初三几何2中点辅助线中位线

1、2015年中考解决方案构造中位线学生姓名：XXX上课时间：2014.XX,XX构造中位线自检自查必考点知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等腰三角形底边的中线三线合一（底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合）三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半.中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边.直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则

2、这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线秘籍一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段,从而达到将条件进行转化的目的。秘籍二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。秘籍三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出秘籍四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。他位置的也要能看出中考满分必

3、做题一、构造三角形中位线?考点说明：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点，延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。题中有中点，莫忘中位线与此很相近的几何思想是题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来.平移也有类似功效.【答案】取AC的中点F ,连结DF ,易得【例1】已知：AD是4ABC的中线，AE是4ABD的中线，且AB=BD,求证：AC=2AE. TOC o 1-5 h z BEDC1,一11DF/=AB,/ADF=/BAD=/ADF，而D

4、E=BD=AB,222故DF=DE.再证ADEADF,得AE=AF.【练1】如右下图，在丛BC中，若/B=2/C,AD_LBC,E为BC边的中点.求证：AB=2DE.【答案】如右下图，则取AC边中点F,连结EF、DF.由中位线可得，EF=AB且/B=/CEF.DF为RtMDC斜边上的中线，DF=CF.NCDF=/C,又NDFE+ZFDE=/CEF,即NC+/DFE=2/C,1NDFEEDF,DE=EF=2AB,.AB=2DE.ABDe1【练2】在ABC中，CD、AE分别为AB、BC边上的局，/B=60，求证：DE=AC2【考点】三角形的中位线，30。所对的直角边等于斜边的一半【答案】取AB、B

5、C的中点，连结MN,/B=60:/BAE=/BCD=30口. TOC o 1-5 h z 1一从而得BE=BM=AB,BD=BN=BC,BDEBNM,MN=DE. HYPERLINK l bookmark61 o Current Document 211又因MN=AC，故DE=-AC. HYPERLINK l bookmark69 o Current Document 22【练3】在MBC中,BCD , E是CD的中点，求证:1./ACB=90%AC=2BC,以BC为底作等腰直角AE_LEB且AE=BE.【答案】过E作EF/BC交BD于FZACEZACBZBCE=135ZDFEZDBC=45Z

6、EFB=135_,11又EF/BC,EF=BCAC=BC22.EF=AC,CE=FBAEFB9MCE.CEA=/DBE又ZDBE+/DEB=90.DEB.CEA=90故.AEB=90AE_LEB且AE=BE.【例2】已知四边形ABCD的对角线AC=BD,E、F分别是AD、BC的中点，连结EF分别交AC、BD于M、N,求证：ZAMN=/BNM.【答案】设AB的中点为G,连结GE、GF,11谷易证得GE/=BD,GF/=AC,22从而GF=GE,/GEF=/GFE,所以/AMN=/BNM.【练1】已知四边形ABCD中，ACZGNM.【答案】取AB中点H,连接EH、FH.AE=ED,AH=BH.一,

7、一1一EH/BD,EH=-BD,2ZGNMZHEFAH=BH,BF=CF.一一-1八FH/AC,FH=-AC2.GMN=.HFEACBDFHEHZHEF ZBAC =/EAD ,F为CD的中点.求证:【答案】取AC中点M , 中位线的性质有AD中点N .连结MF、NF、MB、NE ,则根据直角三角形斜边中线的性质及1,MF = AD= NE , NF= AC = MB, MFIIAD , NF/AC , HYPERLINK l bookmark95 o Current Document 2. DNF. BMC . BAC . BMC 即.BMF=/CAD=NCMF,BM=AM,/MBA=/CA

8、B.=/MBA+/CAB=2/CAB,同理可证/DNE=2/DAE.=NEAD,/BMC=/END.+ZCMF=/FND+/DNE,=/ENF,aMBF4NFE,，BF=EF.【练1】 如图所示，在 MBC中，D为AB的中点，分别延长 CA、CB到点E、F,使DE=DF .过E、F分另IJ作直线CA、CB的垂线，相交于点 P,设线段PA、PB的中点分别为 M、N.求证:(1) iDEM 9 iFDN ;(2)/PAE=/PBF.(1)如图所示，根据题意可知 DM / BN且DM = BN ,DN / AM 且 DN = AM , 所以 ZAMD =/APB =/DNB .而M、N分别是直角三角

