知l+1=，其中xi-1，0，1易知xm+1=1(否则l3i-1-1=-1,矛盾)则l=(3m-1)所以，当n时，f(n)块砝码的组成方式不惟一.下面我们证明：当n=时，f(n)=m块砝码的组成方式是惟一的，即ai=3i-1(1im)若对每个-l,都有l=xiai，xi-1，0，1即 xiai|xi-1，0，10,1，注意左边集合中至多有3m个元素故必有xiai|xi-1，0，1=0,1

41、，从而，对每个l，-l ,都可以惟一地表示为l=xiai，其中xi-1,0,1因而，ai=则(xi+1)ai=xiai+ai=xiai+令yi=xi+1,则yi0，1，2由上可知，对每个0l3m-1，都可以惟一地表示为l=yiai，其中yi0，1，2特别地，易知1a1a2am下面用归纳法证明ai=3i-1(1im)当i=1时，易知yiai中最小的正整数是a1,故a1=1假设当1ip时，ai=3i-1 由于yiai=yi3i-1, yi0，1，2就是数的三进制表示，易知它们正好是0，1，2，,3p-1，故ap+1应是除上述表示外yiai|yi0,1,2中最小的数，因此，ap+1=3p由归纳法可知

42、，ai=3i-1(1im)综合，可知，当且仅当n=时，上述f(n)块砝码的组成方式是惟一确定的评注：本题考查集合元素。涉及元素的组合，三进制表达，归纳法的相关求解知识。2、设只能取1，3，4 求证：解析：a.理解：n Na1 112 1123 3,11134 4,41,13,11114541,311,14,131,113,1111156411,3111,1113,1131,1311,1111116b.发现：c.转向论证：观察n12345678910111211246915254064104169 猜想： eq oac(,2) (n) 猜： 猜 eq oac(,1) 证猜想：当n=1,2时，猜想

43、 eq oac(,1)， eq oac(,2)显然成立 假设 n=k-1,k时,猜想 eq oac(,1)， eq oac(,2)成立. 当n=k+1时，因此，猜想 eq oac(,1)， eq oac(,2)得证.从而.评注：本题重点在对数字的猜想以及对题意的理解，适当应用列举方法进行数字规律性的推断。如右图： 评注：本题涉及塞瓦定理、梅式定理，以及根心定理的应用。关键在找出相应三角形中的线段比例，准确利用定理，求解证明。4、实数列满足：，证明不等式。证明 首先，用数学归纳法证明：时，命题显然成立假设命题对成立，即有设，则是减函数，于是, ，即命题对n1也成立原命题等价于设，则是凸函数，即对

44、，有事实上，等价于，所以，由Jenson 不等式可得，即 另一方面，由题设及Cauchy不等式，可得，所以 ，故 ，从而原命题得证评注：本题涉及数列的相关性质，数学归纳法，Jenson 不等式以及Cauchy不等式的相关知识。关键在不等式的求解计算，以及数学归纳法的相关计算。清北学堂高中7+1课程09暑假数学特训班测试三一试一、填空题：1、在复平面上，非零复数z1、z2在以i对应的点为圆心，1为半径的圆上，的实部为零，argz1=，则z2=评析：本题主要考查复数的基本知识。难度不大，属于简单题。2、直线x/4+y/3=1与椭圆x2/16+y2/9=1相交于A，B两点，该椭圆上点P，使得PAB面

45、积等于3，这样的点P共有_个点。解：设P1(4cos,3sin)(0(/2)，即点P1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P1AOB面积S，S=SOAP1+SOBP1=(1/2)4(3sin)+(1/2)3(4cos)=6(sin+cos)=62sin(+(/4),Smax=62(此时+(/4).SOAB=(1/2)43=6为定值，SP1AB的最大值为626.6263,点P不可能在直线AB的上方，显然在直线AB的下方有两个点P，故选B。评析：此题为解析几何问题。考查满足条件的点P个数，关键是确定满足条件的点P的位置。本题采用排除法确定点P的位置不在第一象限，从而确定符合条件的点P位置和数量。3

46、、数列中，求的末位数字是7【解】当n=1时，a1=3，因此的末位数字都是7，猜想， 现假设n=k时，当n=k+1时， 从而于是 故的末位数字是7. 评析：本题主要考查学生的观察分析和归纳能力。4、从1至200的整数中，任意取出3个不同的数构成以整数为公比的等比数列，其取法有 112种。解：若首项、公比确定，这三个数就确定当q=2时，=1，2，50，共50种；当q=3时，=1，2，22，共22种；当q=4时，=1，2，12，共12种；当q=5时，=1，2，8，共8种；当q=14时，=1，共1种取法共有评析：本题采用分类计数原理和穷举法解决，是一道相对简单的排列组合问题。关键是统计方法的确定和符合

