挑战中考数学压轴试题复习(第十版)因动点产生的相切问题

1、16 因动点产生的相切问题课前导学一、圆与圆的位置关系问题，一般无法先画出比较准确的图形解这类问题，一般分三步走，第一步先罗列三要素：R、r、d，第二步分类列方程，第三步解方程并验根第一步在罗列三要素R、r、d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示第二步分类列方程，就是指外切与内切两种情况二、直线与圆的位置关系问题，一般也无法先画出比较准确的图形解这类问题，一般也分三步走，第一步先罗列两要素：R和d，第二步列方程，第三步解方程并验根第一步在罗列两要素R和d的过程中，确定的要素罗列出来以后，不确定的要素要用含有x的式子表示第二步列方程，就是根据直线与圆相切时dR列方程

2、如图1，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，圆O的半径为1，点C在y轴的正半轴上，如果圆C既与直线AB相切，又与圆O相切，求点C的坐标“既，又”的双重条件问题，一般先确定一个，再计算另一个假设圆C与直线AB相切于点D，设CD3m，BD4m，BC5m，那么点C的坐标为(0,45m)罗列三要素：对于圆O，r1；对于圆C，R3m；圆心距OC45m分类列方程：两圆外切时，45m3m1；两圆内切时，45m3m1把这个问题再拓展一下，如果点C在y轴上，那么还要考虑点C在y轴负半轴相同的是，对于圆O，r1；对于圆C，R3m；不同的是，圆心距OC5m4图1例 42 2014年湖南省衡阳市中考第27题如图1，直

3、线AB与x轴交于点A(4, 0)，与y轴交于点B(0, 3)点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动同时将直线以每秒0.6个单位长度的速度向上平移，交OA于点C，交OB于点D，设运动时间为t（0t5）秒（1）证明：在运动过程中，四边形ACDP总是平行四边形；（2）当t取何值时，四边形ACDP为菱形？请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由图1 动感体验请打开几何画板文件名“14衡阳27”，拖动点P运动，可以体验到，当平行四边形ACDP是菱形时，圆D与直线AB恰好相切思路点拨1用含t的式子把线段OD、OC、CD、AP、AC的长都可以表示出来2两条

4、直线的斜率相等，这两条直线平行3判断圆与直线的位置关系，就是比较圆心到直线的距离与半径的大小图文解析（1）如图2，由A(4, 0)、B(0, 3)，可得直线AB的解析式为所以直线AB/CD在RtOCD中，ODOC34，OD0.6t，所以OC0.8t，CDt所以APCDt所以四边形ACDP总是平行四边形（2）如图3，如果四边形ACDP为菱形，那么ACAP所以40.8tt解得t此时OD0.6t所以BD作DEAB于E在RtBDE中，sinB，BD，所以DEBDsinB因此ODDE，即圆心D到直线AB的距离等于圆D的半径所以此时圆D与直线AB相切于点E（如图4）图2 图3考点伸展在本题情境下，点P运动

5、到什么位置时，平行四边形ACDP的面积最大？S平行四边形ACDPACDO当时，平行四边形ACDP的面积最大，最大值为3此时点P是AB的中点（如图5）图4 图5例 43 2014年湖南省株洲市中考第23题如图1，PQ为圆O的直径，点B在线段PQ的延长线上，OQQB1，动点A在圆O的上半圆上运动（包含P、Q两点），以线段AB为边向上作等边三角形ABC（1）当线段AB所在的直线与圆O相切时，求ABC的面积（如图1）；（2）设AOB，当线段AB与圆O只有一个公共点（即A点）时，求的范围（如图2，直接写出答案）；（3）当线段AB与圆O有两个公共点A、M时，如果AOPM于点N，求CM的长（如图3）图1 图

6、2 图3动感体验请打开几何画板文件名“14株洲23”，拖动点A在圆上运动，可以体验到，当点A在直线AB与圆的切点的右侧（包括切点）时，线段AB与圆有一个交点还可以体验到，当AOPM时，NO、MQ是中位线，此时等腰三角形AOM的高MN是确定的思路点拨1过点B画圆O的切线，可以帮助理解第（1）、（2）题的题意2第（3）题发现AO/MQ很重要，进一步发现NO、MQ是中位线就可以计算了图文解析（1）如图4，连结OA当线段AB所在的直线与圆O相切时，OAAB，A为切点此时在RtAOB中，OA1，OB2，所以AB，ABO30此时等边三角形ABC的高为，所以SABC（2）060（3）如图5，连结MQ，那么PMQ90当AOPM时，AO/MQ由于Q是OB的中点，所以，M是AB的中点所以CMAB由于O是PQ的中点，所以所以如图6，连结MO在RtOMN中，MO1，所以MN2在RtAMN中，AM2AN2MN2所以AM于是在RtCAM中，CMAM图4 图5 图6考点伸展第（2）题的题意可以这样理解：如图7，过点B画圆O的切线，