9、形 所以 EM =AM =DN , FN 又已知DE =DF ,从而 MEM 9 AFDN .(2)由(1)可知/EMD =/DNFMEP、ABFP的斜边的中点,=BN =DM ,则由 NAMD =/DNB 可得 ZAME =NBNF .而 MME、iBNF均为等腰三角形，所以 /PAE =/PBF .【练2】已知：在 MBC中，分别以AB、AC为斜边作等腰直角三角形 ABM，和CAN , P是边BC的中点.求证：PM =PN取AB中点Q,AC中点R连结PQ,PR,MQ,NR一-1_PQ/AC,PQ=_AC=NR2PR/AB,PR=MQZPQM=ZPRN（两边分别垂直）APQM省ANRP,PM

10、=PN【练3】如图所示，已知iABD和MCE都是直角三角形，且ZABD=NACE=90连接DE,设M为DE的中点.(1)求证MB=MC.(2)设/BAD=/CAE,固定RtMBD，让RtMCE移至图示位置，此时MB=MC是否成立？请证明你的结论.【答案】(1)如图所示，延长BM交CE于N.因为DM=EM,CE/BD,故ADBM9iENM,贝UBM=NM,1从而MC=BN=MB.2(2)结论是肯定的.取AD、AE的中点F、G,连接FB、FM、MG、GC.由BF、CG是RtMBD、RtMCE斜边上的中线一.r11可得BFADCGAE22，从而MF=CG,MG=BF.又因为ZCGE=2/CAE=2/

11、BAD=/BFD,/MFD=/DAE=/MGE,故ZBFM=/MGC,从而ABFM9AMGC,故MB=MC.【练4】在ABC中，AB=AC,分别以AB和AC为斜边，向ABC的外侧作等腰直角三角形，M是BC边中点中点，连接MD和ME(1)如图24-1所示，若AB=AC,则MD和ME的数量关系是(2)如图24-2所示，若ABWAC其他条件不变，则MD和ME具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；图24-1(3)在任意ABC中，仍分别以AB和AC为斜边,BC的中点，连接MD和ME,请在图24-3向ABC的内侧作等腰直角三角形，M是中补全图形，并直接判断MED的形状.【答案】(2)角形又图24-2A

12、2014年门头沟二模MD=ME如图，作DF_LAB,ABD和等腰直角三角形M是BC的中点，所以EG_LAC,垂足分别为ACE斜边上的高，所以F、G.因为DF、F、G分别是AB、MF、MG是LABC的中位线.1、1MF=AC,MG=AB,MF/AC,MG/AB.22BFM=/BAC,2MGC=/BAC./BFM=/MGC.所以NDFM=/MGE.EG分别是等腰直角三AC的中点.:DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线,一1-1EG=一AC,DF=-AB.22,MF=EG,DF=NG.,DM=ME./FMD=jGEMLdfmW_MGE.FMGGME=GEMMGCG:EG_A

13、C.EGC=90GGEM.MGC.GME.EGC=180.DME=90(3)作图正确得一分等腰直角三角形.【例4】以MBC的两边AB、AC为腰分别向外作等腰RtMBD和等腰RtMCE,/BAD=/CAE=90.连接DE,M、N分别是BC、DE的中点.探究：AM与DE的位置关系及数量关系.(1)如图当MBC为直角三角形时，AM与DE的位置关系是；线段AM与DE的(2)将图中的等腰RtMBD绕点A沿逆时针方向旋转中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.日口(0日90)后，如图所示,(1)问1【答案】(1)AM1DE,AM=DE;2(2)结论仍然成立。证法一：如图，延长CA至F,使FA=AC,FA

