高级宏观经济学-第四版-中文-罗默课后题答案

1、精选优质文档-倾情为你奉上精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业专心-专注-专业精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业高级宏观经济学_第四版_中文_罗默课后题答案ADDIN CNKISM.UserStyle第2章无限期模型与世代交叠模型2.1 考虑N个厂商，每个厂商均有规模报酬不变的生产函数Y=FK,AL,，或者采用紧凑形式Y=ALfk。假设f0,f0，则积分项收敛，为1-n，则：-1=WL(0)H-n（7）将方程（7）代入（4）：Ct=eR(t)-tWL(0)H-n（8）因此，初始消费为：C0=WL(0)H-n（9）个人的初始财富为WL(0)H，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变

2、的比例。-n为个人的财富边际消费倾向。可以看出，这个财富边际消费倾向在平衡增长路径上是独立于利率的。对于折现率而言，越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。2.5 设想某家庭的效用函数由（2.1）（2.2）式给定。假设实际利率不变，令W表示家庭的初始财富加上终生劳动收入的现值(2.6)的右端。已知r、W和效用函数中的各参数，求C的效用最大化路径。U=t=0e-tuCtL(t)Hdt2.1uCt=Ct1-1-2.2答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：maxU=t=0e-tuCtL(t)Hdt（1）s.t. t=0e-rtCtL(t)Hdt=W（2）W代表家庭的初始财富加上家庭一生劳

3、动收入的现值，利率r是常数。建立拉格朗日方程如下：L=t=0e-tCt1-1-L(t)Hdt+W-t=0e-rtCtL(t)Hdt求一阶条件，可得：LCt=e-tCt-L(t)H-e-rtLtH=0抵消L(t)/H，得：e-tCt-=e-rt（3）两边对时间t求导，可得：e-t-Ct-1Ct-e-tCt-+re-rt=0得到下面的方程：-CtCte-tCt-e-tCt-+re-rt=0（4）将方程（3）代入（4），可得：-CtCt e-rt-e-rt+re-rt=0抵消e-rt然后求消费的增长率CtCt，可得：CtCt=r-（5）由于利率r是常数，所以消费的增长率为常数。如果r，则市场利率超过

4、贴现率，则消费会增加；反之，如果r，则决定了消费增长的幅度。值越低，也就是替代弹性越高，1越高，即消费增长的越快。重写方程（5），得：lnCtt=r-（6）对方程（6）积分，积分区间是从时间=0到时间=t，可得：lnCt-lnC0=r-=0=t上式可以简化为：lnCtC0=(r-)/t（7）对方程（7）两边取指数，可得：CtC0=e(r-)/t，整理得：Ct=C0e(r-)/t（8）下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：t=0e-rtC0e(r-)/tL(t)Hdt=W将Lt=entL0代入上式，可得：C0L(0)Ht=0e-r+r-nt/dt=W（9）只要-r+r-n/0，从而保证

5、积分收敛，则求解方程（9）可得：t=0e-r+r-nt/dt=-r+r-n（10）将方程（10）代入（9）中，求解C0：C0=WL0H-r+r-n（11）将方程（11）代入（8），求解Ct：Ct=e(r-)/tWL0H-r+r-n（12）上式便是C的效用最大化路径。2.6 生产力增长减速与储蓄。设想一个正处于平衡增长路径上的拉姆塞卡斯库普曼期模型，假设g永久性下降。（a）k=0曲线会如何变化（如果有影响）？（b）c=0曲线会如何变化（如果有影响）？（c）当g下降时，c如何变化？（d）用一个式子表示g的边际变化对平衡增长路径上储蓄率的影响。能否判断此表达式的正负？（e）设生产函数是柯布道格拉斯函

6、数fk=k，请用、n、g、和重新表示（d）中的结果。（提示：利用等式fk*=+g。）答：（a）关于资本的欧拉方程为：kt=fkt-ct-n+gkt（1）该方程描述了资本的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了技术特征，是该模型的核心，它与消费的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。图2-1 拉姆塞模型在平衡增长路径上，k=0，由此可以推出：c=fk-n+gk。在该方程中，当g永久性地下降时，会导致消费c上升以保持方程的均衡。因而在图形上k=0曲线向上移动。同时，保持k不变，g永久性地下降会导致持平投资下降，这样就会有更多的资源用于消费。由于持平投资n+g下降的幅度更大

7、，因而在更高的k水平上，k=0向上移动得更大。图2-1是该模型的图示。（b）每单位有效劳动消费的欧拉方程为：ctct=fkt-g（2）该方程描述了消费的动态方程，在拉姆塞模型中，该方程描述了偏好特征，是该模型的核心，它与资本的动态方程一起构成了该模型的欧拉方程组，从而决定了该模型的最终解。在平衡增长路径上，要求c=0，即fk=+g，在g永久性地下降时，为保持c=0，fk必须下降。由于fk0，因而fk下降必然导致k上升。因此，c=0必须上升，在图形上表现为c=0向右移动，如图2-1所示。（c）在g永久性地下降时，由于每单位有效劳动的资本是由历史上的投资决定的，因而不会发生不连续的变化。它仍然保持

