北京四中学初三上期中考试数学试卷含详细答案

1、2017届北京四中九年级上学期期中考试数学试卷（时间：120分钟总分：120分）姓名：班级：一、选择题(本题共30分，每小题3分)1剪纸是国家级非物质文化遗产，下列剪纸作品中是中心对称图形的是（）A B C D2在RtABC中，C90，若BC1，AC2，则sinA的值为（ ） ABCD23将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（ ）A BC D4如图，长4m的楼梯AB的倾斜角ABD为60，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角ACD为45，则调整后的楼梯AC的长为（）A2m B2m C（22）m D（22）m5如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物

2、线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积是( ) A2 B. 4 C. 8 D. 166如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC的正切值是（）A2BCD7如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90得到线段AB，则A（2，5）的对应点A的坐标是（）A（2，5） B（5，2） C（2，5） D（5，2）8某抛物线的顶点为（2，1），与x轴相交于P、Q两点，若此抛物线通过（1，a）、（3，b）、（1，c）、（3，d）四点，则a、b、c、d中最大值是（）Aa Bb Cc Dd9.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a0）中的x与y的部分对应值如下表：x101

3、3y1353下列结论：（1）ac0；（2）抛物线顶点坐标为（1，5）；（3）3是方程ax2+（b1）x+c=0的一个根；（4）当1x3时，ax2+（b1）x+c0其中正确的个数为（）A4个B 3个C 2个D 1个10.二次函数满足以下条件：当时，它的图象位于x轴的下方；当时，它的图象位于x轴的上方，则m的值为（ ） A8BCD二、填空题（本题共18分，每小题3分）11若,则.12已知抛物线的对称轴为直线x2，与x轴的一个交点为（1，0），则它与x轴的另一个交点为13长方体底面周长为50cm，高为10cm则长方体体积y关于底面的一条边长x的函数解析式是.其中x的取值范围是.14将含有30角的直角

4、三角板OAB如图放置在平面直角坐标系中，OB在x轴上，若OA=2，将三角板绕原点O顺时针旋转75，则点A的对应点A的坐标为_.第14题 第15题15两个全等的三角尺重叠放在ACB的位置，将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，AB与CE相交于点F已知ACB=DCE=90，B=30，AB=8cm，则CF=_ cm16定义：直线y=ax+b(a0)称作抛物线y=ax2+bx(a0)的关联直线. 根据定义回答以下问题：(1)已知抛物线y=ax2+bx(a0)的关联直线为y=x+2, 则该抛物线的顶点坐标为_；(2)当a=1时, 请写出抛物线y=ax2+bx与其

5、关联直线所共有的特征（写出一条即可）：_.三、解答题（本题共72分，第23题6分，第26题4分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，其余每小题5分）17计算: 20160+sin45+tan6018如图，在ABC中，AB=12，BC=15，ADBC于点D，BAD=30求tanC的值19如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB=800米，BC=200米，坡角BAF=30，CBE=45（1）求AB段山坡的高度EF；（2）求山峰的高度CF（1.414，CF结果精确到米）20已知：二次函数的图象经过点 （1）求二次函数的解析式；

6、 （2）求二次函数的图象与x轴的交点坐标； （3）将（1）中求得的函数解析式用配方法化成的形式21如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（4，0），C（0，0）（1）画出将ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的A1B1C1；（2）画出将ABC绕原点O顺时针方向旋转90得到A2B2O；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到A1与点A2距离之和最小，请直接写出P点的坐标22已知：如图，四边形ABCD中，AC90，D60，AB3，求BC的长23. 某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价

7、是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元. 设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？24. 设二次函数的图象为C1二次函数的图象与C1关于y轴对称 （1）求二次函数的解析式； （2）当0时，直接写出的取值范围； （3）设二次函数图象的顶点为点A，与y轴的交点为点B，一次函数( k，m为常数，k0)的图象经过A，B两点，当

8、时，直接写出x的取值范围25如图，设ABC和CDE都是正三角形，且EBD70o，求AEB的度数。26.阅读材料，解答问题1231123xy例：用图象法解一元二次不等式：解：设，则是的二次函数抛物线开口向上又当时，解得由此得抛物线的大致图象如图所示观察函数图象可知：当或时，的解集是：或（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：的解集是_；（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式： QUOTE 27抛物线（m0）与x轴的交点为A，B（1）求抛物线的顶点坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点当m1时，求线段AB上整点的个数；若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）恰有6个整