14、交DE于点P,并连结DAIBA,EA1AF,ZBAF=90*+/DAF=/EAD.FA=AE在iFAB与iEAD中，V/BAF=/EADBA=DAZiFABAEAD.BF=DE,ZF=ZAEN.FPD.F-.APE.AEN=90.FB_DE.BF.又CA=AF,CM=MB,，AMIIFB且AM1FB21AM_LDE,AM=DE.2【练1口)如图1,BD、CE分别是ABC的外角平分线,过点A作AD_LBD、AE_LCE,垂足分别为连接1求证：DE/BC,DE=-(AB+BC+AC)(2)如图2,BD、CE分别是ABC的内角平分线，其他条件不变;(3)如图3,BD为ABC的内角平分线，CE为ABC

15、的外角平分线，其他条件不变则在图2、图3两种情况下,DE、BC还平行吗？它与ABC三边又有怎样的数量关系?请你写出猜测，并给与证明.A【解析】(1)如图1,证明略(2)如图2,DE/(3)如图，DE/BDE;1B图1cB囱2cB图3c1BC,DE=-(AB+AC-BC)证明过程略1C,DE=万(AC+BC-AB)证明过程略Ad/Ke之二立殳、G1B图1cHHA:二B图3cMN【练2】已知丛BC中，/ACB=90,AB边上的高线C卜于P、Q两点PM、QN的中点分别为E、F.求证：EF/套GB图2cHH与AABC的两条内角平分线AM、BN分别交二/AB.AN1CMB【点播】(模型)双垂直+角平分线

16、=等腰三角形AEF,可以让学生记住该模型AZAOB =60, P、Q、R分【答案】因为BN是/ABC的平分线，所以/ABN=/CBN.又因为CH_LAB,所以ZCQN=/BQH=90。/ABN=90。NCBN=NCNB,因止匕CQ=：NC.又F是QN的中点，所以CF_LQN,延长CF交AB于G,延长CE交AB于H.可证明BBF9AGBF,MECMEH.所以F和E分别是CG和iCH的中位线.所以FEIIAB.【例5】等腰梯形ABCD中，AB/CD,AC=BD,AC与BD交于点O,别是OA、BC、OD的中点，求证：ZPQR是正三角形.D C【答案】连结BP、CR.ABCD是等腰梯形，AD=BC,O

17、A=OB,OC=OD.ZAOB=60,MOB、/COD都是正三角形.P是OA的中点，R是OD的中点，BP_LOA,CR_LOD.PQ、RQ分别是直角三角形APBC、ARBC斜边上的中线.-1-PQ=-BC=QR,：PR是ODA的中位线，1PR=AD=BC22&PQR是正三角形.再给一种思路：（其实方法很多）取BO的中点E,连结PE、EQ.证明APOR0件EQ,再证结论.1【练1】AD是MBC的中线，F是AD的中点，BF的延长线交AC于E.求证：AE=AC.3A【答案】取EC的中点G ,连接DG易得DG / BE ,1F为AD的中点，所以AE=EG,从而可证得：AE=AC.3【例6】如左下图，在

18、梯形ABCD中,1EF=/(AB-CD卜AB/CD,E、F分别是AC、BD中点.求证：EFIIAB,且【答案】如图，连结CF并延长交AB于NCD/AB,ZDCN=NBNCZDFC=/BFN,DF=BFiDFC9田FNCF=FN,CD=NBCE=EA1EF/AN,EF=AN2,1.EFIIAB,EF=-(AB-CD)【练习2】在课外小组活动时，小慧拿来一道题(原问题)和小东，小明交流原问题：如图1,已知AABC,/ACB=901/ABC=45,分别以AB,BC为边向外作MBD和ABCE,且DA=DB,EB=EC,/ADB=/BEC=90。，连接DE交AB于点F,探究线段DF与EF的数量关系。小慧

19、同学的思路是：过点D作DG_LAB于G,构造全等三角形，通过推理使问题得解小东同学说：我做过一道类似的题目，不同的是，/ABC=30ZADB=ZBEC=604小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况。请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：(1)写出原问题中DF与EF的数量关系(2)如图2,若/ABC=30。，/ADB=/BED=60，原问题中的其他条件不变，你在(1)中得到的结论是否发生变化？请写出你的猜想并加以证明；1)中得到的结论是(3)如图3,若/ADB=/BEC=2/ABC,原问题中的其他条件不变，你在(否发生变化？请写出你的猜想并加以证明。图