8、在平衡增长路径k*处。与此相反，每单位有效劳动的消费则会随着g永久性地下降而迅速变化。为使经济从旧的平衡增长路径达到新的平衡增长路径，每单位有效劳动的消费c必将发生变化。不过，此处无法确定新的平衡增长路径处于旧的均衡点的上边还是下边，因而无法确定每单位有效劳动的消费c是上升还是下降。存在一种特殊情况，即如果新的平衡增长路径恰好位于旧的均衡点的右上方，则每单位有效劳动的消费c甚至可能保持不变。因此，c和k逐步移动到新的平衡增长路径，此时的值高于原先的平衡增长路径值。（d）在平衡增长路径上，产出中被储蓄的部分为：fk*-c*fk*因为k保持不变，即k=0，位于一条均衡的增长路径上，则由方程（1）可

9、知：fk*-c*=n+gk*由上面两个式子可以推出在平衡增长路径上，产出中被储蓄的份额为：s=n+gk*fk*（3）对方程（3）两边关于g求导数，可得：sg=fk*n+gk*g+k*-n+gk*fk*k*gfk*2可以再简化为：sg=n+gfk*-k*fk*k*g+fk*k*fk*2（4）由于k*由fk=+g决定，对该式两边关于g求导数，可得：fk*k*g=，从而求出k*g为：k*g=fk*0（5）将方程（5）代入（4）中，可得：sg=n+gfk*-k*fk*+fk*k*fk*fk*2fk*（6）在方程（6）中，分母fk*2fk*为负，分子中第一项为正，而第二项为负，因而无法确定正与负。因此，

10、无法判断在平衡增长路径上g永久性地下降会使s上升还是下降。（e）将柯布道格拉斯生产函数fk=k，fk=k-1和fk=-1k-2代入方程（6）中，可得：sg=n+gk*-k*k*-1+k*k*-1k*-2k*k*-1k*-2简化为：sg=n+gk*1-1-k*k*-1-1-k*k*-1k*-1从上式可以推出：sg=-n+g-+g+g2最终有下面的结果：sg=-n-+g2=-n+g22.7 说明下列变化如何影响图2.5中的c=0线和k=0线，并在此基础上说明其如何影响平衡增长路径上的c值和k值。（a）上升（b）生产函数向下移动。（c）折旧率由本章中假设的零变为某一正值。图2-2 鞍点路径答：（a）

11、关于c与k的欧拉方程为：ctct=fkt-g（1）kt=fkt-ct-n+gkt（2）的上升即消费的跨期替代弹性1/下降，表明家庭不太愿意接受消费的跨期替代，同时表明随着消费的上升，消费的边际产品下降得很快。这种情况使家庭更偏好于即期消费。由于没有出现在资本积累方程（2）中，因而资本积累方程不受的上升的影响。在消费的动态方程中，在平衡增长路径上c=0，从而fk=-g，由于的上升，因而fk必须上升，又因为fk0的情况时，消费和资本的欧拉方程变为：ctct=fkt-g（1）kt=fkt-ct-n+g+kt（2）对方程（1）和（2）分别在c=c*和k=k*处进行一阶泰勒展开，可得：c=ckk-k*+

12、ccc-c*（3）k=kkk-k*+kcc-c*（4）定义c=c-c*和k=k-k*，因为c*和k*为常数，所以c=c且k=k，将（3）和（4）重写为：c=ckk+ccc（5）k=kkk+kcc（6）对方程（1）和（2）计算偏导数：ckbgp=fk*c*（7）ccbgp=fk*-g（8）kkbgp=fk*-n+g+（9）kcbgp=-1（10）将方程（7）和（8）代入（5），将方程（9）和（10）代入（6），可得：c=fk*c*k（11）k=fk*-n+g+k-c =+g-n+g+k-c =k-c（12）方程（12）的第二步用到了fk*=+g，第三步用到了定义=-n-1-g。对方程（11）除以

13、c以求c的增长率，对方程（12）除以k以求k的增长率：cc=fk*c*kc（13）kk=-ck（14）可以发现该结果与教材中不存在折旧率的增长率一样，也就是说折旧率的存在对增长率没有影响。因此，经济在向平衡增长路径移动时的c和k的不变增长率与教材中的结果应该一致。令=cc方程（13）可以推出：ck=fk*c*1（15）由方程（15），令（13）和（14）相等，可得：=-fk*c*1，求解可得：=2-4fk*c*122如果为正，则经济会偏离稳定点，所以必为负：1=-2-4fk*c*122现在考虑柯布道格拉斯生产函数fk=k，分别求其一阶导和二阶导：fk*=k*-1=r*+（16）fk*=k*-1

