2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题

1、2017年北京市中学生数学竞赛高中一年级初赛试题参考解答（2017年4月9日）选择题答案1A2A3B4D5C6D填空题答案1242839.5425678504(1242)410145一、选择题1集合A=2,0,1,7，B=x|x22A,x2A，则集合B的所有元素之积为（A）36（B）54（C）72（D）108答：A解：由x22A，可得x2=4，2，3，9，即x=2，2，3，3又因为x2A，所以x2，x3，故x=2，2，3，3因此，集合B=2,2,2,3,3，3所以，集合B的所有元素的乘积等于(2)(2)(2)(3)(3)(3)=36eqoac(,2)已知锐角ABC的顶点A到它的垂心与外心的距离

2、相等，则tan(32（B）（C）1（D）3（A）32BAC2)=答：A解：作锐角ABC的外接圆，这个圆的圆心O在形内，高AD，CE相交于点H，锐角ABC的垂心H也在形内连接BO交O于K，BK为O的直径.连接AK，CKA因为AD，CE是ABC的高，KAB，KCB是直径BK上的圆周角，所以KAB=KCB=90于是KA/CE，KC/AD，EK因此AKCH是平行四边形所以KC=AH=AO=1BK2在直角KCB中，由KC=12BK，得BKC=60，所以BODHCBAC=BKC=60故tan(BAC23)=tan30=3(k1)210093将正奇数的集合1,3,5,7,从小到大按第n组2n1个数进行分组：

3、1，3,5,7，9,11,13,15,17，数2017位于第k组中，则k为（A）31（B）32（C）33（D）34答：B.解：数2017是数列an=2n1的第1009项设2017位于第k组，则1+3+5+(2k1)1009，且1+3+5+(2k3)1009k21009即k是不等式组的正整数解，解得k=32，所以2017在第32组中xy4如图，平面直角坐标系x-O-y中，A,B是函数y=1在第I象限的图象上两点，满足OAB=90且AO=AB，则等腰直角OABy=1x的面积等于1235（A）（B）（C）（D）2222ABOx答：D解：依题意，OAB=90且AO=AB，AOB=ABO=45过点A做y

4、轴垂线交y轴于点C，过点B做y轴平行线，交直线CA于点DC易见COADAB111设点A(a,)，则点B(a+,a)aaa1111因为点B在函数y=的图象上，所以(a+)(a)=1，即xaaa2y1y=xADBa2=1Ox2(因此eqoac(,S)ABC=1111OA2=(+a2)=22a215a2)24a225已知f(x)=x5+a1x4+a2x3+a3x2+a4x+a5，且当m=1,2,3,4时，f(m)=2017m，则f(10)f(5)=（A）71655（B）75156（C）75615（D）76515答：C解：因为当m=1,2,3,4时，f(m)=2017m，所以1,2,3,4是方程f(x

5、)2017x=0的四个实根，由于5次多项式f(x)2017x有5个根，设第5个根为p，则f(x)2017x=(x1)(x2)(x3)(x4)(xp)即f(x)=(x1)(x2)(x3)(x4)(xp)+2017x所以f(10)=9876(10p)+201710，f(5)=6789(5+p)20175，因此f(10)f(5)=15(9876+2017)=75615|x|,xa,6已知函数f(x)x24ax2a,xa.不同的实根，则a的取值范围是若存在实数m，使得关于x的方程f(x)=m有四个（A）a1111（B）a（C）a（D）a7654答：D解：要使方程f(x)=m有四个不同的实根，必须使得y

6、=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点而直线与y=|x|的图像及二次函数的图像交点都是最多为两个，所以y=m与函数y=|x|,xa的图像和y=x24ax+2a,xa的图像的交点分别都是2个而存在实数m，使y=m与y=|x|,xa的图像有两个交点，需要a0，此时0ma；又因为42a(4a)2y=x24ax+2a,xa顶点的纵坐标为，所以，要y=m与y=x24ax+2a,xa的图像有两442a(4a)2个交点，需要m4因此y=m的图像与y=f(x)的图像有4个不同的交点需要满足：42a(4a)20ma且m，4解得a二、填空题141.用x表示不超过x的最大整数，设S123答：2499，求S的

7、值解：因为121,2,322，所以11,2,32，因此1231，共3个1；同理，224,5,6,7,832，因此，456782，共5个2；又329,10,11,12,13,14,1542，因此910=153，共7个3；依次类推，16172526363749506465818223244，共9个4；34355，共11个5；47486，共13个6；62637，共15个7；79808，共17个8；98999，共19个9.S=(123)+(45678)+(81=13+25+37+49+511+613+715+817+919=615因为242=576615=S625=252，即24S25，所以，S=24