20、1图2图3【答案】(1) DF =EF(2)猜想：DF =EF证明：过点D作DG _LAB于G ,AG =BG ,ADBA是等边三角形= 90% DA = DB ,NADB =60DA=BA, ZAGB =902 ZABC =301AC =一 AB2= BC,ADBG ABACDG =BC ,BE =EC，/BEC =60AEBC 是等边三角形，BC =BE ,/CBE =60，DG =BE，/ABE =ZABC +/CBE =90NDFG=/EFB,/DGF=/EBF,ADFGAEFB,DF=EF猜想：DF=FE证法一：过点D作DH_LAB于H,连接HC , HE , 贝U ZDHB =90

21、 口, ZACB =90， EB =EC , HEHE交CB于K DA=DB,AH =BH ,/1 =/HDB HC二 HBAHBE 9 AHCEN2 =/3,/4 =NBEHHK _LBC , /BKE=90ZADBZBEC=2ZABCZHDBZBEHZABC.DBC=.DBH.ABC=.DBH.HDB=90/EBH=/EBK+/ABC=/EBK+NBEK=90,/.DB/HE,DH/BEEK _LBC 于 K ,连接 HK，四边形DHEB是平行四边形，DF=EF证法二：分别过点D,E作DH_LAB于H,贝UZDHB=/EKB=/EKC=90*,ZACB=90、EK/ACDA=DB,/1=/

22、HDB,CK=BK,22=BEK,HK/AC.点H,K,E在同一条直线上A中考真题拔高【例7】已知：4AOB中，AB=OB=2,ACOD中，CD=OC=3,/ABO=/DCO.连接AD、BC、,点M、N、P分别为AO、DO、BC的中点.(1)如图1,若A、O、C三点在同一直线上，且/ABO=60,ADBC则APMN的形状是,此时=；(2)如图2,若A、O、C三点在同一直线-上，且/ABO=2o(,证明PMNsBAO,AD并计算AD的值(用含的式子表示)；BC(3)在图2中，固定AOB,将ACOD绕点O旋转，直接写出PM的最大值.(10年海淀一模)AMONBP【答案】(1)等边三角形，1；(2)

23、证明：连接BM、CN.由题意，得BM_LOA,CN_LOD,/AOB=/COD=90=a.A、O、C三点在同一直线上，B、O、D三点在同一直线上./BMC=/CNB=90.P为BC中点，在RtABMC中，PM=-BC21.在RtABNC中，PN=BC.pm=pn.2B、C、N、M四点都在以P为圆心，1BC为半径的圆上/MPN=2/MBN.1又/MBN=/ABO=a,/MPN=ABO.2PMNs/XBAO.MNAOPMBAi由题意，MN=AD,又PM24BC.,ADMNADAO-=.BCPMBCBA在RtzXBMA中，：AM=sine(.;AO=2AM,AB HYPERLINK l bookma

24、rk51 o Current Document ,AOAD.=2sinc(=2sina HYPERLINK l bookmark57 o Current Document BABC(3)【例8】如图，D占八、.是“BC中AB边的中点，ABCE和CF都是等边三角形，M、N分别是CE、CF的中(1)求证：4DMN是等边三角形;(2)连接EF,Q是EF中点，CPLEF于点P.求证：DP=DQ.同学们，如果你觉得解决本题有困难，可以阅读下面两位同学的解题思路作为参考:小聪同学发现此题条件中有较多的中点，因此考虑构造三角形的中位线，添加出了一些辅助线；小慧同学想到要证明线段相等，可通过证明三角形全等，如

25、何构造出相应的三角形呢？她考虑将点旋转到要证的对应线段的位置，由此猜想到了所需构造的三角形的位置.NCM绕顶(12年朝阳二模)【答案】取AC的中点G,连接NG、DG.DG=1BC,DG/BC;ANGC是等边三角形.2.NG=NC,DG=CM./1+/2=180o,/NGD+/2=240o.-Z2+/3=240o,./NGD=/3.NGDANCM.ND=NM,/GND=/CNM./DNM=/GNC=60o.DMN是等边三角形.(2)连接QN、PM.QN=1CE=PM.2RtCPE中，PM=EM,4=/5.MN/EF,.5=Z6,Z7=Z8.NQ/CE,.7=Z4./6=/8./QND=/PMD.