14、=-1k*-2（17）将方程（16）两边同时平方：r*+2=2k*2-2，将其代入（17）式：fk*=r*+2-1k*=-1r*+2fk*定义平衡增长路径上的储蓄率为s*，则平衡增长路径上的消费为：c*=1-s*fk*（18）将方程（17）和（18）代入（15）：1=-2-4-1r*+2fk*1-s*fk*2化简为：1=-2+41-r*+21-s*2（19）在平衡增长路径上，c=0意味着r*=+g，即：r*+=+g+（20）另外，实际投资等于持平投资：s*fk*=n+g+k*，可以推出：s*=n+g+k*fk*=n+g+k*-1（21）上步用到了r*+=k*-1，由（21）可以推出：1-s*=

15、r*+-n+g+r*+（22）将方程（20）和（22）代入到（19）中，可得：1=-2+41-+g+g+-n+g+2上式与教材中的（2.39）极其相似，它表明了消费与资本的调整速度（将=13，=4%，n=2%，g=1%，=1，=3%代入上式，得到1=-8.8%）要快于不存在折旧时的调整速度。2.9 拉姆塞模型的解析解来自于史密斯(Smith,2006)。考虑生产函数柯布-道格拉斯函数的拉姆塞模型，yt=k(t)的情形，假设相对风险规避系数与资本份额相等。（a）平衡增长路径上的k值（即k*）为多少？（b）平衡增长路径上的c值（即c*）为多少？（c）令z(t)表示资本产出比k(t)y(t)，x(t

16、)表示消费资本比c(t)k(t)。请用z、x和模型参数表示zt和xtx(t)。（d）暂且猜测x在鞍点路径上是常数，根据这一猜想：（i）给定初始值z(0)，求z的路径。（ii）给定初始值k(0),求y的路径。经济沿鞍点路径向平衡增长路径收敛的速度是否是常数？（e）上述猜测的解是否满足c与k的运动方程(2.24)与(2.25)？答：（a）已知yt=k(t)（1）从正文可知，在c=0时，存在fk=+g。利用方程（1）计算得到k*=+g11-（2）（b）与(a)题类似，根据正文可知，在k=0时，存在c*=fk-n+gk。利用方程（1）计算得到：c*=+g1-n+g+g11-（3）（c）设zt=k(t)

17、y(t)和xt=c(t)k(t)。将方程（1）代入zt的定义得到：k=z11-k1-=z（4）将方程（4）代入xt的定义，得到：ck-=xz（5）使用方程（4），考虑zt=k(t)y(t)的时间导数，得到：z=1-k-k（6）从正文的方程（2.25）知道，k=k-c-n+gk，方程（6）可表示成：z=1-k-k-c-n+gk（7）为简化上式，将方程（4）和方程（5）代入上式，得到：z=1-1-xz-n+gz（8）现在，对数化xt=c(t)k(t)，考虑其时间导数，得到:xx=cc-kk（9）根据正文的方程（2.24）和方程（2.25），上式可表示成：xx=k-1-g+-k+c+n+gkk（10

18、）将方程（4）和方程（5）代入上式，再利用=得到：xx=x+n-（11）（d）（i）根据x为常量的假设，方程（8）可表示成z=1-1-n+g+x*z（12）为确定z的变化路径，考虑方程（12）方程（12）为线性非齐次常微分方程。该方程的解包括通解zc和zp。简单地设=1-n+g+x*。为求通解，考虑相应的齐次方程z+z=0，A1是积分常数，求解zz的微分方程得到通解:zc=A1e-t（13）为求特解，考虑非齐次方程z+z=1-，A2是积分常数，利用积分因子得到特解：zp=1-+A2e-t（14）因此，方程（12）的zc解表示成z=zc+zp=1-+A1+A2e-t（15）利用初始条件，z0替换

19、A1+A2，得到：z=1-+z0-1-e-t（16）为简化1-，使用方程（2）和（3）消去x*，利用方程（4）得到：z=z*+e-tz0-z*（17）(ii) 可将方程（4）代入方程（1），求解y的路径。由于已经得到z的路径，将z的路径代入方程（17），得到：y=z*+e-tz0-z*1-（18）使用k表示z的方程（4），上式可表示成：y=k*1-+e-tk01-k*1-1-（19）现在，分析经济趋向平衡增长路径的收敛速度是否不变。方程（19）两端同减方程（2）确定的平衡增长路径y*=k*=+g1-，再取对数求导：lny-y*=lnz1-+g1-（20）考虑上式的时间导数，得到：lny-y*t

