2022年河南省兰考县第二高三第四次模拟考试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1某中学有高中生人，初中生人为了解该校学生自主锻炼的时间，采用分层抽样的方法从高生和初中生中抽取一个容量为的样本.若样本中高中生恰有人，则的值为（ ）ABCD2用1，2，3，4，5组成不

2、含重复数字的五位数，要求数字4不出现在首位和末位，数字1，3，5中有且仅有两个数字相邻，则满足条件的不同五位数的个数是（ ）A48B60C72D1203已知集合，则（ ）ABCD4天干地支，简称为干支，源自中国远古时代对天象的观测.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”称为十天干，“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”称为十二地支.干支纪年法是天干和地支依次按固定的顺序相互配合组成，以此往复，60年为一个轮回.现从农历2000年至2019年共20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率为（ ）ABCD5已知a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则“”是“

3、”的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出口产品供给，实现了行业的良性发展.下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收增长情况，则下列说法错误的是（ ）A2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加B2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍C2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍D2016年我国数字出版营收占新闻出版营收的比例未超过三分之一7根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门

4、派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为（）ABCD8若双曲线的离心率，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为（ ）AB2CD19ABC的内角A，B，C的对边分别为，已知，则为( )ABC或D或10已知双曲线的左右焦点分别为，以线段为直径的圆与双曲线在第二象限的交点为，若直线与圆相切，则双曲线的渐近线方程是（ ）A BC D11已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）ABCD12已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（ ）A3BCD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于

5、，两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为_.14如图，棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和，并将两弧各五等分，分点依次为、以及、一只蚂蚁欲从点出发，沿正方体的表面爬行至，则其爬行的最短距离为_参考数据：；）15已知，是平面向量，是单位向量.若，且，则的取值范围是_.16已知过点的直线与函数的图象交于、两点，点在线段上，过作轴的平行线交函数的图象于点，当轴，点的横坐标是 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）设数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18（12分）某机构组织的家庭教

6、育活动上有一个游戏，每次由一个小孩与其一位家长参与，测试家长对小孩饮食习惯的了解程度在每一轮游戏中，主持人给出A，B，C，D四种食物，要求小孩根据自己的喜爱程度对其排序，然后由家长猜测小孩的排序结果设小孩对四种食物排除的序号依次为xAxBxCxD，家长猜测的序号依次为yAyByCyD，其中xAxBxCxD和yAyByCyD都是1，2，3，4四个数字的一种排列定义随机变量X（xAyA）2+（xByB）2+（xCyC）2+（xDyD）2，用X来衡量家长对小孩饮食习惯的了解程度（1）若参与游戏的家长对小孩的饮食习惯完全不了解（）求他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率；（）求X的分布列

7、（简要说明方法，不用写出详细计算过程）；（2）若有一组小孩和家长进行来三轮游戏，三轮的结果都满足X4，请判断这位家长对小孩饮食习惯是否了解，说明理由19（12分）如图所示，在三棱锥中，点为中点（1）求证：平面平面；（2）若点为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值20（12分）设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若存在，使得不等式对一切恒成立，求实数的取值范围21（12分）已知矩阵，若矩阵，求矩阵的逆矩阵22（10分）设，（1）求的单调区间；（2）设恒成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1B【

8、解析】利用某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比计算即可.【详解】由题意，解得.故选：B.【点睛】本题考查简单随机抽样中的分层抽样，某一层样本数等于某一层的总体个数乘以抽样比，本题是一道基础题.2A【解析】对数字分类讨论，结合数字中有且仅有两个数字相邻，利用分类计数原理，即可得到结论【详解】数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，共有个数字出现在第位时，同理也有个数字出现在第位时，数字中相邻的数字出现在第位或者位，共有个故满足条件的不同的五位数的个数是个故选【点睛】本题主要考查了排列，组合及简单计数问题，解题的关键是对数字分类讨论，属于基础题。3C【解析】求出集合，计算出和，即

9、可得出结论.【详解】，.故选：C.【点睛】本题考查交集和并集的计算，考查计算能力，属于基础题.4B【解析】利用古典概型概率计算方法分析出符合题意的基本事件个数,结合组合数的计算即可出求得概率.【详解】20个年份中天干相同的有10组（每组2个），地支相同的年份有8组（每组2个），从这20个年份中任取2个年份，则这2个年份的天干或地支相同的概率.故选:B.【点睛】本小题主要考查古典概型的计算,考查组合数的计算,考查学生分析问题的能力,难度较易.5C【解析】根据线面平行的性质定理和判定定理判断与的关系即可得到答案.【详解】若，根据线面平行的性质定理，可得；若，根据线面平行的判定定理，可得.故选：C.

10、【点睛】本题主要考查了线面平行的性质定理和判定定理，属于基础题.6C【解析】通过图表所给数据，逐个选项验证.【详解】根据图示数据可知选项A正确；对于选项B：，正确；对于选项C：，故C不正确；对于选项D：，正确.选C.【点睛】本题主要考查柱状图是识别和数据分析，题目较为简单.7A【解析】每个县区至少派一位专家，基本事件总数，甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数，由此能求出甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率.【详解】派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家基本事件总数：甲，乙两位专家派遣至同一县区包含的基本事件个数：甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为：本题正确选项：【点睛】

