例1变速直线运动速度

1、例1. 变速直线运动的速度物体作匀速直线运动时, 有这一速度其实是物体走完某一段路程的平均速度，平均速度记作V.由于匀速运动物体的速度是不变的，因此41导数的概念一、导数概念的引入 由于变速直线运动物体的速度 V(t) 是变的，因此，用这个公式算出的平均速度V不能真实反映物体在时刻 t0 的瞬时速度 V(t0).如何求V(t0)? 设一物体作变速直线运动，在0, t这段时间内所走路程为 S = S(t). 下求V(t0)如图SS(t0)S(t0+t)0 设物体在 t0 时，所走路程为 S(t0)，在 t0+t 时所走路程为 S(t0+t)，从而，物体在 t0, t0+t 这段时间内所走路程为S

2、 =S (t0+t) S (t0)物体在 t0, t0+t 这段时间内的平均速度为 t越小，近似值就越接近精确值V(t0). 当t无限变小时，近似值就会无限接近也就是精确值V(t0).例2. 曲线的切线斜率圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交点的直线”，但对一般曲线而言. 这一定义是不合适的.如y=x2, x 轴和 y 轴与曲线都只有一个交点，以哪条直线作为切线呢？如图y=x20 xy又如，y = x3, 如图又比如，y=sinx, 如图0 xy=x3y0 xyy=sinx11切线的一般定义：如图设有曲线C及C上一点M，在M点外任取C上一点N，作割线MN，当点N沿曲线C趋向点M时，如果割线

3、MN趋向于它的极限位置MT，则称直线MT为曲线C在点M处的切线.TMxy0NCN 下面讨论曲线C：y = f (x), 在点M(x0, y0)处的切线斜率问题. 设N的坐标为 (x0+x, y0+y), 割线MN的倾角为, 切线MT的倾角为. 如图Ty=f (x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0P割线 MN 的斜率当x0 时, N 沿 C 趋于M, MN MT.从而. 因此, tgtg.Ty=f (x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0PTy=f (x)Mxx0 x0+xxy0NCy0+yy0所以切线MT的斜率：P定义：设 y=f (x)在x0 的某邻域U(x0)内有定义. 如果

4、当x0时，的极限存在, 则称这个极限值为f (x)在x0处的导数，记作f (x0), 即二、导数的定义存在，则称f (x)在x0可导(或称f (x)在 x0 的导数存在). 否则，称f (x)在x0不可导(或称 f (x)在 x0的导数不存在). 特别注1. 若若记x=x0+x, 当x0时, x x0, 特别，取x0 = 0, 且若 f (0) = 0, 有注2.导数定义还有其他等价形式,注3.对于例1, 有对于例2, 曲线y = f (x)在点 M(x0, f (x0) 处切线斜率注4.由于称为 f (x)在x0的右导数.称为 f (x)在x0的左导数.有, f (x) 在x0可导 f (x

5、)在x0的左, 右导数存在且相等.注5.若 y = f (x)在(a, b)内每点可导，则称 f (x)在(a, b)内可导.此时，x(a, b)都有唯一确定的值f (x)与之对应，所以导数是x的函数.称为y=f (x)的导函数,按定义， f (x)就是x所对应的导数值，这个式子就是导函数的表达式.而f (x0)就是f (x)在x= x0处的函数值，即另外，求注6. 用定义求导数一般可分三步进行.设y = f (x)在点x处可导(1) 求y=f (x+x) f (x)(2) 求比值(3) 求极限三、求导举例例3. 求 y = C (常数)的导数.解：(1) y = f (x+x) f (x)

6、= C C = 0(2)(3)故(C ) = 0, 即常数的导数为0.例4. 设 y = f (x) = xn. n为正整数，求f (x). 解：(1) y = f (x+x) f (x)= (x+x)n xn(2)(3)即 (xn)= nx n1比如，(x)=1, (x2)=2x,(x3)=3x2,一般，对幂函数y=x, 为实数有 (x) = x1比如例5. 求y = sinx的导数.解：(1) y = sin (x+x) sinx(2)(3)即(sinx) = cosx类似 (cosx) = sinx例6. 求y = ax的导数，其中a0, a1.解：从而即 (ax) = axlna特别，

7、取a = e, 则 (ex)= ex例7. 求y=logax 的导数，其中a0, a1, x0, 并求y|x=1.解：即特别，取a = e, 则从而由例2知, 函数y=f (x)在x0处的导数 f (x0)就是曲线y = f (x)在点M(x0, f (x0)处切线的斜率，即 k = f (x0).法线方程为一般, 若f (x0)存在, 则y=f (x)在点M(x0, f (x0)处切线方程为四、导数的几何意义特别，(i)当f (x0)=0时，即k = 0. 从而切线平行于x轴. 因此，法线垂直于x轴.如图切线方程：y = f (x0).法线方程：x = x0.y=f (x)0 xyMf (x