20、=1-z1-1zz1-+g1-（21）上式显然不是常数，收敛速度也不是常数。（e）需要知道正文的方程（2.24）和方程（2.25）,或cc=k-1-g和k=k-c-(n+g)是否成立。使用方程（2.24）和方程（2.25）求解x/x，x/x成立的充要条件是方程（2.24）和方程（2.25）成立。已经方程（2.25）成立，以前使用该方程求解z。因此xx=0的充分必要条件是cc=0。假设xx=0，根据方程（11）可得：x*=-n（22）根据（a）题和（b）题，在平衡增长路径上，x*等于+gg-(n+g)，方程（22）可表示成：x*=-n（23）上式等同于方程（11），方程（2.24）和方程（2.2

21、5）得以成立。2.10拉姆塞-卡斯-库普曼斯模型中的资本税。考虑处于平衡增长路径上的拉姆塞-卡斯-库普曼斯经济。假设在某一时刻（我们称作0时），政府采取了一项对投资所得按税率征税的政策，因此家庭面临的实际利率变为rt=1-fkt。假设政府将税收收入以一次性转移支付的形式返还给家庭。最后，假设税收政策是意料之外的。（a）该税收政策如何影响c=0和k=0线?（b）经济在0时会对该税收政策作出何种反应？0时之后的动态学又是如何？（c）c和k在新旧两种平衡增长路径上的值有何不同？（d）本小题基于巴罗、曼昆和萨拉伊马丁Barro, Mankiv, and Sala-i-Martin,1995假设存在许多

22、与本题相同的国家，各国工人们的偏好相同，但各国间的投资收入税率可以不同。假设各国都处于其平衡增长路径。(i)证明平衡增长路径上的储蓄率y*-c*y*关于是递减的。(ii)低、高k*、高储蓄率国家的居民是否有动机向低储蓄率国家投资？为什么？（e）(c)小题中的答案是否说明补贴投资（即让0）并通过一次性税收为补贴筹资的政策可以提高福利？为什么？（f）如果政府并不返还税收收入，而是将其用于政府购买，（a）小题和（b）小题中的答案会如何变化？答：（a）由于资本的税后报酬变为：rt=1-fkt，家庭将改变每单位有效劳动的消费增长率来实现一生效用的最大化，即：ctct=1-fkt-g（1）在平衡增长路径上

23、，c=0要求1-fkt=+g，即税后报酬率为+g。为保持c=0，fkt必须上升，又因为fk，所以资本存量必须下降。因此，c=0这条曲线将会左移，如图2-8所示。图2-8 对投资增税的影响家庭的每单位有效劳动的资本的欧拉方程仍为：kt=fkt-ct-n+gkt（2）由于政府将由这种税收征集的收入又通过总量性转移支出返还给家庭，所以家庭投资决策不受影响，因而k=0的轨迹不变。（b）在0时刻，由于资本的存量由历史上的投资决策所决定，因而资本不会发生非连续的变化。资本仍然保持在原来的平衡增长路径上的k*处。在0时刻，与每单位有效劳动的资本相反，每单位有效劳动的消费会由于征税而立刻发生变化。由于税收政策

24、的这种变化是非预期性的并且是毫无准备的，因此消费的变化是非连续的。由于政府的这种税收征集，储蓄和资本积累的回报会比以前低，家庭会转而减少储蓄，增加消费，在图2-8上表现为c向上移动到A点，然后沿着新的均衡路径移动。经济沿着新的鞍点均衡路径缓慢移动，最终移动到新的均衡点Enew。（c）由图2-8可知，由于税收扭曲了经济刺激，因此税后处在新的平衡增长路径上的c与k的值将变小。（d）（i）由上述的分析可以看出，税率越高，在平衡增长路径上的k*越小，而且c=0曲线向左移动得越多，因而有k*0。在平衡增长路径上，储蓄率可以表示为：fk*-c*fk*，同时，k=0时，由kt=fkt-ct-n+gkt可以推

25、出fk*-c*=n+gk*，由此可以将储蓄率表示为：s=n+gk*fk*（3）对方程（3）两边求关于税率的导数：s=n+gk*fk*-n+gk*fk*k*fk*2可以简化为：s=n+gfk*k*-n+gfk*k*fk*fk*k*=n+gfk*k*1-k*fk*fk*由于资本的收入份额为k*fk*fk*=Kk*，以及k*0，可以改写上式为：s=n+gfk*k*1-Kk*0（4）以上便证明了平衡增长路径上的储蓄率y*-c*y*关于是递减的。（ii）在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储蓄的国家。由（a）可知，在平衡增长路径上c=0，可以推出1-fkt=+g，即税后的资本回报为

