2022年贵州省贵阳市普通高中高考压轴卷数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1若，则的虚部是（ ）ABCD2已知函数，下列结论不正确的是（ ）A的图像关于点中心对称B既是奇函数，又是周期函数C的图像关于直线对称D的最大值是3如图所示点是抛物线的焦点，点、分别在

2、抛物线及圆的实线部分上运动， 且总是平行于轴， 则的周长的取值范围是（ ）ABCD4中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题；“三百七十八里关，初行健步不为难，次后脚痛递减半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还.”其意思为：“有一个人走了378里路，第一天健步走行，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地，求该人每天走的路程.”由这个描述请算出这人第四天走的路程为（ ）A6里B12里C24里D48里5一个四面体所有棱长都是4，四个顶点在同一个球上，则球的表面积为（ ）ABCD6已知定义在R上的函数（m为实数）为偶函数，记，则a，b，c的大小关系为( )ABCD

3、7已知集合，则集合的非空子集个数是（ ）A2B3C7D88在区间上随机取一个数，使直线与圆相交的概率为（ ）ABCD9已知双曲线C：（）的左、右焦点分别为，过的直线l与双曲线C的左支交于A、B两点.若，则双曲线C的渐近线方程为（ ）ABCD10已知复数，为的共轭复数，则（ ）ABCD11若函数，在区间上任取三个实数，均存在以，为边长的三角形，则实数的取值范围是（ ）ABCD12已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是（ ）A，B，C，D，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13设平面向量与的夹角为，且，则的取值范围为_.14动点到直线的距离和他到点距

4、离相等，直线过且交点的轨迹于两点，则以为直径的圆必过_.15易经是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_.16若函数（）的图象与直线相切，则_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若正数、满足，求证：.18（12分）已知函数，.（1）若不等式对恒成立，求的最小值；（2）证明：.（3）设方程的实根为.令若存在，使得，证明：.19（12分）某工厂生产一种产品的标准长度

5、为，只要误差的绝对值不超过就认为合格，工厂质检部抽检了某批次产品1000件，检测其长度，绘制条形统计图如图：（1）估计该批次产品长度误差绝对值的数学期望；（2）如果视该批次产品样本的频率为总体的概率，要求从工厂生产的产品中随机抽取2件，假设其中至少有1件是标准长度产品的概率不小于0.8时，该设备符合生产要求.现有设备是否符合此要求？若不符合此要求，求出符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值.20（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围21（12分）若数列前n项和为，且满足（t为常数，且）（1）求数列的通项公式：（2）设，且数列为等比数列，令，.求

6、证：.22（10分）如图，三棱锥中，（1）证明：面面；（2）求二面角的余弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】通过复数的乘除运算法则化简求解复数为：的形式，即可得到复数的虚部.【详解】由题可知，所以的虚部是1.故选：D.【点睛】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的基本概念，属于基础题.2D【解析】通过三角函数的对称性以及周期性，函数的最值判断选项的正误即可得到结果【详解】解：，正确；，为奇函数，周期函数，正确；，正确；D： ，令，则，则时，或时，即在上单调递增，在和上单调递减；且，故D错误故选：【点睛

7、】本题考查三角函数周期性和对称性的判断，利用导数判断函数最值，属于中档题3B【解析】根据抛物线方程求得焦点坐标和准线方程，结合定义表示出；根据抛物线与圆的位置关系和特点，求得点横坐标的取值范围，即可由的周长求得其范围.【详解】抛物线，则焦点，准线方程为，根据抛物线定义可得，圆，圆心为，半径为，点、分别在抛物线及圆的实线部分上运动，解得交点横坐标为2.点、分别在两个曲线上，总是平行于轴，因而两点不能重合，不能在轴上，则由圆心和半径可知，则的周长为，所以，故选：B.【点睛】本题考查了抛物线定义、方程及几何性质的简单应用，圆的几何性质应用，属于中档题.4C【解析】设第一天走里，则是以为首项，以为公比

8、的等比数列，由题意得，求出（里，由此能求出该人第四天走的路程【详解】设第一天走里，则是以为首项，以为公比的等比数列，由题意得：，解得（里，（里故选：C【点睛】本题考查等比数列的某一项的求法，考查等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题5A【解析】将正四面体补成正方体，通过正方体的对角线与球的半径关系，求解即可【详解】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体的外接球与正方体的外接球相同，四面体所有棱长都是4，正方体的棱长为，设球的半径为，则，解得，所以，故选：A【点睛】本题主要考查多面体外接球问题，解决本题的关键在于，巧妙构造正方体，

9、利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化，属于中档题6B【解析】根据f（x）为偶函数便可求出m0，从而f（x）1，根据此函数的奇偶性与单调性即可作出判断.【详解】解：f（x）为偶函数；f（x）f（x）；11；|xm|xm|；（xm）2（xm）2；mx0；m0；f（x）1；f（x）在0，+）上单调递增，并且af（|）f（），bf（），cf（2）；02；acb故选B【点睛】本题考查偶函数的定义，指数函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间0，+）上，根据单调性去比较函数值大小7C【解析】先确定集合中元素，可得非空子集个数【详解】由题意，共3个元素，其

