四川中考突破复习题型专项(十二)二次函数与几何图形

1、专项(十二)二次函数与几何图形的综合题类型1探究图形面积的数量关系及最值问题1(2016安徽)如图，二次函数yax2bx的图象经过点A(2，4)与B(6，0)(1)求a，b的值；(2)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，横坐标为x(2x6)写出四边形OACB的面积S关于点C的横坐标x的函数解析式，并求S的最大值解：(1)将A(2，4)与B(6，0)代入yax2bx.得eq blc(avs4alco1(4a2b4，,36a6b0.)解得eq blc(avs4alco1(af(1,2)，,b3.)(2)过点A作x轴的垂线，垂足为D(2，0)，连接CD，过点C作CEAD，CFx轴，垂足分别

2、为点E，F.SOADeq f(1,2)ODADeq f(1,2)244，SACDeq f(1,2)ADCEeq f(1,2)4(x2)2x4，SBCDeq f(1,2)BDCFeq f(1,2)4(eq f(1,2)x23x)x26x，则SSOADSACDSBCD4(2x4)(x26x)x28x.S关于x的函数解析式为Sx28x(2x6)S(x4)216.当x4时，四边形OACB的面积S取最大值，最大值为16.2(2016雅安中学一诊)如图，已知抛物线yax2eq f(3,2)xc与x轴相交于A，B两点，并与直线yeq f(1,2)x2交于B，C两点，其中点C是直线yeq f(1,2)x2与y

3、轴的交点，连接AC.(1)求抛物线解析式；(2)求证：ABC为直角三角形；(3)在抛物线CB段上存在点P使得以A，C，P，B为顶点的四边形面积最大，请求出点P的坐标以及此时以A，C，P，B为顶点的四边形面积解：(1)直线yeq f(1,2)x2交x轴，y轴于B，C两点，B(4，0)，C(0，2)yax2eq f(3,2)xc经过点B，C，eq blc(avs4alco1(16a6c0，,c2.)解得eq blc(avs4alco1(af(1,2)，,c2.)yeq f(1,2)x2eq f(3,2)x2.(2)令eq f(1,2)x2eq f(3,2)x20，解得x11，x24.OA1，OB4

4、.AB5.AC2OA2OC25，BC2OC2OB220，AB225.AC2BC2AB2.ABC为直角三角形(3)连接CD，BD，过点P作PEAB，垂足为点E，直线EP交线段BC于点D.设直线BC的解析式为ykxb.将B(4，0)，C(0，2)代入，得eq blc(avs4alco1(b2，,4kb0.)解得eq blc(avs4alco1(kf(1,2)，,b2.)直线BC的解析式为yeq f(1,2)x2.设点D(a，eq f(1,2)a2)，则点P(a，eq f(1,2)a2eq f(3,2)a2)PDPEDEeq f(1,2)a2eq f(3,2)a2(eq f(1,2)a2)eq f(

5、1,2)a22a，当a2时，PD有最大值，PD的最大值为2.S四边形ACPBSACBSCBPeq f(1,2)ABOCeq f(1,2)OBDPeq f(1,2)52eq f(1,2)4DP52PD.当PD最大时，四边形ACPB的面积最大当点P的坐标为(2，3)时，四边形ACPB的面积的最大值为5229.3(2015攀枝花)如图，已知抛物线yx2bxc与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于点M，连接PB.(1)求抛物线的解析式；(2)在(1)中位于第一象限内的抛物线上是否存在点D，使得BCD的面积最大？若存在，求出点D坐标及B

6、CD面积的最大值；若不存在，请说明理由；(3)在(1)中的抛物线上是否存在点Q，使得QMB与PMB的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)把A，B两点坐标代入抛物线解析式，得eq blc(avs4alco1(1bc0，,93bc0.)解得eq blc(avs4alco1(b2，,c3.)抛物线解析式为yx22x3.(2)设D(t，t22t3)，过点D作DHx轴于点H，连接DC，DB.令x0，则y3，C(0，3)SBCDS梯形DCOHSBDHSBOCeq f(1,2)(t22t33)teq f(1,2)(3t)(t22t3)eq f(1,2)33eq f(3,2)t2e