26、+g，假定在国家之间偏好与技术特征是相同的。因而在低储蓄国家资本的税后回报与高储蓄国家的资本的税后回报相同。因此，在低税率、高资本存量和高储蓄的国家的公民没有动力去投资于低储蓄的国家。（e）补贴投资不会增加福利。原先的市场结果便已经是中央计划者能够达到的社会效用最大化水平了，它给予了家庭最高可能的终生效用水平。从初始的E点开始，投资补贴能够使消费短期内下降到A点，但最终经济会沿着新的平衡增长路径达到更大的消费水平Enew点。可以发现短期的效用损失会超过长期的效用收益（都用现值形式表示），如图2-9所示。图2-9 对投资补贴不会增加福利（f）假定政府未将税收所得返给家庭，而是用于政府购买。令Gt

27、为每单位有效劳动的政府购买，则每单位有效劳动的资本存量变化的欧拉方程仍为：kt=fkt-ct-Gt-n+gkt（5）政府购买被视为是政府的消费而不是投资，这将不会增加资本存量。由（5）可得，k=0曲线将向下移动。如图2-10所示。由（a）可知，由于政府征税，c=0曲线向左移动，k*移动到knew*，在新的平衡增长路径上，每单位有效劳动的消费会低于存在政府的总量税返还的情况。如图2-10所示。图2-10 税收全部用于政府购买对经济的影响2.11应用相图分析预期变化的影响。考虑习题2.10中提到的政策，假设政府并不是在0时宣布并执行该政策，而是在0时宣布将在以后某一时刻t1对投资收入按照税率征税。

28、（a）用相图画出t1之后c和k的动态学。（b）c在t1时刻的变化是否连续？为什么？（c）用相图画出t1之前c和k的动态学。（d）根据（a）、（b）和（c）的答案，c在0时应如何变化？（e）总结上述4个小问题，并把c和k的路径描绘为时间的函数。答：（a）-（c）在开始征税的时间t1之前，描述经济动态变化的方程为：ctct=fkt-g（1）kt=fkt-ct-n+gkt（2）对于方程（1），在平衡增长路径上，c=0可以推出fk=+g。由于政府返还总量税，资本积累方程不受影响。在t1时刻征税之后，c的欧拉方程为：ctct=1-fkt-g（3）在平衡增长路径上，c=0可以推出1-fkt=+g，即税后的

29、回报为+g。因此，税前的资本回报fkt高于税后的资本回报。为保持c=0，fkt必须上升，从而k必须下降。因此，在t1时刻，c=0曲线必须向左移动。如图2-11所示。图2-11 t1时刻征税使得c=0向左移动不过值得注意的是，资本的动态在实际征税之前仍由原先的欧拉方程决定。在t1时刻征税之后，消费c不可能发生不连续的变化，原因在于家庭已经在事先知道了将要征税的消息，家庭希望平滑消费。（d）在t1时刻征税之后，消费不可能发生不连续的变化，同时经济会达到新的平衡增长路径。在0时刻宣布并施行征税后，c会立即由原先的均衡点E移动到平衡增长路径上的A点，如图2-12所示。图2-12 征税对c=0曲线的影响

30、在A点，由于消费c太高，从而不足以将资本维持在原先的资本水平k*上，因此k开始下降。从0时刻到t1时刻，动态系统仍由原先的c=0的欧拉方程决定。消费在鞍点路径之左，因此消费开始上升。在t1时刻经济恰好移动到新的鞍点路径，此时税收开始执行，并且动态系统仍由新的c=0的欧拉方程决定。因此，c开始下降，经济最终移动到新的鞍点Enew。（e）每单位有效劳动的消费与每单位有效劳动的资本如图2-13所示。(1)每单位有效劳动的消费的图示(2)每单位有效劳动的资本的图示图2-13 每单位有效劳动的消费、有效劳动的资本图示2.12应用相图分析暂时性变化的影响。考虑习题2.11的如下两种变形：（a）在0时刻，政

31、府宣布将对0时到其后某一时刻t1间的投资收入按照税率征税，而此后投资收入仍将免税。（b）在0时，政府宣布将对t1时其后某一时刻t2间的投资收入按照税率征税，而t1之前和t2之后的投资收入仍将免税。答：（a）第一问是分析预期到的税收将在t1时刻结束，因而消费在t1时刻将不会发生非连续的变化。原因在于家庭的跨期消费最优化要求家庭平滑消费。因此，在经济返回到旧的鞍点路径时，消费必须在t1时刻位于旧的鞍点路径上。在征税之前，即到0时刻，和在结束征税之后，即t1时刻之后，经济动态变化由下面两个欧拉方程决定：ctct=fkt-g（1）kt=fkt-ct-n+gkt（2）资本积累的动态方程k=0不会受到征税