11、本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.8C【解析】根据双曲线的解析式及离心率，可求得的值；得渐近线方程后，由点到直线距离公式即可求解.【详解】双曲线的离心率，则，解得，所以焦点坐标为，所以，则双曲线渐近线方程为，即，不妨取右焦点，则由点到直线距离公式可得，故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质及简单应用，渐近线方程的求法，点到直线距离公式的简单应用，属于基础题.9D【解析】由正弦定理可求得，再由角A的范围可求得角A.【详解】由正弦定理可知，所以，解得，又，且，所以或。故选：D.【点睛】本题主要考查正弦定理,注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.10

12、B【解析】先设直线与圆相切于点，根据题意，得到，再由，根据勾股定理求出，从而可得渐近线方程.【详解】设直线与圆相切于点，因为是以圆的直径为斜边的圆内接三角形，所以，又因为圆与直线的切点为，所以，又，所以，因此，因此有，所以，因此渐近线的方程为.故选B【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.11C【解析】试题分析：由题意知，当时，由，当且仅当时，即等号是成立，所以函数的最小值为，当时，为单调递增函数，所以，又因为，使得，即在的最小值不小于在上的最小值，即，解得，故选C考点：函数的综合问题【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求

13、最值、函数的单调性及其应用、全称命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为在的最小值不小于在上的最小值是解答的关键12B【解析】由三视图知：几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，如图：直三棱柱的体积为，消去的三棱锥的体积为，几何体的体积，故选B. 点睛：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关键；几何体是直三棱柱消去一个三棱锥，结合直观图分别求出直三棱柱的体积和消去的三棱锥的体积，相减可得几何体的体积.二、填空题：本题共4小题，每小题5分

14、，共20分。132【解析】根据为等边三角形建立的关系式，从而可求离心率.【详解】据题设分析知，所以，得，所以双曲线的离心率.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率的求解，根据条件建立之间的关系式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.14【解析】根据空间位置关系，将平面旋转后使得各点在同一平面内，结合角的关系即可求得两点间距离的三角函数表达式.根据所给参考数据即可得解.【详解】棱长为2的正方体中，点分别为棱的中点，以为圆心，1为半径，分别在面和面内作弧和.将平面绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示：则，所以；将平面绕旋转至与平面共面的位置，将绕旋转至与平面共面的位置，如下图所示：则，所以；因为，

15、且由诱导公式可得，所以最短距离为，故答案为：.【点睛】本题考查了空间几何体中最短距离的求法，注意将空间几何体展开至同一平面内求解的方法，三角函数诱导公式的应用，综合性强，属于难题.15【解析】先由题意设向量的坐标，再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解【详解】由是单位向量若，设，则，又，则，则，则，又，所以，（当或时取等）即的取值范围是，故答案为：，【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平16【解析】通过设出A点坐标，可得C点坐标，通过轴，可得B点坐标，于是再利用可得答案.【详解】根据题意，可设点，则,由于轴，故，代入，可得，即，由于在线段上，故，即，

16、解得.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）；（2）.【解析】（1）令可求得的值，令时，由可得出，两式相减可得的表达式，然后对是否满足在时的表达式进行检验，由此可得出数列的通项公式；（2）求出数列的通项公式，对分奇数和偶数两种情况讨论，利用奇偶分组求和法结合等差数列和等比数列的求和公式可求得结果.【详解】（1），当时，；当时，由得，两式相减得，.满足.因此，数列的通项公式为；（2）.当为奇数时，；当为偶数时，.综上所述，.【点睛】本题考查数列通项的求解，同时也考查了奇偶分组求和法，考查计算能力，属于中等题.18（1）（）（）分布表见解析；（2）理由见解析【解析

17、】（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，家长的排序有种等可能结果，利用列举法求出其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，由此能求出他们在一轮游戏中，对四种食物排出的序号完全不同的概率（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，由此能求出X的分布列（2）假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，在一轮游戏中，P（X4）=P（X=0）+ P（X=2）=，三轮游戏结果都满足“X4”的概率为，这个结果发生的可能性很小，从而这位家长对小孩饮食习惯比较了解【详解】（1）（i）若家长对小孩子的饮食习惯完全不

18、了解，则家长对小孩的排序是随意猜测的，先考虑小孩的排序为xA，xB，xC，xD为1234的情况，家长的排序有24种等可能结果，其中满足“家长的排序与对应位置的数字完全不同”的情况有9种，分别为：2143，2341，2413，3142，3412，3421，4123，4312，4321，家长的排序与对应位置的数字完全不同的概率P基小孩对四种食物的排序是其他情况，只需将角标A，B，C，D按照小孩的顺序调整即可，假设小孩的排序xA，xB，xC，xD为1423的情况，四种食物按1234的排列为ACDB，再研究yAyByCyD的情况即可，其实这样处理后与第一种情况的计算结果是一致的，他们在一轮游戏中，对四

19、种食物排出的序号完全不同的概率为（ii）根据（i）的分析，同样只考虑小孩排序为1234的情况，家长的排序一共有24种情况，列出所有情况，分别计算每种情况下的x的值，X的分布列如下表： X 02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 P （2）这位家长对小孩的饮食习惯比较了解理由如下：假设家长对小孩的饮食习惯完全不了解，由（1）可知，在一轮游戏中，P（X4）P（X0）+P（X2），三轮游戏结果都满足“X4”的概率为（）3，这个结果发生的可能性很小，这位家长对小孩饮食习惯比较了解【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19（1）答案见解析（2）【解析】（1）通过证明平面，证得，证得，由此证得平面，进而证得平面平面.（2）建立空间直角坐标系，利用平面和平面的法向量，计算出平面与平面所成锐二面角的余弦值.【详解】（1）因为，所以平面，因为平面，所以因为，点为中点，所以