7、q f(9,2)t.eq f(3,2)0，当teq f(f(9,2),2（f(3,2)）)eq f(3,2)时，即点D坐标为(eq f(3,2)，eq f(15,4)时，SBCD有最大值，且最大面积为eq f(27,8).(3)存在P(1，4)，过点P且与BC平行的直线与抛物线的交点即为所求Q点之一，直线BC解析式为为yx3，过点P且与BC平行的直线为yx5.由eq blc(avs4alco1(yx5，,yx22x3，)解得eq blc(avs4alco1(x2，,y3.)Q1(2，3)直线PM的解析式为x1，直线BC的解析式yx3，M(1，2)设PM与x轴交于点E，PMEM2，过点E且与BC

8、平行的直线为yx1.从而过点E且与BC平行的直线与抛物线的交点也为所求Q点之一联立eq blc(avs4alco1(yx1，,yx22x3，)解得eq blc(avs4alco1(x1f(3r(17),2)，,y1f(1r(17),2)，)eq blc(avs4alco1(x2f(3r(17),2)，,y2f(1r(17),2).)Q2(eq f(3r(17),2)，eq f(1r(17),2)，Q3(eq f(3r(17),2)，eq f(1r(17),2)满足条件的Q点坐标为(2，3)，(eq f(3r(17),2)，eq f(1r(17),2)或(eq f(3r(17),2)，eq f(

9、1r(17),2)类型2探究线段的数量关系及最值问题4(2016成都青羊区二诊改编)已知抛物线yeq f(1,a)x2(eq f(2,a)1)x2(a0)与x轴交于A，B两点，与y轴相交于点C，且点A在点B的左侧(1)若抛物线过点D(2，2)，求实数a的值；(2)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点E，使AECE最小，求出点E的坐标解：(1)抛物线过点D(2，2)，eq f(1,a)4(eq f(2,a)1)222，解得a4.(2)点A，B是抛物线与x轴的交点，点B是点A关于抛物线对称轴的对称点连接BC交对称轴于点E，则点E即为使AECE最小的点a4，抛物线解析式为yeq f(1,4)x

10、2eq f(1,2)x2.令y0，则eq f(1,4)x2eq f(1,2)x20，解得x12，x24.令x0，则y2.A(2，0)，B(4，0)，C(0，2)，对称轴为直线x1.直线BC解析式为yeq f(1,2)x2.当x1时，yeq f(3,2)，E(1，eq f(3,2)5(2015南充)已知抛物线yx2bxc与x轴交于点A(m2，0)和B(2m1，0)(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：x1.(1)求抛物线解析式；(2)直线ykx2(k0)与抛物线相交于两点M(x1，y1)，N(x2，y2)(x1x2)，当|x1x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标

11、；(3)首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L.若线段OB在x轴上移动，求L最小时点O，B移动后的坐标及L的最小值解：(1)由题意，得eq f(b,2（1）)1，b2.抛物线yx2bxc与x轴交于点A(m2，0)和B(2m1，0)，x2bxc0的解为m2和2m1.(m2)(2m1)b，(m2)(2m1)c.m1，c3.抛物线解析式为yx22x3.(2)联立eq blc(avs4alco1(ykx2，,yx22x3)得x2(k2)x10.x1x2(k2)，x1x21，(x1x2)2(x1x2)24x1x2(k2)24.当k2时，(x1x2)2的最小值为4，即|x1x2|的最小值为2.e

12、q blc(avs4alco1(x1x20，,x1x21.)解得x11，x21，则y10，y24.当|x1x2|最小时，抛物线与直线的交点为M(1，0)，N(1，4)(3)由(1)得O(0，0)，B(3，0)，P(1，4)，C(0，3)LOBBPPCCO，又线段OB平移过程中，OB，PC的长度不变，要使L最小，只需BPCO最短如图，平移线段OC到BC，四边形OBCC是矩形C(3，3)作点P关于x轴(或OB)的对称点P(1，4)，连接CP与x轴交于点B.设CP解析式为yaxn.eq blc(avs4alco1(an4，,3an3.)解得eq blc(avs4alco1(af(7,2)，,nf(1