32、的影响，但是，消费的动态方程c=0则会受到征税的影响。在0时刻到t1时刻，资本的税后回报为1-fkt=+g，为了保证c=0成立，fkt必须上升，由于fk0或lnkt1/1-时，上升意味着kt+1函数应该向上移动，相反，当lnkt0,和2kt+1kt2=sfkt1+g1+n0检验稻田条件：limk0kt+1kt=limkkt+1kt=1-1+g1+nrt+1，储蓄会下降更快，相反，储蓄则会下降的较慢。定义Zt=2+1+rt+1-1+rt+1-n2+1+rt+1，并将其代入（7），可得：St=12+Awt-ZtT（8）由于t+1期的资本存量等于t期的储蓄，因此有：Kt+1=StL（9）将方程（9）

33、转化为每单位有效劳动的形式，并使用方程（8），可得：kt+1=11+n12+wt-ZtTA(10)对于柯布道格拉斯生产函数，实际工资为：wt=1-kt（11）将方程（11）代入（10），产生新的关系，即：kt+1=11+n12+1-kt-ZtTA(12)（ii）为判断社会保障的引入对平衡增长路径上的k值的影响，必须判定Zt的正负号。如果Zt为正数，则社会保障税T的引入会降低kt+1曲线并且降低k值。下面计算Zt：Zt=2+1+rt+1-1+rt+1-n2+1+rt+1=1+1+1+rt+1-1+rt+1-n2+1+rt+1上式可简化为：Zt=1+rt+1+1+1+rt+1-rt+1-n2+1+

34、rt+1=1+rt+1+1+1+n2+1+rt+10因此，kt+1曲线向下移动，k*也降低了。（iii）如果经济是初始动态有效的，则T的边际增长会提高老年人的福利，但是它将使k*低于黄金律所要求的资本水平kGR，从而使未来一代人的福利恶化，降低他们的消费水平。但是，如果经济初始是动态无效的，则k*kGR，则T的边际增加会提高老年人的福利。同时，还会提高未来一代人的福利水平，从而是福利改进的。此时社会保障税T的引入会降低过度的资本积累，从而消除动态无效率。（b）（i）方程（3），即第二期的预算约束变为：C2,t+1=1+rt+1St+1+rt+1T（13）从个人角度讲，社会保障的回报率等于储蓄的

35、回报率。由方程（13）推出储蓄，即：St=C2,t+11+rt+1-T(14)将方程（14）代入（2）（即第一期的预算约束），可得： C1,t+C2,t+11+rt+1=Awt-T+T上式进一步简化为：C1,t+C2,t+11+rt+1=Awt（15）家庭的最优化行为产生了通常的欧拉方程，即：C2,t+1=11+1+rt+1C1,t将上式代入方程（15）中，可得：C1,t=1+2+Awt（16）为得到每个人的储蓄，将方程（16）代入（2）中，可得：St=Awt-1+2+Awt-T上式进一步简化为：St=12+Awt-T（17）社会保障的引入引起储蓄的一对一的减少。t+1期的资本存量等于个人在t

36、期的储蓄加上政府投资，即：Kt+1=StLt+TLt（18）将方程（18）转化为每单位有效劳动的形式，并利用方程（17），可得：kt+1=11+n12+wt-TA+11+nTA上式进一步简化为：kt+1=11+n12+wt利用方程（11）来替代上式中的工资，即：kt+1=11+n12+1-kt（19）因此，全额融资的社会保障税T的引入对后续各期的资本没有影响。（ii）因为全额融资的社会保障的引入对各期资本之间的关系没有影响，因此在平衡增长路径上各期资本是一样的。各期的总资本与总储蓄是一样的，政府的作用仅仅是使年轻人储蓄。因为社会保障回报率与储蓄利率是一致的，因此来说个人对说谁来为他们储蓄是无差

37、异的，个人将一对一的抵消政府为他们所做的任何储蓄。2.18基本的世代交叠模型（本题来源于萨缪尔森，1958；阿莱，1947）。与戴蒙德模型类似，假设在t期出生的Lt个人只存活两期，并且Lt=1+nLt-1。为了简单起见，令效用函数为不折现的对数效用函数：Ut=lnC1,t+lnC2,t+1。在经济的生产方面，该模型也比戴蒙德模型更为简单：经济中只有一种产品，它既可以用于消费，也可用于储存；每个在t期出生的人都拥有A单位该产品;储存每单位产品可使经济主体在下一期得到x(x0)单位产品。最后。假设在最初的第0期，除L0个拥有A单位产品的年轻人之外，还有11+nL0个只生活在第0期的老年人，每个老年

