《量子力学》课程学习指导

1、量子力学课程学习指导一、量子力学课程结构及特点1900年底，普朗克(M.Planck)研究黑体辐射提出能量子概念，迈出了量子理 论开创性的一步。1905年，爱因斯坦(A.Einstein)为解释光电现象，把普朗克的 量子说推进为光量子说，走出了重要的第二步，使量子观念彻底化。1905-1926年间 量子力学建立。当人们带着满身经典物理学的“尘土”步入物质的微观领域时，无不惊奇地发 现，这里竟是一个崭新的世界：粒子的运作行为与日常生活经验有质的差异，甚至 不可思议，宏观世界的因果规律不再直接适用于微观世界，经典物理学的基本概念 和语言，已不能完备地描述人们脱离日常生活经验而间接地认识到的微观世界

2、。取 而代之的是一种新的自然现象一一以普朗克常量h为表征的量子现象及概率波为 表征的概率幅所描述的量子规律。特别是必须引进没有日常经验与之对应的新的， 抽象的数学语言来弥补经典语言的不足，从而做出不含糊的描述，表达为严格的统 计性规律。从普朗克的量子论诞生至今，量子理论经历了百年的风风雨雨与发展，使量子 力学的理论体系日臻完善，在广泛的应用中显示出巨大的威力。量子力学作为描述 微观世界物质运动的基本规律的理论，解决了一个个悬而未决的问题。尽管在某些 基本观点及概念的解释上还存在着不同的见解，但由于量子力学的“赫赫成功”而 使其逐步成为人们认识和改造世界不可缺少的语言和工具。而且量子力学所涉及的

3、 规律极为普遍，不但在物理学、而且在化学、生物学及哲学等领域也产生了极其深 刻的影响。因此，量子力学已成为近代物理学的理论基础，它与相对论一起被誉为 近代物理学的两大支柱，现代高新科技的基石。现代物理学的许多分支，如高能物 理、核物理和固体物理等，无不以它为理论基础。量子力学渗透到化学和生物学等 之中，形成了量子化学和量子生物学等边缘学科。在现代应用科学和现代技术中， 量子力学也显示出其强大的生命力，如半导体材料和器件、原子能技术、激光技术 等，都用到量子力学的知识。因此，对于物理专业的学生来说，量子力学是一门重 要的基础课。量子力学的内容可以包括三个方面：一是介绍产生新概念的历史背景及一些重

4、 要实验。读者在学习这部分内容时要仔细“品尝”其中的“滋味”，以便启发自己的 思维自然地产生一个飞跃。二是提出一系列不同于经典物理学的基本概念与原理。 这是我们学习量子力学的重点与难点，学习过程中必须首先打扫净身上带有的经典 “尘土”，否则会产生一种“知其然，不知其所以然”的感觉。三是给出解决具体实 际问题的方法。只要我们前面的基础打好，并掌握一定的数学计算方法，解决具体 问题也就有了入手之处。二、量子力学的学习方法量子力学所描述的微观客体（分子、原子、电子、光子等）具有特殊的波粒二象 性和统计性行为特征。量子力学的形式体系与我们所熟悉的经典力学有着显著差异， 使得人们感觉量子力学是一门难学的

5、学科。一个普遍的困难是人们觉得它的物理概 念抽象，物理图象不清晰。譬如，量子力学所用的语言是算符和波函数，而经典力 学中轨道的概念在量子力学中不复存在，不确定关系完全破坏了传统的决定论。诸 如此类的新观念，使初学者感到难以接受，在理解量子力学物理概念和掌握相应数 学方法两方面都感到困难。为了掌握好量子力学的基本概念和原理，初学者首先需 要自觉地破除经典观念的束缚，不应试图按经典的模式去认识、解释量子现象，要 注重对产生新概念和原理的历史背景及一些重要实验的了解，从中了解人类当初是 如何突破经典物理的局限而发现和认识量子力学规律的，仔细“品尝”量子力学概 念和原理的“滋味”，体验量子力学是一门完