13、5,2).)yeq f(7,2)xeq f(15,2).当y0时，xeq f(15,7)，B(eq f(15,7)，0)又3eq f(15,7)eq f(6,7)，故点B向左平移eq f(6,7)个单位，平移到B.同时，点O向左平移eq f(6,7)个单位，平移到O(eq f(6,7)，0)，即线段OB向左平移eq f(6,7)个单位时，周长L最短此时，线段BP，CO之和最短为PCeq r(7222)eq r(53)，OBOB3，CPeq r(2).当线段OB向左平移eq f(6,7)个单位，即点O平移到O(eq f(6,7)，0)，点B平移到B(eq f(15,7)，0)时，周长L最短为eq

14、 r(53)eq r(2)3.类型3探究特殊三角形的存在性问题6如图，已知抛物线E1：yx2经过点A(1，m)，以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2，2)，点A，B关于y轴的对称点分别为点A，B.(1)求m的值；(2)求抛物线E2的函数解析式；(3)在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q，B，B为顶点的三角形为直角三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)抛物线E1经过点A(1，m)，m121.(2)抛物线E2的顶点在原点，可设它对应的函数解析式为yax2(a0)，又点B(2，2)在抛物线E2上，2a22.解得aeq f(1,2).抛物线E2的函数解析式为yeq

15、 f(1,2)x2.(3)假设在抛物线E1上存在点Q，使得以点Q，B，B为顶点的三角形为直角三角形当点B为直角顶点时，过点B作Q1BBB交抛物线E1于点Q1，则点Q1与B的横坐标相等且为2.将x2代入yx2，得y4.点Q1(2，4)；当点Q2为直角顶点时，则有Q2B2Q2B2BB2，过点Q2作Q2GBB于点G.设点Q2的坐标为(t，t2)(t0)，则有(t2)2(t22)2(2t)2(t22)242，整理得t43t20.t0，t230，解得t1eq r(3)，t2eq r(3)(舍去)点Q2(eq r(3)，3)综上所述，存在符合条件的点Q坐标为(2，4)与(eq r(3)，3)7(2016雅

16、安中学二诊)如图，已知抛物线与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，其中x1，x2为方程x22x80的两个根(1)求该抛物线的解析式；(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QEAC，交BC于点E，连接CQ，设Q(x，0)，CQE的面积为y，求y关于x的函数关系式及CQE的面积的最大值；(3)点M的坐标为(2，0)，问：在直线AC上，是否存在点F，使得OMF是等腰三角形？若存在，请求出点F的坐标，若不存在，请说明理由解：(1)解方程x22x80，得x14，x22.A(4，0)，B(2，0)设抛物线解析式为ya(x4)(x2)将C(0，4)代入，解得aeq f(1,

17、2).抛物线解析式为yeq f(1,2)x2x4.(2)由Q(x，0)，可得BQx2，AQ4x，过点E作EHAB于点H.EHCO.eq f(EH,CO)eq f(BE,BC).又QEAC，eq f(BE,BC)eq f(BQ,BA).eq f(EH,CO)eq f(BQ,BA).eq f(EH,4)eq f(x2,6)，即EHeq f(2,3)(x2)SCQESCBQSEBQeq f(1,2)(x2)4eq f(1,2)(x2)eq f(2,3)(x2)，y关于x的函数关系式为yeq f(1,3)x2eq f(2,3)xeq f(8,3)eq f(1,3)(x1)23(2x4)CQE的面积的最

18、大值为3.(3)存在点F使得OMF是等腰三角形设AC的解析式为ykxb.直线AC过点A(4，0)和C(0，4)，eq blc(avs4alco1(4kb0，,b4.)解得eq blc(avs4alco1(k1，,b4.)直线AC的解析式为yx4.点F在AC上，设F(x，x4)，OFeq r(x2（x4）2)，MFeq r(（x2）2（x4）2)，OM2.若OMF是等腰三角形，则可能有三种情况：如图1，当OFFM时，F的横坐标应为1，F(1，3)；当OMOF2时，eq r(x2（x4）2)2，化简得x24x60.80这种情况不存在；如图2，当OMMF时，eq r(（x2）2（x4）2)4，化简得