38、人拥有Z单位的产品, 其效用就是在起始期的消费C2,0。（a）说明该经济的分散化均衡。（提示：给定上述世代交叠的结构，某一代的成员是否会与另一代的成员进行交易？）（b）假设经济人的禀赋中用于储蓄的份额ft是不随时间变化的常数，在这样的路径上请把人均总消费（总消费指所有年轻人与所有老年人的消费总和）表示为f的函数形式。如果x1+n,满足0f1且最大化人均消费的f值是多少？分散均衡在这种情况下是否是帕累托有效的？如果不是，社会计划者怎样才能提高福利？答：（a）首先，该模型不存在任何一代的成员将会同另一代的成员交易的可能性。原因是即使年轻人愿意交换，但他们的交易对象只能是老人，而老人则因为下一期已去

39、世而不可能同年轻人进行交换。个人的效用函数为：Ut=lnC1,t+lnC2,t+1（1）预算约束为：C1,t+Ft=A（2）C2,t+1=xF（3）其中Ft是个人在第一期的储蓄。将方程（3）代入（2），求个人的跨期预算约束：C1,t+C2,t+1x=A（4）用拉格朗日方法联立方程（1）和（4）以求解个人终生效用的最大化，如下：L=lnC1,t+lnC2,t+1+A-C1,t+C2,t+1x求一阶条件：LC1,t=1C1,t-=01C1,t=（5）LC2,t+1=1C2,t+1-x=01C2,t+1=x（6）将方程（5）代入（6），可得：C2,t+1=xC1,t（7）将方程（7）代入跨期预算约束

40、式（4）中，可得：C1,t+xC1,t=A，上式可简化为：C1,t=A2（8）求第二期的消费，将方程（8）代入（7）中，可得：C2,t+1=xA2（9）当年轻人将他的财富一半储蓄时，下一期他可以消费xA2。由于是对数效用函数，因此，个人将其禀赋储蓄的比例并不依赖于储蓄的回报率。（b）在t时刻的总消费为：Ct=C1,tLt+=C2,tLt-1其中，Lt是年轻人的数量，Lt-1是老年人的数量。每个年轻人消费他的禀赋的一部分1-fA，每个老年人消费他的禀赋的总回报fxA。由式Ct=1-fALt+fxALt-1，对其两边除以ALt以转化为每单位有效劳动的形式，即：CtALt=1-f+fx/1+n因此，

41、每单位有效劳动的消费为一加权和。因为x1+n，所以，当权数为1时，每单位有效劳动的消费为一加权和达到最大化。因此，分散化均衡（即权数为）不是帕累托有效的。因为跨代交易是不可能的，因此个人储蓄为年老时提供消费，即使储蓄的回报率非常低，他们也必须这样做。但是在一个集权经济中，社会计划者则可以从年轻人手中取走一单位物品而给每个老年人1+n的物品。由于x1+n，所以得到了一个更高的回报率。因此，社会计划者可以从年轻人手中取走他们一半的财富交给老年人去消费，从而提高社会的总体福利。社会计划者可以每期都这么做，即允许个人在年轻时消费A2，而在年老时消费1+nA2，高于在分散经济的情况下每个人在年老时消费的

42、xA2。2.19萨缪尔森世代交叠模型中的稳态货币均衡（本题来源于萨缪尔森，1958）。考虑习题2.18中的设定，假设xPtPt+1他将消费一半的禀赋，存储剩余的一半而不持有任何货币，因为货币的回报率低于储蓄的回报率。因此有：C1,t=A2, Ft=A2, MtdPt=0, C2,t+1=xA2情况2：xPtPt+1他将用货币持有一半的禀赋，即他将消费一半的财富而卖掉另一半的禀赋。因此有：C1,t=A2, Ft=0, MtdPt=A2, C2,t+1=PtPt+1A2情况3：x=PtPt+1由于货币和存储带来同样的回报，因此他将消费一半的禀赋，对于另一半，则在货币和存储两者之间无差异。令0,1为

43、以货币形式持有的比例。因此有：C1,t=A2, Ft=1-A2, MtdPt=A2, C2,t+1=PtPt+1A2（b）均衡要求总的实际货币需求等于总的实际货币供给。总实际货币需求=LtA2总实际货币供给=L01+nMPt=Lt1+nt+1MPt在上式中，在0时刻，每个老人拥有M单位货币，共有L01+n个老人。最后一步用了Lt=1+ntL0，从而有L0=Lt1+nt。联立总实际货币需求和总实际货币供给两个公式，可得：LtA2=Lt1+nt+1MPtPt=2MA1+nt（5）因此有：总实际货币需求=Lt+1A2=1+nLtA2总实际货币供给=Lt1+nt+1MPt+1下面使用均衡条件求Pt+1

