江苏省高考数学二轮复习专题八附加题第4讲几何证明选讲不等式选讲学案

1、第4讲几何证明选讲、不等式选讲考情考向分析1.考查三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理；圆内接四边形的性质与判定，属B级要求.2.考查含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用，属B级要求热点一三角形相似的判定及应用例1(2018徐州模拟)如图，AB是圆O的直径，弦BD,CA的延长线相交于点E,EF垂直BA的延长线于点F.求证：AB2BEBDAEAC.证明连结AD，BC，因为AB为圆O的直径，所以ADBD，又EFAB，则A，D，E，F四点共圆，又ABCAEF，所以ABAC，即ABAFAEAC，所以BDBEBABF.AEAF所以

2、BEBDAEACBABFABAFAB(BFAF)AB2.思维升华在证明线段的乘积相等时，通常用三角形相似或圆的切割线定理同时，要注意等量的代换跟踪演练1如图，AB和BC分别与圆O相切于点D，C，AC经过圆心O，且BC2OC.求证：AC2AD.证明连结OD.因为AB和BC分别与圆O相切于点D，C，所以BCAC.例2(2018江苏南京师大附中模拟)在ABC中，已知ACAB，CM是ACB的角平分线，所以ADOACB90.又因为AA，所以RtADORtACB.ODAD又BC2OC2OD，故AC2AD.热点二圆有关定理、性质的应用12AMC的外接圆交BC边于点N，求证：BN2AM.证明如图，在ABC中，

3、因为CM是ACB的角平分线，所以ACAM.2BCBM所以BMBABNBC，即BMBMBCBM1AB2AM又ACAB，所以，因为BA与BC是圆O过同一点B的弦，ABBNBCBM2AMBN由可知，所以BN2AM.思维升华本题使用三角形内角平分线定理和圆的切割线定理，灵活进行等量代换，较好体现了化归和转化的数学思想跟踪演练2(1)(2018南通、徐州、扬州等六市模拟)如图，A，B，C是O上的3个不同的点，半径OA交弦BC于点D.求证：DBDCOD2OA2.证明如图，延长AO交O于点E，则DBDCDEDA(ODOE)(OAOD).OEOA，DBDC(OAOD)(OAOD)OA2OD2.DBDCOD2O

4、A2.(2)(2018江苏盐城中学模拟)如图，过点A的圆与BC切于点D，且与AB，AC分别交于点E，F.已知AD为BAC的平分线求证：EFBC.证明如图，连结ED.例3(1)(2018南通、徐州、扬州等六市模拟)已知a，b，c为正实数，且abc，求因为圆与BC切于D，所以BDEBAD.因为AD平分BAC.所以BADDAC.又DACDEF，所以BDEDEF.所以EFBC.热点三不等式的证明12c(a2b)证：1ac2.证明a,b,c为正实数，c(a2b)1aca2b3cc(a2b)(ac)2(bc)1a1b1c1d5b2c2d2证明(1a)(1b)(1c)(1d)1a1b1c1d1aa1b1cc

5、1dbd1a1b1c1d当且仅当abcd时，等号成立2ac4bc2ac2bcac2bc(当且仅当abc时取“”)故原式成立(2)已知x0，y0，证明：(1xy2)(1x2y)9xy.证明因为x0，y0，33所以1xy23xy20,1x2y3x2y0，33故(1xy2)(1x2y)3xy23x2y9xy.当且仅当xy1时，等号成立思维升华证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等；依据不等式的结构特征，也可以直接使用柯西不等式进行证明跟踪演练3已知ab0，求证：2a3b32ab2a2b.证明2a3b3(2ab2a2b)2a(a2b2)b(a2b2)(a2b2)(2

6、ab)(ab)(ab)(2ab)因为ab0，所以ab0，ab0,2ab0，从而(ab)(ab)(2ab)0，即2a3b32ab2a2b.热点四柯西不等式例4(1)(2018淮安等四市模拟)已知a，b，c，d都是正实数，且abcd1，求证：a2b2c2d21.a22(abcd)21，14又(1a)(1b)(1c)(1d)5，1a1b1c1d5a2b2c2d21.即abc时等号成立跟踪演练4(2018江苏丹阳高级中学模拟)已知正数x，y，z满足xyz4，求x2y2z2(491)23z12所以z2，当且仅当，即x，y，z时取“”所以z2的最小值为.bc(2)(2018南京模拟)已知a，(0，)，且a