6、全不同于经典物理学的新的动力学理论， 它的规律如此与常识相悖，它不可能由经典物理学“过渡”或者“引导”出来；领 悟出微观世界理当如此，不可能不如此，自然地了解它，接受它。物理习题是锻炼物理思维的体操。做物理习题是学习物理课程中必要而又十分 重要的环节，尤其是理论物理课程学习。索末菲致海森堡信中说“要勤奋地去 做练习，只有这样，你才会发现，哪些你理解了，哪些你还没有理解”。我国著名科 学家钱学森先生谈科学技术工作的基本训练指出“理论工作中主要是靠做习题 来练，不做习题是练不出本领来的”。通过做习题可以巩固、丰富已经掌握的知识， 发现你还不懂或懂得不够的地方，或是某些问题的某些侧面；它有助于深化对

7、基本 概念、基本原理的理解，使学到的知识更加融会贯通，锻炼处理问题的技巧，提高 运用所学知识的能力，有助于拓宽知识面等。在四大力学的学习中，量子力学的学 习有一种特殊的困难，这不仅在于量子力学中基本概念、基本原理和初学者的日常 宏观观念差距很大，不容易理解，还在于量子力学的方法有时很新颖，其中包含不 少物理和数学新技巧。于是，常常会造成听课还能听懂，但做起题来有时却是“老 虎啃天-无从下嘴”。因此，在量子力学的学习中，必须重视做习题。量子力学的学 习还要采用循序渐近、循环学习的方法。因为量子力学中某些概念和方法的严格表 述是学习的较后阶段才给出的，开始可能出现存在着“夹生饭”现象，这只能通过

8、反复学习才能解决。学者在学习量子力学时，如果对于基本原理和基本概念缺乏全面的理解，想掌握 计算方法几乎是不可能的。对于初学者来说，要弄懂量子力学中的许多陌生概念， 必须避免单纯的抽象理解，更不可钻牛角尖。对于学习者，如果发现自己在某个概 念上“卡壳”了，克服这一障碍的最好途径是去研究与该概念有关的种种物理实例， 并且自己动手去完成相应的练习。对书中的一些重要的例子，例如无限深势阱、一 维谐振子、中心力场中运用的粒子、氢原子等，最好能把书合上自己动手重新做一 遍。对于量子力学，如果只去学它的理论体系，而不去完成大量练习，那就好比一 个人只懂得游泳的理论而自己从来不下水一样，那是无济于事的。三、学

9、习内容提要与要求：第一章结论学习内容提要:.光的波粒二象性的实验事实及其解释；通过黑体辐射、光电效应和康普顿散射等实验认识经典理论面临的困难，理解这 样一个事实：光（电磁波）作为客观世界中存在的一种物质，不但具有早已被人们 新认识的波动性质，而且具有“光量子”这样的粒子性质，即光的波粒二象性。粒h子性特征（E, P ）与波动特征（v，以E = h=, P = -n =hk两式不可分割地联 系在一起，作为矛盾的双方处于光的统一体内，而在不同的条件下，显示出矛盾的 主要方面，或具有波动性，或具有粒子性。所以，在学习这部分时，不要使自己陷 入这样的沉思：光到底是粒子还是波。.原子结构的玻尔理论和索末

10、菲的量子化条件；德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设；德布罗意波的实验验证：戴维孙-革末实验。从戴维孙一一革末的电子衍射实验和电子的单缝、双缝衍射实验认识物质粒子 （如电子和分子）在具有粒子性一面外，还具有波动性的一面，即粒子具有波粒二 象性。学习要求：1了解光的波粒二象性的主要实验事实和德布罗意波的实验验证；掌握索末菲 的量子化条件和德布罗意关于微观粒子的波粒二象性的假设。2 .掌握德布罗意公式和德布罗意波E - hv =舟德布罗意关系：hPn= 人 力德布罗意波：-W p = (2兀力)3/2 e* E，E第二章波函数薛定谔方程学习内容提要:.波函数的统计假设和量子态的表示形式；.态叠加