9、点，结合函数的图象，求m的取值范围28阅读下面材料：小伟遇到这样一个问题：如图1，在正三角形ABC内有一点P，且PA=3 ，PB=4，PC=5，求APB的度数.小伟是这样思考的：如图2，利用旋转和全等的知识构造APC，连接PP，得到两个特殊的三角形，从而将问题解决请你回答：图1中APB的度数等于 . 参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=，PB=1，PD=，求APB的度数和正方形的边长；（2）如图4，在正六边形ABCDEF内有一点P，且PA=2，PB=1，PF=，直接写出APB的度数等于_，正六边形的边长为_29阅读：我们约定，在平面直角坐

10、标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”例如，点M（1，3）的特征线有：x=1，y=3，y=x+2，y=x+4问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形OABC，点B在第一象限，A、C分别在x轴和y轴上，抛物线经过B、C两点，顶点D在正方形内部（1）直接写出点D（m，n）所有的特征线；（2）若点D有一条特征线是y=x+1，求此抛物线的解析式；（3）点P是AB边上除点A外的任意一点，连接OP，将OAP沿着OP折叠，点A落在点A的位置，当点A在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满足（2）中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在OP上？详细答案部分1.考点

11、：中心对称与中心对称图形试题解析：根据中心对称图形定义判断即可.答案：C 2.考点：解直角三角形试题解析：根据勾股定理可求出AB=，再根据正弦值的定义可求sinA的值为.答案：A 3.考点：二次函数图像的平移试题解析：根据“上加下减，左加右减”的二次函数平移法则即可.解：将抛物线向右平移1个单位得，再向上平移3个单位得.答案：B 4.考点：解直角三角形试题解析：根据正弦值的定义可求AD=ABsin60=2，倾斜角ACD为45时AC= =2m答案：B 5.考点：二次函数图像的平移试题解析：根据抛物线解析式计算出的顶点坐标，过点C作CAy轴于A，根据抛物线的对称性可知阴影面积等于矩形ACBO面积，

12、然后求解即可.解：过点C作CAy，顶点C坐标为（2，-2），对称轴与两段抛物线围成的阴影部分面积为：22=4 答案：B 6.考点：直角三角形与勾股定理锐角三角函数试题解析：连接AC，根据网格特点和正方形性质得到BAC=90，根据勾股定理求出AC、AB，根据正切的定义计算即可.解：连接AC，由网格特点和正方形性质得到BAC=90，根据勾股定理得：AC= AB=2则tanABC= 答案：D 7.考点：图形的旋转试题解析：由旋转的性质可知ABOABO， AO=AO，AOA=90，作ACy轴于C，ACx轴于C，可得ACOACO就可得出AC=AC，CO=CO，由A坐标可得结论.解：线段AB绕点O顺时针旋

13、转90得到线段AB，ABOABO，AOA=90，AO=AO，作ACy轴于C，ACx轴于C，AOA=AOC+COA=90，COC=COA+AOC=90AOC=AOC，ACOACO（AAS）AC=AC,CO=COA（2，5）AC=2，CO=5AC=2，CO=5A（5,2） 答案：B 8.考点：二次函数的图像及其性质试题解析：根据抛物线顶点可知对称轴，根据抛物线的对称性可知：（1，a）、（3，b）关于对称轴x=2对称，故a=b；由于抛物线与x轴相交于P、Q两点，故抛物线开口向上，对称轴的左侧抛物线为减函数，故点（1，a）、（1，c）、（3，d）在左侧抛物线上，因-3-11，故dca，故a、b、c、d

14、中最大值是d.答案：D 9.考点：二次函数图像与a,b,c的关系试题解析：根据已知可得抛物线经过点（-1，-1）、（0,3）、（1,5）可求抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，故可判断（1）正确，（2）错误；由解析式可知a=-1，b=3，c=3，代入方程ax2+（b1）x+c=0，得-x2+2x+3=0，可判断3是方程的根，（3）正确；由抛物线y=-x2+2x+3开口向下，与x轴交点为-1与3，可知当1x3时，ax2+（b1）x+c0，故（4）正确.（1）（3）（4）正确，故选择B.答案：B 10.考点：二次函数的图像及其性质试题解析：根据抛物线的顶点式得到对称轴为直线x=2，由于在这一段的