26、AQNDAPMD.DQ=DP.【例9】在祥BC中，D为BC边的中点，在三角形内部取一点P,使得/ABP=/ACP.过点P作PELAB于点E,PFLAC于点F.(1)如图1,当AB=AC时，判断的DE与DF的数量关系，直接写出你的结论;(2)如图2,当ABAC,其它条件不变时，(1)中的结论是否发生改变？请说明理由.(12年丰台二模)【答案】(1)(2)DE=DF.DE=DF不发生改变.理由如下：分别取 BP、CP的中点M、N,联结EM、1 D 为 BC 的中点，DN =- BP,DN / BP .1 2PE -LAB, EM = BM =- BP.2DM、FN、DN. . DN =EM ,4

27、=/2 . ./3 = /1+/2=2/1 .同理 DM =FN ,/5 = 2/4,MD/PC .四边形MDNP为平行四边形./6=/7. N1 =” /3 = N5.NEMD =/DNF .EMDADNF .DE=DF .AD、BE交于点O.【例10】探究问题：已知AD、BE分别为BBC的边BC、AC上的中线，且AABC为等边三角形，如图1,则AO：OD=（2）当小明做完（1）问后继续探究发现，若AABC为一般三角形（如图2）,中的结论仍成立，请你给予证明.（3）运用上述探究的结果，解决下列问题：如图3,在AABC中，点E是边AC的中点，AD平分/BAC,，AD，BE于点F,若AD=BE=

28、4.求：AABC的周长.（2012年房山二模试题）A图1图2图3【答案】(1)2:1(2)证明略(3)方法一：过点C作CG/BE,交AB延长线于点G,故BE是4ACG的中位线，D点为4ACG重心,AD=2DH=4,AH=6,AF=3,DF=1,BF=2,.BD=痣，CD=2击，AB=1AC=7i3,2故周长为3,133.5方法二：取AE中点G,BC中点H,连接GF、FH、HE,BG交AF于点I,易证四边形GFHE为菱形,BEGABHF,故I为4ABE重心，AI=2IF=2FD=2,BD=75,2AB=AC=2行，BI=2IG,BD=2DH,BC=2BH=3BD=3T5,故周长为3J13+3J5

29、【例11如图1,在四边形ABCD中，AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连结EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则2BME=/CNE（不需证明）.（温馨提示：在图1中，连结BD,取BD的中点H,连结HE、HF,根据三角形中位线定理，证明HE=HF,从而21=/2,再利用平行线性质，可证得/BME=/CNE.）问题一：如图2,在四边形ADBC中，AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点，连结EF,分别交DC、AB于点M、N,判断AOMN的形状，请直接写出结论.问题二：如图的中点，连结的形状并证明.3,在ABC中，ACaABjD点在EF并延长，与BA的延长

30、线交于点GAC上，AB=CD,E、F分别是BC、AD若ZEFC=60,连结GD，判断ZXAGD（13年延庆一模）图1【答案】（1）等腰三角形（2）证明：如图连结BD,取BD的中点H,连结HF、HE,F是AD的中点，HFIIAB,1HF=AB,/1=/3.21-同理，HE/CD,HE=qCD22=/EFC.AB=CD,HF=HE,/.Z1=Z2/EFC=60,./3=/EFC=/AFG=60.AGF是等边三角形.AF=FD二GF=FD,j./FGD=/FDG=30AGD=90即AGD是直角三角形.GADE【例12我们知道三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.经过证明我们可得三角形重心具备下面的性质：重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为题.2:1.请你用此性质解决下面的问已知：如图，点O为等腰直角三角形ABC的重心，/CAB=901直线m过点O,过A、B、C点分别作直线m的垂线，垂足分别为点D、E、F.（1）当直线m与BC平行时（如图1）,请你猜想线段BE、CF和AD三者之间的数量关系并证明；(2)当直线m绕点O旋转到与BC不平行时，分另IJ探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AD、BE、CF三者之间又有怎样的数量关系？请写出你的结论，不需证明