8、0)x0(2) 当f (x0)=(不存在). 即k = tg =. 故从而切线垂直于x轴，而法线平行于x轴.切线方程： x = x0. 法线方程： y = f (x0).如图,单位圆在(1, 0)处切线方程: x = 1.法线方程: y = 0.0 xy11又如图由于在原点(0,0)处,xy0(不存在)从而切线方程: x=0, 法线方程: y = 0.例8. 求过点(2, 0)且与曲线y=ex相切的直线方程.解：由于点(2, 0)不在曲线y=ex上，故不能直接用公式 y f (x0) = f (x0)(x x0).由于(ex)=ex,因切线过点(2, 0), 代入, 得得x0 = 3.所求切线

9、为y e3 = e3(x3)定理. 若y=f (x)在 x0可导，则y=f (x)在 x0必连续.证： 因f (x)在 x0可导，即五、可导与连续的关系由极限与无穷小量的关系，有或故 定理的逆命题不成立，即, 若y=f (x)在x0连续，y=f (x)在x0不一定可导.例. 讨论f (x)=| x |在 x=0 处的可导性和连续性.解：由于故| x |在x=0连续.但|x|在x=0不可导. 因f (x)=|x|= x, x0 x, x0,实数)的导数解： y = e lnx例11. 求y = sinnxsinnx的导数，n为常数.解：定理3.若x=(y)在某区间Iy内严格单调, 可导,(y)

10、0, 则它的反函数y=f (x)在对应区间Ix内也可导, 且证：由于x=(y)在Iy内严格单调、连续. 从而它的反函数y=f (x)存在, 并在Ix内有相同的单调性, 同时, y=f (x)在Ix内连续.即下证三、反函数求导法则xIx, 给改变量x0, 相应的函数y=f (x)有改变量由于 x = (y)和 y = f (x)互为反函数，即，即x也就是函数x=(y)的改变量.因y=f (x)连续，故当x0时，y0，且(y) 0例11. 证明证：y=arc sinx是x=siny的反函数. x=siny在内单调，可导，且(siny)=cosy 0,所以在对应区间(1,1)内，有例12. 证明证：

11、y=arc tgx是x=tg y在上的反函数x=tg y在内单调，可导，且例13. 设解：=当 x 0且| x | a时当x a 时=P106 P107四、导数公式表说明：公式12(1) 当 x 0时，(2) 当 x 0时，综合(1)、(2)有公式17因为类似得公式18例14. 解:例15. 设sinx,x 0ex1,0 x ln32x2,ln3 x求 f (x) 的导数, 并指出 f (x)的不可导点.解:当 x 0时, f (x) = (sinx) = cosx.当 0 x ln3时, f (x) = (ex1) = ex. 当 ln3 x时, f (x) = (2x2) = 4x. f

12、(x) = 考虑分段点 x = 0, ln3处的导数.= 1 (当x 0时, f (x) = sinx)= 1 (当 0 x ln3时, f (x) = ex1)由于 f (0) = f +(0) = 1, 故 f (0) = 1.由于当 0 x ln3时, f (x) = ex1. 当 ln3 x时, f (x) = 2x2. 故 f (ln3) = eln31 = 2. 从而所以 f (x) = ln3 处不可导.综合, f (x) =cosx,x01,x=0ex,0 x ln34x,ln3 0在 (, +)内可导.解:由于可导必连续, 故要使 f (x) 可导, 必先使 f (x)连续.

13、由于 f (0) = 3故 a = 2, b = 3时, f (x)在 (, +)可导.得 b = 3.f (x) = 以前所接触到的函数通常是y=f (x)的形式, 即左边是y ,而右边是一个不含y的表达式.如我们称为显函数根据函数的概念，一个函数也可以不以显函数的形式出现.五、隐函数求导法则比如，给二元方程 y3+2x21=0任给一个x，都可根据上面的方程，解出唯一的一个y来即，任给一个x都有唯一的一个y与之对应，因此, y是x的函数.称y为由方程y3+2x21=0所确定的隐函数.定义：设有二元方程F(x, y)=0，如果对任意的 xIx , 存在唯一的y满足方程F(x, y)=0, 则称方程F(x, y)=0在Ix上确定了一个隐函数y = y(x).有些隐函数很容易表成显函数的形式.如，由y3+2x21=0，解得把一个隐函数化为显函数的形式，称为隐函数的显化.有些隐函数不一定能显化或者很难显化.如 yx siny=0 (0 0, x 0两边对x求导, 注意到y是x的函数, 从而lny是x的复合对数.从而解(二)：由于对y=f (x)两端取对数时要求y 0. 这限制了对数求导法的应用范围. 应想办