19、x26x80，解得x12，x24(舍去)F(2，2)综上所述，当OMF是等腰三角形时，F(1，3)或(2，2)8(2016凉山模拟)如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，点E是BC的中点，F是AB延长线上一点且FB1.(1)求经过点O，A，E三点的抛物线解析式；(2)点P在抛物线上运动，当点P运动到什么位置时OAP的面积为2，请求出点P的坐标；(3)在抛物线上是否存在一点Q，使AFQ是等腰直角三角形？若存在直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)点A的坐标是(2，0)，点E的坐标是(1，2)设抛物线的解析式是yax2bxc，根据题意，得eq blc

20、(avs4alco1(c0，,4a2bc0，,abc2.)解得eq blc(avs4alco1(a2，,b4，,c0.)抛物线的解析式是y2x24x.(2)当OAP的面积是2时，点P的纵坐标是2或2.当2x24x2时，解得x1，点P的坐标是(1，2)；当2x24x2时，解得x1eq r(2)，此时点P的坐标是(1eq r(2)，2)或(1eq r(2)，2)综上，点P的坐标为(1，2)，(1eq r(2)，2)或(1eq r(2)，2)(3)AFABBF213，OA2.则点A是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；当点F是直角顶点时，Q不可能在抛物线上；当点Q是直角顶点时，Q到AF的距离是eq f(

21、1,2)AFeq f(3,2)，若点Q存在，则Q的坐标是(eq f(1,2)，eq f(3,2)将Q(eq f(1,2)，eq f(3,2)代入抛物线解析式成立抛物线上存在点Q(eq f(1,2)，eq f(3,2)使AFQ是等腰直角三角形类型4探究特殊四边形的存在性问题9(2016雅安中学三诊)如图，已知二次函数yx2bxc的图象经过A(2，1)，B(0，7)两点(1)求该抛物线的解析式及对称轴；(2)当x为何值时，y0?(3)在x轴上方作平行于x轴的直线l，与抛物线交于C，D两点(点C在对称轴的左侧)，过点C，D作x轴的垂线，垂足分别为点F，E.当矩形CDEF为正方形时，求点C的坐标解：(

22、1)把A(2，1)，B(0，7)两点的坐标代入yx2bxc，得eq blc(avs4alco1(42bc1，,c7.)解得eq blc(avs4alco1(b2，,c7.)该抛物线的解析式为yx22x7.yx22x7(x1)28，对称轴为直线x1.(2)当y0时，x22x70，解得x12eq r(2)，由图象知12eq r(2)x12eq r(2)时，y0.(3)设C点的坐标为(m，n)，矩形CDEF为正方形，nm22m7，即CFm22m7.C，D两点的纵坐标相等，C，D两点关于对称轴x1对称设点D的横坐标为p，则1mp1，p2m，CD(2m)m22m.CDCF，22mm22m7.解得m11，

23、m25.点C在对称轴的左侧，m只能取1.当m1时，nm22m7(1)22(1)74.点C的坐标为(1，4)10(2016德阳旌阳区一模)如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA4，OC3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D.(1)求抛物线的解析式；(2)求点D的坐标；(3)若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)设抛物线顶点为E，根据题意OA4，OC3，得E(2，3)设抛物线解析式为ya(x2)23.将A(4

24、，0)代入，得04a3，解得aeq f(3,4).抛物线解析式为yeq f(3,4)(x2)23eq f(3,4)x23x.(2)设直线AC解析式为ykxb(k0)将A(4，0)与C(0，3)代入，得eq blc(avs4alco1(4kb0，,b3.)解得eq blc(avs4alco1(kf(3,4)，,b3.)直线AC解析式为yeq f(3,4)x3.与抛物线解析式联立，得eq blc(avs4alco1(yf(3,4)x3，,yf(3,4)x23x.)解得eq blc(avs4alco1(x11，,y1f(9,4)，)eq blc(avs4alco1(x24，,y20.)点D坐标为(1

25、，eq f(9,4)(3)假设存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况考虑：当点M在x轴上方时，如图1所示四边形ADMN为平行四边形，DMAN，DMAN，由对称性得到M(3，eq f(9,4)，即DM2，故AN2，N1(2，0)，N2(6，0)；当点M在x轴下方时，如图2所示过点D作DQx轴于点Q，过点M作MPx轴于点P，可得ADQNMP，MPDQeq f(9,4)，NPAQ3，将yMeq f(9,4)代入抛物线解析式得eq f(9,4)eq f(3,4)x23x，解得xM2eq r(7)或xM2eq r(7)，xNxM3eq r(7)1或eq r(7)1，N3(eq r(7