8、99)12确定(2017log2201711log4201720172017log8201711log16201720172017log3220171)5的值答：81解：原式=(2017log201722017log201742017log201782017log2017162017log201732)51=(2481632)5=(21122232425)5=(21+2+3+4+5)5=(215)5=23=811eqoac(,3)已知ABC的边AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，求ABC的面积答：9.5平方厘米解：注意到13=32+22，29=52+22，34=52+32，作边长为

9、5厘米的正方形AMNP，分成25个1平方厘米的正方形网格，如图根据勾股定理，可知，AB=29厘米，BC=13厘米，CA=34厘米，因此ABC的面APC积可求ABC的面积=55111352523=9.5（平方厘米）222MBN(x1)2ln(x21x)4.设函数f(x)的最大值为M，最小值为N，试确定M+N的值x21答：2解：由已知得f(x)12xln(x21x)x21因为ln(x21x)ln(x)21(x)ln(x)21(x)(x)21(x)=ln(x)21(x)2)ln10，所以ln(x)21(x)ln(x21x)，因此，ln(x21x)是奇函数2xln(x21x)进而可判定，函数g(x)为

10、奇函数x21则g(x)的最大值M1和最小值N1满足M1+N1=0因为M=M1+1，N=N1+1，所以M+N=25设A是数集1,2,2017的n元子集，且A中的任意两个数既不互质，又不存在整除关系，确定n的最大值答：504解：在数集1,2,2017中选取子集，使得子集中任意两个数不互质，最大的子集是偶数集2,4,2016共1008个元素，但其中，有的元素满足整除关系，由于1010的2倍是2020，所以集合A=1010,1012,1014,2016中，任意两个数既不互质，又不存在整除关系，A中恰有504个元素事实上504是n的最大值因为若从1009,1011,2017中任取一个奇数，会与A中的与它

11、相邻的偶数互质；若从1,2,3,1008中任取一数，则它的2倍在A中，存在整除关系A6如图，以长为4厘米的线段AB的中点O为圆心、2厘DFOECB米为半径画圆，交AB的中垂线于点E和F.再分别以A、B为圆心，4厘米为半径画圆弧交射线AE于点C，交射线BE于点D.再以E为圆心DE为半径画圆弧DC，求这4条实曲线弧连接成的“卵形”AFBCDA的面积（圆周率用表示，不取近似值）答：(1242)4平方厘米解：半圆(O,2)的面积=1222=2因此，扇形BAD的面积=扇形ACB的面积=1因为AO=OB=2，所以AB=AC=BD=4，AE=BE=22，ED=EC=422又AEB=CED=90，EAB=EB

12、A=45，142=2eqoac(,)，AEB的面积=42=4，直角扇形82EDC的面积=1(422)2=642，4卵形AFBCDA的面积=半圆(O,2)的面积+扇形BAD的面积+扇形ACB的面积AEB的面积+直角扇形EDC的面积=2+224+642=(1242)4（平方厘米）7.已知f(x)x2x2100 x5000，求f(1)+f(2)+f(100)的值答：101解：设g(x)=x2100 x+5000，则g(100 x)=(100 x)2100(100 x)+5000=1002200 x+x21002+100 x+5000=x2100 x+5000=g(x)，即g(k)=g(100k)k2

13、(100k)2k2(100k)2所以f(k)+f(100k)=2，g(k)g(100k)g(k)=1，f(100)=又f(50)=505021002210050500010021001005000=2.所以，f(1)+f(2)+f(100)=(f(1)+f(99)+(f(2)+f(98)+(f(49)+f(51)+f(50)+f(100)=249+1+2=101eqoac(,8)如图，在锐角ABC中，AC=BC=10，D是边AB上一点，ACD的内切圆和BCD的与BD边相切的旁切圆的半径都等于2，求AB的长答：45解：线段AB被两圆与AB的切点及点D分成四段，由于两圆半径相等，再根据切线长定理，可知中间两段相等，于是可将这四段线段长度分别记为a,b,b,c，由于圆O2的切线长CE=CG，所以BC+a=CD+b=(ACc+b)+b，而AC=BC，所以a+c=2bBDCAb由等角关系可得eqoac(,AO)1eqoac(,F)O2BE，得ACD2(ACCDAD)BCDCEBaO2bDGO1cFA此推出ac=4分别计算BCD和ACD的面积：S2(BCCDBD),S所以OFBE2a1，即，由AFOEc221122SA