11、原理的内容及其物理意义；.薛定谔方程和定态薛定谔方程的一般形式；.粒子流密度的概念及粒子数守恒的物理内容；一维薛定谔方程求解的基本步骤和方法；6 .几个典型的一维定态问题：一维无限深势阱、宇称的概念；一维有限方势阱；一维谐振子；一维方势垒。学习要求：1 .理解与掌握量子力学与经典力学在关于描写微观粒子运动状态及其运动规律时 的不同观念、波函数及其统计解释与叠加原理及其物理意义微观粒子的运动状态用一个称为“波函数”的函数描述，波函数是微观粒子物理 状态的最详尽描述。至少在目前量子力学框架中，我们不能获得比波函数更多的物 理信息。因此波函数可被看成粒子状态的最终完全描述。但必须强调，波函数给出 的

12、有关粒子的“最终”知识本质上都是统计性质的，而且满足量子力学中一条根本 原理一一叠加原理。这条原理告诉我们，两种状态的叠加，决不是概率相加，而是 带有相位的复值波函数的叠加。正因为如此，在双缝衍射实验中，我们才能看见屏 上的干涉花纹。应注意，粒子的波动性只是一种“概率波”，或者干脆说只是一种概率分布而已。 这可结合电子单缝衍射实验现象加以理解。2 .掌握薛定谔方程；了解薛定谔方程的建立过程以及它在量子力学中的地位。、含时薛定谔方程物理体系在其外部环境条件完全确定的情况下，体系的初始状态应该唯一地决定 以后的状态。这就要求描述状态变化的方程是时间的一阶微分方程，在量子力学中 就是薛定谔方程5W访

13、=H V方2其中 H =二 V2 + U(r,t)2目为了求得体系状态的时间发展，我们必须从已知初态，解薛定谔方程有初始条件 的问题。处祟=Hv (t)V (t = 0) =V 0、定态和定态薛定谔方程，定态谔定谔方程和薛定谔方程的关系；波函数和 定态波函数的关系。几率流密度的概念及粒子数守恒。3、掌握一维薛定谔方程求解。对于求解一维薛定谔方程，应掌握边界条件的确定和处理方法。关于一维定态问题要求如下：.掌握一维无限深势阱的求解方法及其物理讨论；.掌握一维谐振子的能谱及其定态波函数的一般特点；（3）. 了解势垒贯穿的讨论方法及其对隧道效应的解释。第三章量子力学中的力学量学习内容提要：众所周知，

14、经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动量、自旋、动 能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。而量子力学的第一个惊人之举就 是引入了波函数W这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状 态。但w并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念一一 力学量算符，用它表示量子力学中的力学量。算符与波函数作为量子力学的核心概 念相辅相成、贯穿始终。学习的主要内容包括：动量算符的表示形式及其与坐标算符间的对易关系；角动量算符的表示形式及对易关系；动量算符本征函数的两种归一化：箱归一化和用5函数归一化；- 人 .一 一 -角动量算符L和L的本征值问题、体征函数及本征

15、值；z电子在库仓场中运动的本征值问题及其求解的基本步骤；定态波函数的表达 形式；束缚态的能级及其简并度；并由此讨论氢原子的能级、光谱线的规律；电子 在核外的概率分布；电离能和里德伯常数；量子力学中力学量与线性厄米算符；厄米算符的本征函数组成正交完备集；在什么情况下力学量具有确定值；力学量可能值、概率、平均值的计算方法，两个力学量同时具有确定值的条件；不确定关系及其应用；守恒量。学习要求：这部分是量子力学的重要基础理论之一，也是我们学习中的重点。在学习这部分 时要重点掌握以下内容：一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；两个假设：力学量用算符表示（线性厄米算符），状态用厄米算符本征态表示；