26、)1，0)，N4(eq r(7)1，0)假设成立综上所述，满足条件的点N有4个：N1(2，0)，N2(6，0)，N3(eq r(7)1，0)，N4(eq r(7)1，0)11(2016成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线ya(x1)23与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C(0，eq f(8,3)，顶点为D，对称轴与x轴交于点H.过点H的直线l交抛物线于P，Q两点，点Q在y轴右侧(1)求a的值及点A，B的坐标；(2)当直线l将四边形ABCD分为面积比为37的两部分时，求直线l的函数解析式；(3)当点P位于第二象限时，设PQ的中点为M，点N在抛物线上，则以DP为对角线的四

27、边形DMPN能否成为菱形？若能，求出点N的坐标；若不能，请说明理由解：(1)抛物线ya(x1)23与y轴交于点C(0，eq f(8,3)a3eq f(8,3)，解得aeq f(1,3).yeq f(1,3)(x1)23.当y0时，有eq f(1,3)(x1)230，x12，x24.A(4，0)，B(2，0)(2)A(4，0)，B(2，0)，C(0，eq f(8,3)，D(1，3)，S四边形ABCDSAHDS梯形OCDHSBOCeq f(1,2)33eq f(1,2)(eq f(8,3)3)1eq f(1,2)2eq f(8,3)10.从面积分析知，直线l只能与边AD或BC相交，所以有两种情况：

28、当直线l与边AD相交于点M1时，则SAHM1eq f(3,10)103，eq f(1,2)3(yM1)3.yM12，点M1(2，2)，过点H(1，0)和M1(2，2)的直线l的解析式为y2x2；当直线l与边BC相交于点M2时，同理可得点M2(eq f(1,2)，2)，过点H(1，0)和M2(eq f(1,2)，2)的直线l的解析式为yeq f(4,3)xeq f(4,3).综上：直线l的函数解析式为y2x2或yeq f(4,3)xeq f(4,3).(3)假设以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形设P(x1，y1)，Q(x2，y2)且过点H(1，0)的直线PQ的解析式为ykxb.kb0，yk

29、xk.联立eq blc(avs4alco1(ykxk，,yf(1,3)x2f(2,3)xf(8,3)，)得eq f(1,3)x2(eq f(2,3)k)xeq f(8,3)k0.x1x223k，y1y2kx1kkx2k3k2.点M是线段PQ的中点，由中点坐标公式得点M(eq f(3,2)k1，eq f(3,2)k2)假设存在这样的N点如图所示，直线DNPQ.设直线DN的解析式为ykxk3.联立eq blc(avs4alco1(ykxk3，,yf(1,3)x2f(2,3)xf(8,3).)解得x11，x23k1.N(3k1，3k23)四边形DMPN是菱形，DNDM.(3k)2(3k2)2(eq

30、f(3k,2)2(eq f(3,2)k23)2.整理得3k4k240，(k21)(3k24)0.k210，3k240.解得keq f(2r(3),3).k0，keq f(2r(3),3).P(3eq r(3)1，6)，M(eq r(3)1，2)，N(2eq r(3)1，1)PMDN2eq r(7).PMDN，四边形DMPN为菱形假设成立，即以DP为对角线的四边形DMPN能成为菱形，此时点N的坐标为(2eq r(3)1，1)类型5探究三角形相似问题12已知直线yeq f(1,2)x1与x轴交于点A，与y轴交于点B，将AOB绕点O顺时针旋转90，使点A落在点C，点B落在点D，抛物线yax2bxc过

31、点A，D，C，其对称轴与直线AB交于点P，(1)求抛物线的解析式；(2)求POC的正切值；(3)若点M在x轴上，且ABM与APD相似，求点M的坐标解：(1)当y0时，eq f(1,2)x10，解得x2.当x0时，y1，A(2，0)，B(0，1)AOB顺时针旋转90得到COD，C(0，2)，D(1，0)抛物线yax2bxc过点A，D，C，eq blc(avs4alco1(4a2bc0，,abc0，,c2.)解得eq blc(avs4alco1(a1，,b1，,c2.)抛物线解析式为yx2x2.(2)根据(1)，抛物线对称轴为xeq f(b,2a)eq f(1,2（1）)eq f(1,2)，eq