47、条件的等比数列的决定要素的确定。5、已知整数满足，且，则等于 24 解：，显然括号内为奇数，又，且；由于，可得且，；同理可得评析：本题属于数字技巧题，主要考查学生的观察能力。难度不大。6、从盛满a升（a1）纯酒精的容器里倒出1升，然后填满水，再倒出1升混合溶液后又用水填满，如此继续下去则第n次操作后溶液的浓度 。 评析：此题为初中数学中的浓度配比问题。关键是明确浓度的概念，把握每次倒出并加水后的浓度计算。7、已知arctan，那么，复数的辐角主值是评析：本题为复数化简及三角函数公式的运用。属于基本题。8、斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，P为线段AB上的点，且. 则P点的轨迹方程是 解：设动

48、点为，则过点 . 代入椭圆方程, 整理得： () 若直线椭圆交于，则是方程()的两个根, 且 又， .将、代入并整理得： （）评析：此题中解析几何简单综合题。难度不大。二、解答题：1、（14分）已知满足AB+BC=3AC，I为内心。内切圆与边AB，BC的切点分别为D，E。点D，E关于点I的对称点分别为K，L。证明：A、C、K、L四点共圆。证明作的外接圆。作BI延长线交外接圆于P。取AC中点M，连PM，PA，PC，并过P做，垂足为H。（1）观察和（2）A、C、K、L是以P为圆心的圆上4点，A、C、K、L四点共圆。评析：此题为平面几何题。题目看似简单，但需要较复杂的辅助线添加才能完成。本题的关键是

49、确定四点所共圆的圆心的位置，然后证明四点距圆心距离相等即可。2、（15分）求出的个位数字。【解】先找出的整数部分与分数部分。=其中分母的个位数字为3，分子的个位数字为9，故商的个位数字为3。评析：此题关键是把分成整数部分和小数部分。主要考查学生的变形能力。3、（15分）设二次函数满足条件：（1）；（2）当时，；（3）当时，。求m的取值范围，使得存在实数t，对t，m之间的每个x都有。解：可设，由，则。，开口向上。，求h的最小值。对于自变量t来说，其对称轴为。若，则若若 综上，评析：此题为二次函数问题，总是的关键是转化为求极值问题。二试二、（满分50分）已知满足：对任意的x【1，1】，有，求实数d

50、。解： 下面验证满足当有 由x【1，1】，不妨设xcos，则 当 有。评注： （x1时）找具体的实例 f（x）x，xcos cos3cos（2+） cos2cossin2sincos3满足当有。解：设为首项系数为1的次实系数多项式，并可表为 对任意多项式，设为奇数。任取，作次多项式，使得，令则是首项系数为1的次实系数多项式由于为奇数 所以， 且所以，在上有根于是有个实根 由于也是首项系数为1的次实系数多项式取，使，则于是在有根又且从而在内有一个根所以有个不同实根评注：此题为多项式问题。主要考查多项式根的概念及多项式分解成若干个一次因式乘积形式。本题关键是构造在中取奇数时为正，取偶数时为负的多项

51、式，依据函数连续性保证个根的存在。清北学堂高中7+1课程09暑假数学特训班测试四一试一、填空题2、使不等式sin2x+acosx+a21+cosx对一切xR恒成立的负数a的取值范围是。解：原不等式可化为：（cosx-(a-1)/2)）2a2+(a-1)2/4.-1cosx1,a0,a-1/20,当cosx=1时，函数y=(cosx-(a-1)/2)2有最大值(1-(a-1)/2)2，从而有(1-(a-1)/2)2a2+(a-1)2/4，整理得a2+a-20,a1或a-2.又a0,a-2. 评注：本题为含参三角不等式条件限制下参数取值范围求解问题。主要考查学生三角表达式的变形能力及如何利用条件将

52、总是转化为一元二次不等式求解问题能力。3、将二项式（x+1/（24x）n的展开式按x的降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项共有8个。解：不难求出前三项系数分别是，(1/2)n，(1/8)n(n-1)，由于这三个数成等差数列，有21/2n=1+1/8n(n-1).解得：n=8和n=1（舍去）.4、设a1，a2，a2007均为正实数，且，则的最小值是。解：设，则，且，所以=评注：本题属于极值问题。主要考查学生如何利用特殊不等式进行化简求值能力。过程中引入过渡变量将已知条件等式进行转化，属于转换技巧，也是解决问题的关键。5、将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与

53、原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。那么，所有的三位数中，奇和数有100_个。解：设三位数是，则+。 若不进位，则和数的十位数必为偶数，不符合题意，所以=11，13，15，17。因11=9+2=8+3=7+4=6+5，所以取值有种可能；因13=9+4=8+5=7+6，所以取值有种可能；因15=9+6=8+7，所以取值有种可能；因17=9+8，所以取值有种可能；由于不能进位，所以只能取0，1，2，3，4。因此，满足条件的数共有：5（+）=100（个）评注：本题属于排列问题。主要考查了三位数的表示方法、分类计数原理的应用、二元一次方程求解。属于简单综合类题目。6、已知向量垂