16、三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；四个力学量算符的本征态、本征值：坐标X或r ,动量P或P ,角动量L2及LZ, 能量（哈密顿量H）。这部分难点是任意态W（x,t）与力学量算符本征态及力学量测量值的概率|匕|2 的区别。讨论微观状态W中某一力学量F的测量值时，掌握的内容主要有一个关系：力学量算符之间的对易关系（特别是坐标算符与动量算符的对易关系， 角动量算符对易关系）三个定理：共同本征态定理（包括逆定理）不确定关系力学量守恒定理第四章态和力学量的表象学习内容提要：根据量子力学基本原理，量子力学的状态用波函数描述，力学量用线性厄米算符 描述。在第一、二、三章的讨论中，波函数和力学量算符是

17、以坐标这个力学量算符 的本征值谱X（一维为例）为变量而写出其具体形式的。那么，是否可以选择其它力 学量呢？回答不但是肯定的，而且是必要的。因为恰当选择描述体系的具体形式（自 变量）往往会给运算带来很多方便。量子力学中状态和力学量的具体表示方式称为表象。我们经常接触到的有坐标表 象、动量表象、能量表象和角动量表象。学习的主要内容包括：态的矩阵表示；算符的矩阵表示；量子力学公式的矩阵表示。表象间的变换。独喇克符号线性谐振子与占有数表象学习要求：。本章重点掌握的内容有：一个定义：表象的定义二个表示： 态在任意表象中的表示；1 算符在任意表象中的表示。 三个公式：平均值公式T本征值方程在任意表象中的表

18、示。一薛定谔方程而幺正变换作为综合性内容，重点掌握其性质。本次辅导的重点在“二个表示”。 难点在于表象与力学量的分辨。由于我们所采用的数学工具主要是矩阵，所以这一 部分又称为矩阵力学。了解独喇克符号的引入及应用线性谐振子的代数解法，掌握产生、湮灭算符及应用第五章微扰理论学习内容提要：本章重点讨论两种应用最广的近似方法：微扰论和变分法。微扰论是各种量子 力学近似方法中最基本的一种，它的许多结果几乎成为量子力学理论的组成部分。 变分法则特别适用于研究体系的基态。变分法可以和微扰论配合使用，得出精确度 的较高的结果。本章重点是非简并定态微扰理论，对于简并态微扰，变分法及含时 微扰等要基本了解。学习要

19、求：掌握非简并定态微扰理论波函数一级修正和能级一级、二级修正的计算。对于简并的微扰论，应能掌握零级波函数的研定和一级能量修正的计算。能解释氢原子一级斯塔克效应。了解定态微扰论的适用范围和条件；了解变分法及其对氦原子基态的研究关于与时间有关的微扰论要求如下：了解由初态七跃迁到末态七的概率表达式，特别是常微扰和周期性微扰下的表达式；理解由微扰矩阵元H.丰0可以确定选择定则；理解能量与时间之间的不确定关系： 皿 h。理解光的发射与吸收的爱因斯坦系数以及原子内电子由七态跃迁到甲f态的 辐射强度均与矩阵元rfi的模平方此|2成正比，由此可以确定偶极跃迁中角量子数和 磁量数的选择定则。第七章自旋与全同粒子学习内容提要：电子自旋的实验事实；自旋算符和自旋波函数；简单塞曼效应及其解释；L- S耦合和精细结构的物理机制。全同粒子的不可区分性原理，玻色子和费米子概念；全同粒子体系的波函数和泡利不相容原理；两自旋体系的波函数；氢原子；促氦和正氦。学习要求：了解斯特恩-格拉赫实验，电子自旋回转磁比率与轨道回转磁比率。掌握自旋算符的对易关系和自旋算的矩阵形式（泡利矩阵），与自旋相联系 的测量值、概率、平均值等的计算以及本征值方程和本征函数的求解方法。了解简单塞曼效应的物理机制了解L - S耦合的概念及碱金属原子光谱双线结构的物理解释。全同粒子