32、f(1,2)(eq f(1,2)1eq f(3,4)，点P的坐标为(eq f(1,2)，eq f(3,4)过点P作PQx轴于点Q，则PQy轴，POCOPQ.tanOPQeq f(f(1,2),f(3,4)eq f(2,3)，tanPOCeq f(2,3).(3)点M在x轴上，且ABM与APD相似，点M必在点A的右侧，APeq r(2（f(1,2)）2（0f(3,4)）)2eq f(3r(5),4)，ABeq r(2212)eq r(5)，AD1(2)123.AA，AP和AB是对应边时，eq f(AP,AB)eq f(AD,AM)，即eq f(f(3r(5),4),r(5)eq f(3,AM)，

33、解得AM4.设点M坐标为(x，0)，则x(2)4，解得x2.点M的坐标为(2，0)；AP和AM是对应边时，eq f(AP,AM)eq f(AD,AB)，即eq f(f(3r(5),4),AM)eq f(3,r(5)，解得AMeq f(5,4).设点M坐标为(x，0)，则x(2)eq f(5,4)，解得xeq f(3,4).点M的坐标为(eq f(3,4)，0)综上所述，当点M(2，0)或(eq f(3,4)，0)时，ABM与APD相似13(2016大邑县一诊改编)如图，二次函数yax24axeq f(3,4)的图象c交x轴于A，B两点(A在B的左侧)，过点A的直线ykx3k(keq f(1,4

34、)交c于另一点C(x1，y1)，交y轴于点M.(1)求点A的坐标，并求二次函数的解析式；(2)过点B作BDAC交AC于点D，若M(0，3eq r(3)且Q点是直线AC上的一个动点求出当DBQ与AOM相似时点Q的坐标解：(1)设y0，即kx3k0，解得x3.A(3，0)A(3，0)在yax24axeq f(3,4)的图象上，09a12aeq f(3,4)，解得aeq f(1,4).该二次函数的解析式为yeq f(1,4)x2xeq f(3,4).(2)在RtAOM中，OA3，OM3eq r(3)tanOAMeq f(OM,AO)eq r(3)，OAM60.如图1中，当Q在DA的延长线上时，BQD

35、30，BQDAOM，在RtABD中，BDBAsin60eq r(3).在RtBQD中，BDBQsin30eq r(3)，解得BQ2eq r(3).过点Q作QQx轴于点Q.BAD60BQAQBA，BQD30，QBQ30.在RtBQQ中，QBQ30，BQ2eq r(3)，QQeq r(3)，BQ3.Q(4，eq r(3)；当点Q与点A重合时，BQD60，DQBOAM，此时点Q(3，0)；如图2中，当点Q在线段DC上时，BQD60，DQBOAM，在AQB中，BAQAQB60，得BQAB2.Q(2，eq r(3)；如图3中，当BQD30时，DQBOMA，此时BQOM.设Q(1，y)在直线yeq r(3

36、)x3eq r(3)上，解得y2eq r(3).Q(1，2eq r(3)综上所述，Q(4，eq r(3)或Q(3，0)或Q(2，eq r(3)或Q(1，2eq r(3)14(2016攀枝花)如图，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B两点，点B坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由解：(1)把B，C两点坐标代入抛物线解析式，得eq blc(avs4alco1(93bc0，,c3.)解得eq blc(avs4alco1(b2，,c3.)抛物线解析式为yx22x3.(2)连接BC，过点P作y轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H.在yx

37、22x3中，令y0，则0 x22x3，解得x1或x3.A点坐标为(1，0)AB3(1)4，且OC3.SABCeq f(1,2)ABOCeq f(1,2)436.B(3，0)，C(0，3)，直线BC解析式为yx3.设P点坐标为(x，x22x3)，则M点坐标为(x，x3)P点在第四象限，PMx3(x22x3)x23x.SPBCeq f(1,2)PMOHeq f(1,2)PMHBeq f(1,2)PM(OHHB)eq f(1,2)PMOBeq f(3,2)PM.当PM有最大值时，PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大PMx23x(xeq f(3,2)2eq f(9,4)，当xeq f(3,2)