15、图象位于x轴的下方，根据抛物线的对称性可知这一段的图象位于x轴的下方，而当时，它的图象位于x轴的上方，故抛物线过点（6,0），代入二次函数可求m=-24.答案：D 11.考点：锐角三角函数试题解析：设对边BC=x，根据，可知AC=2x，根据勾股定理可求AB= ，再根据正弦三角函数定义可求 答案： 12.考点：二次函数的图像及其性质试题解析：根据抛物线的对称性可知另一个交点为2+2-（-1）=5，即另一交点为（5,0）.答案：(5,0) 13.考点：二次函数表达式的确定试题解析：长方体底面周长为50cm，底面的一条边长x底面的另一条边长（25-x），根据题意得出：,答案：, 14.考点：解直角三

16、角形图形的旋转试题解析：如图所示：过点A作ACOB， 将三角板原点O顺时针旋转75，AOA=90，OA=OACOA=45OC= ，CA=A坐标为（）答案： 15.考点：图形的旋转试题解析：利用旋转的性质可得出DC=AC，D=CAB，再利用已知角度得出AFC=90，再利用直角三角形的性质得出FC的长.解：将其中一个三角尺绕着点C按逆时针方向旋转至DCE的位置，使点A恰好落在边DE上，DC=AC，D=CAB，ACB=DCE=90，B=30，D=CAB=60， ACF=30，可得AFC=90，AB=8cm，AC=4cmFC=4cos30=2（cm）答案： 16.考点：二次函数的图像及其性质试题解析：

17、抛物线y=ax2+bx(a0)的关联直线为y=x+2,抛物线为：y=x2+2x，y=x2+2x=（x+1）2-1，抛物线的顶点坐标为（-1，-1）（2）抛物线y=ax2+bx与其关联直线恒过点（1,1+b）；抛物线y=ax2+bx与其关联直线恒过点（-b,0）；抛物线y=ax2+bx与其关联直线恒有一个交点在x轴上；当x 时，抛物线y=ax2+bx与其关联直线均是从左到右呈上升趋势；答案：（1，1）；如：过点（1,1+b）（不唯一） 17.考点：二次函数图像的平移试题解析：（1）求出抛物线C1的顶点坐标，再根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同求出抛物线C2的顶点坐标，然后利用顶点

18、式形式写出即可；（2）作出函数图像，然后根据图形写出y2的取值范围；（3）根据函数图像写出抛物线C2在直线AB的下方部分的x的取值范围即可；解：（1）二次函数图象的顶点，关于y轴的对称点坐标为， 所求的二次函数的解析式为，即（2）如图，-3x0时，y2的取值范围为：3 （3）y2y3时，答案：见解析 18.考点：实数运算试题解析：原式 答案： 19.考点：解直角三角形试题解析：ADBC于点D，ADB=ADC=90在RtABD中，AB=12，BAD=30，BD=AB=6， AD=ABcosBAD =12cos30=BC=15，CD= BCBD=156=9在RtADC中，tanC= =答案： 20

19、.考点：解直角三角形的实际应用试题解析：（1）作BHAF于H，如图，在RtABF中根据正弦定义可算出BH的长从而得到EF的长；（2）先在RtCBE中利用CBE的正弦计算出CE，然后计算CE和EF的和即可.解：（1）作BHAF于H，如图，在RtABF中，sinBAH=，BH=800sin30=400，EF=BH=400m；（2）在RtCBE中，sinCBE=，CE=200sin45=100141.4，CF=CE+EF=141.4+400541（m）答：AB段山坡高度为400米，山CF的高度约为541米 答案：541米 21.考点：二次函数的概念及表示方法二次函数表达式的确定试题解析：（1） 二次

20、函数的图象经过点A(2，5)， 二次函数的解析式为（2） 令，则有解得， 二次函数的图象与x轴的交点坐标为和（3） 答案：(1) (2) 和 (3) 22.考点：图形的旋转图形的平移试题解析：（1）分别将点A、B、C向上平移1个单位，再向右平移5个单位，然后顺次连接；（2）根据网格结构找出点A、B、C以点O为旋转中心顺时针旋转90后的对应点，然后顺次连接即可；（3）利用最短路径问题解决，首先作A1点关于x轴的对称点A3，再连接A2A3与x轴的交点即为所求.解：（1）如图所示，A1B1C1为所求做的三角形；（2）如图所示，A2B2O为所求做的三角形；（3）A2坐标为（3，1），A3坐标为（4，4

