数值分析习题与答案精选

1、第一章 绪论习题一1.设x0,x*的相对误差为8,求f(x)=ln x的误差限。解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有满足已知x*的相对误差，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有 几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限相对误差限有 2 位有效数字，有 5 位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换 所给公式。（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是g 位有数数字。5. 计 算取四个选项：，利

2、用式计算误差最小。第二、三章 插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值, 并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点， 用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5, 0.6, 0.7三点，作二次Newton插值，故的等2.在-4WxW4上给出距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?解：用误差估计式（5.8），3. 若，求解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里pWn+1.解：，由均差对称性而当P

3、=n+1时于是得5. 求证解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并 用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400 x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7.给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得

4、Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用 Newton 后插公式（5.18）误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658.求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造使它满足显然，再令p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A=，于是9. 令称为第二类Chebyshev多项式，试求的表达式，并证明是-1,1 上带权的正交多项式序列。解：因10. 用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.，即解：本题给出拟合曲线，故法方程系数法方程为解得最小二乘拟合曲线为 均方程为

5、11. 填空题的插值多(1) 满足条件项式 p(x) = ().(2),则 f1,2,3,4=()，f1,2,3,4,5=().(3) 设为互异节点，为对应的四次插值基函数，），=().(4) 设是区间0,1上 权函数为p(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其=()答：（1）（2）第4章 数 值 积 分与数值微分习题4分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.解本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合Simpson公式（6.13）直接计算即可。，取n=8,在分点处计算f（x）的 值 构 造 函 数 表 。 按 式 （ 6.11 ） 求 出，按式（6.13）求得积分用Si

6、mpson公式求积分并估计误差解：直接用Simpson公式（6.7）得由（6.8）式估计误差，因故确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.(2)(3)解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式 的参数。（1）令相等，得代入公式两端并使其解此方程组得，于是有再令故求积公式具有3次代数精确度。（2）令代入公式两端使其相等，得解出而对不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。（3）令得代入公式精确成立，解得，得求积公式故求积公式具有2次代数精确度。，若用复合计算积分Simpson 公 式 要 使 误 差 不 超 过问区间要分为多少等分 ?若改用

7、复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?解：由Simpson公式余项及取n=6 ,即区间分为12等分可使误差不超过，由余项公对梯形公式同样式得取n=255才更使复合梯形公式误差不超过用 Romberg 求 积 算 法 求 积 分使用解：本题只要对积分Romberg算法（6.20）,计算到K=3,结果如下表所示。于是积分，积分准确值为0.713272用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。由于区间为，所以先做变换本题精确值用三点 Gauss-Chebyshev 求积公式计算积分解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算

8、于是,因n=2,即为三点公式,故试确定常数A, B,C,及a,使求积公式有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式？解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程,令对公式精确成立，得到由(2) (4)得A=C,这两个方程不独立。故可令，得（5），代入（1）由（3）（5）解得得则有求积公式公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为5 次，故它是Gauss型的。第五章 解线性方程组的直接法习题五.用Gauss消去法求解下列方程组.解 本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。故.

9、 用 列 主 元 消 去 法 求 解 方 程 组并求出系数矩阵A的行列式detA的值，2行与1行解：先选列主元交换得消元消元3 行与 2 行交换回代得解行列式得.用Doolittle分解法求解.解：由矩阵乘法得再由求得解得.下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?，若A能分解，一步分解后，不能分解，但，相互矛盾，故 A，若A中1行与2行交换，则可分解为LU对B,显然，但它仍可分解为分解不唯一，为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯一。.用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中解：用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）计算得. 用平方根法解方程组解：用分解

10、直接算得求得，另一方面8 设范数及F-范数和2范数计算A的行范数，列上任一种范数，是非奇异的，定义证明证明：根据矩阵算子定义和定义，得令为一对一，于是，因P非奇异，故x与y10. 求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计，即，即解：记由（3.12）的误差估计得表明估计略大，是符合实际的。11.是非题（若是在末尾（）填+,不是填-）：题目中,则（1）若 A 对称正定,上的一种向量范数（）（2）定义是一种范数矩阵（3）定义是一种范数矩阵（4）只要，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵 （）（5）只要，则总可用列主元消去法求得方程组的解（）（6）若 A 对称正定,则 A

11、 可分解为，其中L为对角元素为正的下三角阵 （）（7） 对任何都有（8）若 A 为正交矩阵，则（）答案：（1）（）（2）（）（3）（）（4）（）（5）（）（6）（）（7）（）（8）（）第六章 解线性方程组的迭代法习题六证 明 对 于 任 意 的 矩 阵 A ， 序 列收敛于零矩阵解： 由于而故方程组(1)考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.(2)写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以计算到为止解：因为具有严格对角占优，故J法与6$法均收敛。(2) J法得迭代公式是，迭代到18次有GS迭代法计算公式为设方程组证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛

12、或发散解：Jacobi迭代为其迭代矩阵，谱半径为，而Gauss-Seide迭代法其迭代矩阵，其谱半径为由于，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。4.下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解， 是否收敛?解：Jacobi法的迭代矩阵是,J法收敛、GS法的迭代矩阵为,解此方程组的GS法不收敛。5. 设,detAWO ,用,b表示解方程组庆*二的 法及GS法收敛的充分必要条件.解J法迭代矩阵为，故J法收敛的充要条件。GS法迭代矩阵为得 GS 法收敛得充要条件是6.用SOR方法解方程组（分别取3=1.03,3=1,3=1.1）精确解，要求当时迭代终止，并对每一个

13、3值确定迭代次数解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为时，迭代 5 次达到要求若取，迭代6次得7.对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速 度，并求 J 法与 GS 法的渐近收敛速度.若要使那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?解：J法的迭代矩阵为，因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子J法收敛速度由于，故若要求，于是迭代次数对于J法，取 K=15对于GS法，取 K=8对于SOR法，取 K=58. 填空题(1)要使应满足（）.已知方程组，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛().它的渐近收敛 速度 R(B)=().设 方 程 组 Ax=b, 其 中其 J 法的迭代矩阵是().GS法

14、的迭代矩阵是().用 GS 法 解 方 程 组，其中a为实数，方法收 敛的充要条件是a满足（）.（5） 给定方程组,a为实数.当a满足（），且0V 3 V2时SOR迭代法收敛.答:(1)(2)J法是收敛的，(3)J 法迭代矩阵是，GS法迭代矩阵(4)满足(5)满 足第七章 非线性方程求根习题七1.用二分法求方程的正根，使误差小于0.05解 使用二分法先要确定有根区间。本题 f(x)=x2-xT=0,因 f(1)=-1,f(2)=1,故区间1,2为有根区间。另一根在 -1,0内，故正根在1,2内。用二分法计算各次迭代值 如表。其误差2. 求 方 程=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，

15、并建立相应迭代公式.(1)，迭代公式(2),迭代公式(3)，迭代公式试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根解：（1）取区间，则L1,满足收敛定理条件，故迭代收敛。，在（2）（3）中有，故迭代收敛。附近，故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取，则3. 设方程的迭代法,均有(1) 证明对为方程的根.(2) 取=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过并列出各次迭代值.(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论解：(1)迭代函数（2）取，则有各次迭代值其误差不超过（3）故此迭代为线性收敛4. 给定函数，设对一切x,存在，而且证明对的任意常数迭代法均收敛于方程的根解：由于为单调增函数，故方程的根是唯一的（假定方程有根）。迭代函数，由递推有.用Steffensen方法计算第2题中(2)、(3)的近似根，精确到解 : 在 (2) 中, 令,则有,得,与第2题中(