人教A版选择性必修第三册 第六章第1课时 组合与组合数 学案

1、6.2.3组合第1课时组合与组合数学习目标1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.会用组合知识解决一些简单的组合问题导语小明五一到石城旅游，要从4处景点A，B，C，D中选择2处，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从4处景点A，B，C，D中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？一、组合概念的理解知识梳理组合：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合注意点：(1)组合中取出的元素没有顺序；(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同例1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)a，b，c，d四支足球队之

2、间进行单循环比赛，共需比赛多少场？(2)a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果？(3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法？(4)从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法？解(1)单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题(2)冠、亚军是有顺序的，是排列问题(3)3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题(4)3人参加某项活动，没有顺序，是组合问题反思感悟排列、组合辨析切入点(1)组合的特点是只选不排，即组合只是从n个不同的元素中取出m(mn)个不同的元素即可(2)只要两个组合中的元素完全相同，不管

3、顺序如何，这两个组合就是相同的组合(3)判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题跟踪训练1判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票？(2)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(3)从7本不同的书中取出5本给某个学生解(1)因为一种火车票与起点、终点顺序有关，如甲乙和乙甲的车票是不同的，所以它是排列问题(2)由于书不同，每人每次拿到的书也不同，有顺序之分，因此它是排列问题(3)从7本不同的书中，取出5本给某个学生，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题二、利用组合数公式化简、求

4、值与证明问题组合数Ceq oal(3,4)与排列数Aeq oal(3,4)有什么关系？你能求出Ceq oal(3,4)吗？提示求从4个不同元素中取出3个元素的排列数Aeq oal(3,4)，可以分如下两步：考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合，共有Ceq oal(3,4)个；对每一个组合的3个不同元素进行全排列，各有Aeq oal(3,3)种方法由分步乘法计数原理得，Aeq oal(3,4)Ceq oal(3,4)Aeq oal(3,3)，所以Ceq oal(3,4)eq f(Aoal(3,4),Aoal(3,3).知识梳理(1)组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个

5、数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Ceq oal(m,n)表示(2)组合数公式：Ceq oal(m,n)eq f(Aoal(m,n),Aoal(m,m)eq f(nn1n2nm1,m！)或Ceq oal(m,n)eq f(n！,m！nm！)(n，mN*，且mn)(3)规定：Ceq oal(0,n)1.注意点：(1)mn，m，nN*；(2)Ceq oal(m,n)eq f(Aoal(m,n),Aoal(m,m)eq f(nn1n2nm1,m！)常用于计算；(3)Ceq oal(m,n)eq f(n！,m！nm！)常用于证明角度1利用组合数化简、求值例2求值：(1)3Ceq oa

6、l(3,8)2Ceq oal(2,5)；(2)Ceq oal(38n,3n)Ceq oal(3n,21n).解(1)3Ceq oal(3,8)2Ceq oal(2,5)3eq f(876,321)2eq f(54,21)148.(2)eq blcrc (avs4alco1(38n3n，,3n21n，)9.5n10.5.nN*，n10，Ceq oal(38n,3n)Ceq oal(3n,21n)Ceq oal(28,30)Ceq oal(30,31)eq f(30！,28！2！)eq f(31！,30！)466.角度2利用组合数证明例3证明：Ceq oal(m,n)eq f(n,nm)Ceq o

7、al(m,n1).证明右边eq f(n,nm)Ceq oal(m,n1)eq f(n,nm)eq f(n1！,m！n1m！)eq f(n！,m！nm！)Ceq oal(m,n)左边所以原式成立反思感悟(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即Ceq oal(m,n)中的n为正整数，m为自然数，且nm.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去跟踪训练2(1)计算：Ceq oal(4,10)Ceq oal(3,7)Aeq oal(3,3)；(2)证明：mCeq oal(m,n)nCeq oal(m1,n1).(1)解原式Ce

8、q oal(4,10)Aeq oal(3,7)eq f(10987,4321)7652102100.(2)证明mCeq oal(m,n)meq f(n！,m！nm！)eq f(nn1！,m1！nm！)neq f(n1！,m1！nm！)nCeq oal(m1,n1).三、简单的组合问题例4一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人问：(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？解(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形

9、成的学员上场方案种数为Ceq oal(11,17)12376.(2)教练员可以分两步完成这件事情：第1步，从17名学员中选出11人组成上场小组，共有Ceq oal(11,17)种选法；第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有Ceq oal(1,11)种选法所以教练员做这件事情的方式种数为Ceq oal(11,17)Ceq oal(1,11)136136.反思感悟解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无

10、重复和遗漏跟踪训练3一个口袋内装有大小相同的7个白球和1个黑球(1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？(2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？(3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？解(1)从口袋内的8个球中取出3个球，取法种数是Ceq oal(3,8)eq f(Aoal(3,8),Aoal(3,3)eq f(876,321)56.(2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是Ceq oal(2,7)eq f(Aoal(2,7),Aoal(2,2)eq f(76,21)21.(3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7

11、个白球中取出3个球，取法种数是Ceq oal(3,7)eq f(Aoal(3,7),Aoal(3,3)eq f(765,321)35.1知识清单：(1)组合与组合数的定义(2)排列与组合的区别与联系(3)组合数的计算与证明2方法归纳：公式法3常见误区：分不清“排列”还是“组合”1以下四个命题，属于组合问题的是()A从3个不同的小球中，取出2个排成一列B老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌C在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星D从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地答案C解析从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题2从5名同学中推选4人去参加一个会议，则不同的推选方法种数是()A10B5C4D1答案B解析组合问题，可从对立面考虑，选出一人不参加会议即可，故有5种方法3把三张游园票分给10个人中的3人，分法有()AAeq oal(3,1