44、，即：1+nL0A2=Lt1+nt+1MPt+1Pt+1=2MA1+nt+2（6）用方程（6）除以（5），有：Pt+1Pt=11+nPt+1=Pt1+n上面的分析对任何的t0成立，因此Pt+1=Pt1+n是一个均衡。这表明如果货币被引入到一个动态无效率的经济中，个人将不会选择存储。（c）由于Pt+1=Ptx，所以货币的回报等于存储的回报。此时，个人对于以何种形式持有禀赋是无差异的。令0,1为储蓄中以货币形式持有的比例。t期的总实际货币需求和总实际货币供给的表达式如下：总实际货币需求=LttA2总实际货币供给=L01+nMPt=Lt1+nt+1MPt使用均衡条件求Pt：LttA2=Lt1+nt+

45、1MPtPt=2MtA1+nt（7）t+1期的总实际货币需求和总实际货币供给的表达式如下：总实际货币需求=Lt+1t+1A2=1+nLtt+1A2总实际货币供给=Lt1+nt+1MPt+1使用均衡条件求Pt+1：1+nLtt+1A2=Lt1+nt+1MPt+1（8）用方程（8）除以（7），可得：Pt+1Pt=tt+111+n因为Pt+1Pt=1x，所以有：tt+111+n=1xtt+1=x1+n0因此对于所有的t0，Pt+1=Ptx=将是任何满足tt+1=x1+n的的路径的一个均衡。（d）Pt=代表货币是无价值的，也是一种均衡。这种情况是因为年轻人相信货币在下一期是无价值的，因此这一代人将不会

46、接受货币作为储存的替代物。在这种情况下，年轻人消费禀赋的一半然后储存另一半，而老年人则拥有一堆无价值的货币。这时，总实际货币需求与总实际货币供给相等且都是0。如果没有人相信下一代人将接受货币作为存储的替代物，这种均衡将持续到未来各期。在T期，这种情况将是唯一的均衡。在T期没有年轻人愿意出卖禀赋以换取货币。年轻人将通过消费所有的存储来最大化一生的效用，老年人将持有一堆毫无价值的货币。因此，在T-1期，老年人因为知道下一期货币毫无价值，没有人愿意出卖禀赋以换取货币。T-1期将没有人愿意持有货币，逆向归纳，将没有人愿意在任何一期出卖禀赋来换取货币。2.20动态无效率的来源。（本题来自于谢尔，1971

47、。）戴蒙德模型和萨缪尔森模型可以在下面两个方面进行改变：第一，不完全市场，即由于一个人不能与尚未出生的人交易，从而排除了一些可能的交易；第二，无限时期，即由于时间是无穷无尽的，因此存在无穷数量的经济人。本题试图讨论其中哪一方面是导致动态无效率的可能原因。为了简单起见，我们着重讨论萨缪尔森世代交叠模型（参见前面两题），假设对数效用并且不考虑折现。为简化本题，进一步假设n=0以及0 x0，Qt+1=Qtx等价于x=QtQt+1。换句话说，存储的回报率等价于交易的回报率，因此个人对于存储和交易是无差异的。令t0,1代表储蓄的份额A2中被卖掉的部分。因此个人在t期卖掉tA2。这允许个人在t+1期年老时

48、购买tQtQt+1A2。个人存储他的储蓄的1-t，有下式：St=1-tA2（3）在t+1期的消费将等于个人购买的数量加上存储的数量，即：C2,t+1=tQtQt+1A2+1-txA2（4）考虑Qt+1=Qtx的情况，方程（4）可以写为：C2,t+1=txA2+1-txA2=xA2（5）考虑在任意的t+1期，令L代表各期总人数，它是不变的。总供给等于L乘以个人想卖掉的数量t+1A2。则总供给为：yt+1=Lt+1A2（6）总需求为t+1期总的老人数量L乘以个人想要购买的数量（tQtQt+1A2。总需求为：dt+1=LQtQt+1tA2(7)要达到市场出清，总需求等于总供给，即：Lt+1A2=LQ

49、tQt+1tA2该式简化为：t+1=QtQt+1t(8)由于均衡的价格路径为：Qt+1=Qtx，方程（8）给出的均衡条件可以写为：t+1=xt（9）考虑0期的情况，老年人仅仅消费他们的禀赋，因此在0期令0=0以实现市场出清，则方程（9）表明对于任何的t0，都有t=0。均衡的结果与习题2.17的结果是一致的。个人在第一期消费一半的禀赋而存储另一半，在第二期消费xA2。由于x1+n,（因为n=0和x1），因此是动态无效率的。因此，通过在开始之前允许交易以消除市场的不完全性并不能消除动态无效率。（ii）假定拍卖者宣布Qt+1Qtx或者xQtx或者 xQtQt+1，这意味着存储占优于交易，即在t期年轻人将存储所有的储蓄，并且购买A2。对于t期的老人来讲，Qt+1是无关的，老人基于在年老时QtQt+1=x来做决策。因此对于老人来说，正如第一部分分析的，