7、bc1，求2ab2bc2ca的最大值解因为(121212)(2ab)2(2bc)2(2ca)2(12ab12bc12ca)2，即(2ab2bc2ca)29(abc)因为abc1，所以(2ab2bc2ca)29,所以2ab2bc2ca3，当且仅当2ab2bc2ca，13所以2ab2bc2ca的最大值为3.思维升华利用柯西不等式证明不等式或求最值时，要先根据柯西不等式的结构特征对式子变形，使之与柯西不等式有相似的结构x2y249z2的最小值解由柯西不等式得，yx3492(xyz)216，x2y216849147xy23z2318182777x2y284971(2018江苏)如图，圆O的半径为2，A

8、B为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C.若PC23，求BC的长证明如图，连结OC.当且仅当时，不等式取等号，此时x，y，z，因为PC与圆O相切，所以OCPC.又因为PC23，OC2，所以OPPC2OC24.又因为OB2，从而B为RtOCP斜边的中点，所以BC2.2(2018江苏)若x，y，z为实数，且x2y2z6，求x2y2z2的最小值证明由柯西不等式，得(x2y2z2)(122222)(x2y2z)2.因为x2y2z6，所以x2y2z24，xyz122244333所以x2y2z2的最小值为4.3(2017江苏)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，APP

9、C，P为垂足求证：(1)PACCAB；(2)AC2APAB.证明(1)因为PC切半圆O于点C，所以PCACBA，因为AB为半圆O的直径，所以ACB90，因为APPC，所以APC90.因此PACCAB.(2)由(1)知PACCAB，故，APACACAB即AC2APAB.4(2017江苏)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8.证明由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)，因为a2b24，c2d216，所以(acbd)264，因此acbd8.1(2018苏锡常镇四市调研)如图所示，AB为O的直径，AE平分BAC交O于E点，过E作O的切线交AC于点D，求

10、证：ACDE.证明连结OE，因为ED是O切线，所以OEED.因为OAOE，所以1OEA.又因为12，所以2OEA，所以OEAC，所以ACDE.2.如图，在ABC中，ABeqoac(,AC)，ABC的外接圆O的弦AE交BC于点D.求证：ABDAEB.证明因为ABAC，所以ABDC.又因为CE，所以ABDE，又BAE为公共角，可知ABDAEB.3如图，AB是圆O的直径，D，E为圆上位于AB异侧的两点，连结BD并延长至点C，使BDDC，连结AC，AE，DE.求证：EC.证明连结OD，因为BDDC，O为AB的中点，所以ODAC，于是ODBC.因为OBOD，所以ODBB，于是BC.因为点A，E，B，D都

11、在圆O上，且D，E为圆O上位于AB异侧的两点，所以E和B为同弧所对的圆周角，故EB.所以EC.4解不等式x|2x3|2.x，解原不等式可化为x，或解得x5或x.32x32，13323x32，1综上，原不等式的解集是xx5或x3.5(2018江苏南京师大附中模拟)已知a0，b0，ab1，求证：.1492a12b14证明方法一因为a0，b0，ab1，41所以a212b142a122b142a19.2a12b1(2a1)(2b1)142b12a12b152a12b14即a，b时，等号成立149而(2a1)(2b1)4，所以.ab1，当且仅当2b142a12a12b1，1566方法二因为a0，b0，由

12、柯西不等式得412a12b12a12b1(2a1)(2b1)12a142b122a12b14即a，b时等号成立6(2016江苏)设a0，|x1|，|y2|，证明由a0，|x1|可得|2x2|，又|y2|，|2xy4|(2x2)(y2)|2x2|y2|a.(12)29.由ab1，得(2a1)(2b1)4，149ab1，所以.当且仅当122a12b1，1566aa33求证：|2xy4|a.a2a33a32aa33即|2xy4|a.7(2018全国大联考江苏卷)如图，AD，BC，CD是以AB为直径的圆的切线，切点分别为A，B，P，AC和BD交于Q点求证：PQAB.证明AD，BC是以AB为直径的圆的切线，AD，eqoac(,BC)CQBAQD，.DADP，同理，CPCB，PQDA，解由柯西不等式，得x2(3y)212即(x23y2)(xy)2.