54、直，垂直，则向量的夹角是_解： （1） （2）（1）-（2）化简得 ；（3）（1）15+（2）8化简得；（4）设的夹角为，则评注：本题属于平面向量问题。主要考查平面向量的位置关系及内积计算。属于简单计算题。7、已知函数 （、为常数，且），则的值是_4_解：为奇函数，评注：本题函数求值问题。主要考查了函数奇偶性、对数换底公式的应用。本题的关键是发现并利用奇函数的性质解决问题。8、有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为_解：从10个球中取出4个，不同的取法有种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有种选法.对于

55、每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有种.因此，取出的球的编号互不相同的概率为. 故选（D）.评注：本题形式为概率问题。本质上是排列组合问题。属于排列组合的简单应用。解决本题的关键是解决编号不同的选法的确定。二、解答题2、（15分）如图，有一列曲线P0，P1，P2，已知P0所围成的图形是面积为1的等边三角形，Pk+1是对Pk进行如下操作得到：将Pk的每条边三等分，以每边中间部分的线段为边，向外作等边三角形，再将中间部分的线段去掉（k=0,1,2,）。记Sn为曲线Pn所围成图形的面积。（1） 求数列Sn的通项公式；（2） 求limSn.n 解：(1)对0进行

56、操作，容易看出0的每条边变成的条边，故的边数为34；同样，对P进行操作，P的每条边变成P的条边，故P的边数为34，从而不难得到Pn的边数为34n.已知0的面积为0=1，比较P与0.容易看出P在0的每条边上增加一个小等边三角形，其面积为1/32，而0有条边，故S1=S0+3(1/32)=1+(1/3).再比较P与P，可知P在P的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为(1/32)(1/32)，而P有34条边，故S2=S1+34(1/34)=1+(1/3)+(4/33),类似地有S3=S2+342(1/36)=1+(1/3)+(4/33)+(42/35),于是有下面利用数学归纳法证明（）式。n=1

57、时，由上面已知（）式成立。假设n=k时，有Sk=8/5-3/5(4/9)k.当n=k+1时，易知第k+1次操作后，比较Pk+1与Pk,Pk+1在Pk的每条边上增加了一个小等边三角形，其面积为(1/32(k+1)，而Pk有34k条边，故Sk=Sk+34k(1/32(k+1)=Sk+(4k)/32k+1)=(8/5)-(3/5)(4/9)k+1.综上，由数学归纳法，()式得证.(2)lim(n)Sn=lim(n)(8/5)-(3/5)(4/9)n=(8/5). 评注：本题为数列通项求解及简单的数列极限求值问题。主要考查学生的归纳能力、数学前n项和及简单的极限计算能力。此题的关键是找出曲线变化的规律

58、。3、15分）在直角三角形ABC中，ABC 的内切圆O分别与边BC，CA， AB 相切于点D，E，F，连接AD，与内切圆O相交于点P，连接BP，CP，若，求证：证明 设AE = AF = x，BDBFy，CDCEz，APm，PDn因为，所以延长AD至Q，使得，连接BQ，CQ，则P，B，Q，C四点共圆，令DQl，则由相交弦定理和切割线定理可得， 因为，所以，故 在Rt ACD和Rt ACB中，由勾股定理得， ，得 ， ，得 ，所以 ， ，结合，得 ，整理得 又式可写为 ， 由，得 又式还可写为 ， eq oac(,11)把上式代入，消去，得，解得 ，代入 eq oac(,11)得， ，将上面的x

59、，y代入，得，结合，得 ，从而 ，所以，即 评注：此题为平面几何问题。主要利用切割线定理、相似三角形的性质、直角三角形的勾股定理、四点共圆等知识来建立相等关系，并转化为代数问题来解决。这是通过代数方法解决几何问题的典型问题。二试如图，已知两个半径不相等的圆与圆相交于M、N两点，且圆、圆分别与圆内切于S、T两点。求证：OMMN的充分必要条件是S、N、T三点共线。证明：如图，设圆、圆，圆的半径分别为、。由条件知O、O1、S三点共线及O、O2、T三点共线，且OSOT，连结OS、OT、SN、NT、O1M、O1N、O2M、O2N、O1O2。充分性：设S、N、T三点共线，则ST,又O1SN与O2NT均为等

60、腰三角形,SO1NS，TO2NT, SO2NT, TO1NS，O2NOS, O1NOT,故四边形OO1NO2为平行四边形，由此知OO1O2NMO2,OO2O1NMO1, O1MOO2OM,从而有，由此得O1O2OM,又由于O1O2MN，故0MMN。必要性：若0MMN，又O1O2MN，故O1O2OM，从而有，设OM，由O1M，O1O，O2O，O2M，知O1MO与O2OM 的周长都等于，记，由三角形面积的海伦公式，有，化简得（）（）0，又已知， ，故有O1OO2N，O2OO1N，OO1NO2为平行四边形，O1NTT180，O2NSS180，又O1SN与O2NT均为等腰三角形，TO2NT，SO1NS