38、时，PMmaxeq f(9,4)，则SPBCeq f(3,2)eq f(9,4)eq f(27,8).此时P点坐标为(eq f(3,2)，eq f(15,4)，S四边形ABPCSABCSPBC6eq f(27,8)eq f(75,8).即当P点坐标为(eq f(3,2)，eq f(15,4)时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为eq f(75,8).(3)设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，则AGPGNCGCN.当AGB和NGC相似时，必有AGBCGB.又AGBCGB180，AGBCGB90.ACOOBN.在AOC和NOB中，eq blc(avs4alco1(AOCNOB，,OCOB，,A

39、CONBO，)AOCNOB(ASA)ONOA1.N点坐标为(0，1)设直线m解析式为ykxd.把B，N两点坐标代入，得eq blc(avs4alco1(3kd0，,d1.)解得eq blc(avs4alco1(kf(1,3)，,d1.)直线m解析式为yeq f(1,3)x1.故存在满足条件的直线m，其解析式为yeq f(1,3)x1.拓展类型其他问题1(2016巴中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线ymx24mx5m(m0)与x轴交于点A，B(点A在点B的左侧)，该抛物线的对称轴与直线yeq f(r(3),3)x相交于点E，与x轴相交于点D，点P在直线yeq f(r(3),3)x上(不与原点重

40、合)，连接PD，过点P作PFPD交y轴于点F，连接DF.(1)如图所示，若抛物线顶点的纵坐标为6eq r(3)，求抛物线的解析式；(2)求A，B两点的坐标；(3)如图所示，小红在探究点P的位置时发现：当点P与点E重合时，PDF的大小为定值，进而猜想：对于直线yeq f(r(3),3)x上任意一点P(不与原点重合)，PDF的大小为定值请你判断该猜想是否正确，并说明理由解：(1)ymx24mx5m，ym(x24x5)m(x5)(x1)令y0，则m(x5)(x1)0.m0，x5或x1.A(5，0)，B(1，0)抛物线的对称轴为x2.抛物线的顶点坐标为(2，6eq r(3)，9m6eq r(3)，即m

41、eq f(2r(3),3).抛物线的解析式为yeq f(2r(3),3)x2eq f(8r(3),3)xeq f(10r(3),3).(2)由(1)可知：A(5，0)，B(1，0)(3)如图所示，OP的解析式为yeq f(r(3),3)x，AOP30.PBF60.PDPF，FOOD，DPFFOD90.DPFFOD180.点O，D，P，F共圆PDFPBF.PDF60.2如图，抛物线yax2bxc的顶点为D，与y轴交于点C，直线CD的解析式为yeq r(3)x2eq r(3).(1)求b，c的值；(2)过点C作CEx轴交抛物线于点E，直线DE交x轴于点F，且F(4，0)，求抛物线的解析式；(3)在

42、(2)条件下，抛物线上是否存在点M，使得CDMCEA？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由解：(1)直线CD的解析式为yeq r(3)x2eq r(3)，C(0，2eq r(3)c2eq r(3).设直线CD交x轴于点A，A(2，0)eq f(OA,OC)eq f(2,2r(3)eq f(r(3),3).OCA30，过点D作DMy轴于点M，DCM30，CMeq r(3)DM，设抛物线的顶点横坐标为h，则CMeq r(3)h，D(h，2eq r(3)eq r(3)h)ya(xh)22eq r(3)eq r(3)h.C(0，2eq r(3)，2eq r(3)ah22eq r(3)eq r(

43、3)h.解得h10(舍)，h2eq f(r(3),a).ya(xeq f(r(3),a)22eq r(3)eq r(3)hax22eq r(3)xeq f(3,a)2eq r(3)eq r(3)h.b2eq r(3).(2)作抛物线的对称轴交x轴于点B(如图)，DCM30，CDB30，由抛物线的对称性，可得DCE为等边三角形CEx轴，DAF为等边三角形点B为AF中点A(2，0)，F(4，0)，B(1，0)抛物线对称轴为直线x1，eq f(b,2a)1.eq f(2r(3),2a)1.aeq r(3).D(1，3eq r(3)yeq r(3)(x1)23eq r(3)eq r(3)x22eq r(3)x2eq r(3).(3)存在过点C作CM