10、子集个数为，非空子集有7个故选：C【点睛】本题考查集合的概念，考查子集的概念，含有个元素的集合其子集个数为，非空子集有个8C【解析】根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.【详解】因为圆心，半径，直线与圆相交，所以，解得 所以相交的概率,故选C.【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.9D【解析】设，利用余弦定理，结合双曲线的定义进行求解即可.【详解】设，由双曲线的定义可知：因此再由双曲线的定义可知：，在三角形中，由余弦定理可知：，因此双曲线的渐近线方程为：.故选：D【点睛】本题考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了双曲线的渐

11、近线方程，考查了数学运算能力.10C【解析】求出，直接由复数的代数形式的乘除运算化简复数.【详解】.故选：C【点睛】本题考查复数的代数形式的四则运算，共轭复数，属于基础题.11D【解析】利用导数求得在区间上的最大值和最小，根据三角形两边的和大于第三边列不等式，由此求得的取值范围.【详解】的定义域为，所以在上递减，在上递增，在处取得极小值也即是最小值，所以在区间上的最大值为.要使在区间上任取三个实数，均存在以，为边长的三角形，则需恒成立，且，也即，也即当、时，成立，即，且，解得.所以的取值范围是.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，考查恒成立问题的求解，属于中档题.12D【解析

12、】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】从题设中提供的图像可以看出，故得，故选：D【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13【解析】根据已知条件计算出，结合得出，利用基本不等式可得出的取值范围，利用平面向量的数量积公式可求得的取值范围，进而可得出的取值范围.【详解】，由得，由基本不等式可得，因此，的取值范围为.故答案为：.【点睛】本题考查利用向量的模求解平面向量夹角的取值范围，考查计算能力，属于中等题.14【解析】利用动点到直线的距离和他到点距离相等，,可知动点的轨迹是以为焦点的抛物线,从而可

13、求曲线的方程,将 ,代入,利用韦达定理,可得 ,从而可知以为直径的圆经过原点O.【详解】设点，由题意可得，可得，设直线的方程为，代入抛物线可得，以AB为直径的圆经过原点.故答案为：（0,0）【点睛】本题考查了抛物线的定义，考查了直线和抛物线的交汇问题，同时考查了方程的思想和韦达定理，考查了运算能力，属于中档题.15【解析】观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。【详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个

14、。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。从8个卦中任取2卦，共有种可能，两卦中共2阳4阴的情况有，所求概率为。故答案为：。【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。162【解析】设切点由已知可得,即可解得所求.【详解】设，因为，所以，即，又，.所以，即，.故答案为:.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,难度较易.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1）

15、；（2）见解析【解析】（1）等价于（）或（）或（），分别解出，再求并集即可；（2）利用基本不等式及可得，代入可得最值.【详解】（1）等价于（）或（）或（）由（）得：由（）得：由（）得：.原不等式的解集为；（2），当且仅当，即时取等号，当且仅当即时取等号，.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式，考查三角不等式的应用及基本不等式的应用，是一道中档题.18（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）由题意可得，令，利用导数得在上单调递减，进而可得结论；（2）不等式转化为，令，利用导数得单调性即可得到答案；（3）由题意可得，进而可将不等式转化为，再利用单调性可得，记，再利用导数研究单调性可得

16、在上单调递增，即，即，即可得到结论.【详解】（1），即，化简可得.令，因为，所以，.所以，在上单调递减，.所以的最小值为.（2）要证，即.两边同除以可得.设，则.在上，所以在上单调递减.在上，所以在上单调递增，所以.设，因为在上是减函数，所以.所以，即.（3）证明：方程在区间上的实根为，即，要证，由可知，即要证.当时，因而在上单调递增.当时，因而在上单调递减.因为，所以，要证.即要证.记，.因为，所以，则.设，当时，.时，故.且，故，因为，所以.因此，即在上单调递增.所以，即.故得证.【点睛】本题考查函数的单调性、最值、函数恒成立问题，考查导数的应用，转化思想，构造函数研究单调性，属于难题.1

17、9（1）（2）【解析】（1）根据题意即可写出该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列，再根据期望公式即可求出；（2）由（1）可知，任取一件产品是标准长度的概率为0.4，即可求出随机抽取2件产品，都不是标准长度产品的概率，由对立事件的概率公式即可得到随机抽取2件产品，至少有1件是标准长度产品的概率，判断其是否符合生产要求；当不符合要求时，设生产一件产品为标准长度的概率为，可根据上述方法求出，解，即可得出最小值.【详解】（1）由柱状图，该批次产品长度误差的绝对值的频率分布列为下表：00.010.020.030.04频率0.40.30.20.0750.025所以的数学期望的估计为.（2）由（1）可知任

18、取一件产品是标准长度的概率为0.4，设至少有1件是标准长度产品为事件，则，故不符合概率不小于0.8的要求.设生产一件产品为标准长度的概率为，由题意，又，解得，所以符合要求时，生产一件产品为标准长度的概率的最小值为.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的期望的求法，相互独立事件同时发生的概率公式的应用，对立事件的概率公式的应用，解题关键是对题意的理解，意在考查学生的数学建模能力和数学运算能力，属于基础题20（1）.（2）.【解析】试题分析：（）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出取并集即可；（）求出f（x）的最大值，得到关于a的不等式，解出即可试题解析：（1）不等式等价于或或，解得或，所以不等式的解集是；（2），解得实数的取值范围是点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解法一是运用分类讨论思想，法二