21、），A2A3所在直线的解析式为：y=5x+16，令y=0，则x=，P点的坐标（，0） 答案：见解析 23.考点：直角三角形与勾股定理试题解析：延长AD与BC，两延长线交于点E，由B=D=90，A=60，可得到E=30，在直角三角形CDE中，利用30所对的直角边等于斜边的一半，根据CD的长求出DE的长，同理在直角三角形ABE中，由AB的长求出AE的长，用AE-DE求出AD的长，用BE-CE求出BC的长即可.解：延长AD与BC，两延长线交于点E，B =90，A=60，E=30，在RtCDE中，CD=1，CE=2CD=2，根据勾股定理得：DE= 在RtABE中，AB= ，AE=2AB=2，根据勾股定

22、理得：BE= 则BC=BE-CE=3-2=1，AD=AE-DE=2-= 答案：BC= 1，AD= 24.考点：二次函数与一元二次方程试题解析：(1)根据利润=数量每件的利润就可以求出关系式；(2)当y=2520时代入（1）的解析式就可以求出结论；(3)根据）（1）的解析式，将其转化为顶点式，根据二次函数的顶点式的性质就可以求出结论.解：（1）依题意得每件玩具售价不能高于40元自变量x的取值范围是0 x10且x为正整数；（2）当y=2520时，得解得x1=2，x2=11 因为0 x10，所以x2=11 不合题意，舍去； 当x=2时，30+x=32（元） 所以，每件玩具的售价定为32元时，月销售利

23、润恰为2520元；（3） a=-100 当x=6.5时，y有最大值为2722.5 0 x10 (1x10也正确)且x为正整数当x=6时，30+x=36，y=2720（元）当x=7时，30+x=37，y=2720（元）所以，每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润.最大的月利润是2720元答案：见解析 25.考点：等边三角形全等三角形的判定试题解析：由题中条件可得ACEBCD，得出DBC=CAE，进而通过角之间的转化可得出结论.解：ABC和CDE都是正三角形，AC=BC，CE=CD，ACB=ECD=60，又ACB=ACE+BCE，ECD=BCE+BCD，BCD=ACE，ACEBC

24、D，DBC=CAE，70-EBC=60-BAE，又EBC=60-ABE70-（60-ABE） =60-BAE，ABE+BAE=50AEB=180-（ABE+BAE）=130答案：130 26.考点：二次函数的图像及其性质试题解析：（1）观察图像可得一元二次不等式：的解集是1x3（2） ，则是的二次函数.a=-10，抛物线开口向下又当y=0时，解得x1=1，x2=3由此的抛物线的大致图像为： 当y0时，即，解集为x3.答案：（1）-1x3 （2）x3 27.考点：二次函数的图像及其性质试题解析：（1）利用配方法即可解决问题；（2）m=1代入抛物线解析式，求出A、B两点坐标即可解决问题根据题意判断

25、出点A的位置，利用待定系数法确定m的范围.解：（1）将抛物线表达式变为顶点式，则抛物线顶点坐标为（1，-1）；（2）m=1时，抛物线表达式为，因此A、B的坐标分别为（0，0）和（2，0），则线段AB上的整点有（0，0），（1，0），（2，0）共3个； 抛物线顶点为（1，-1），则由线段AB之间的部分及线段AB所围成的区域的整点的纵坐标只能为-1或者0，所以即要求AB线段上（含AB两点）必须有5个整点；又有抛物线表达式，令y=0，则，得到A、B两点坐标分别为（，0），（，0），即5个整点是以（1，0）为中心向两侧分散，进而得到， 答案：见解析 28.考点：四边形综合题试题解析：阅读材料：把APB

26、绕点A逆时针旋转60得到ACP，根据旋转的性质可得PA=PA，PC=PB，PAP=60，然后求出APP是等边三角形，根据等边三角形的性质求出PP=PA=3，APP=60，再利用勾股定理逆定理求出PPC=90，然后求出APC，即为APB的度数；（1）把APB绕点A逆时针旋转90得到ADP，根据旋转的性质可得PA=PA，PD=PB，PAP=90，然后判断出APP是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出PP，APP=45，再利用勾股定理逆定理求出PPD=90，然后求出APD，即为APB的度数；再求出点P、P、B三点共线，过点A作AEPP于E，根据等腰直角三角形的性质求出AE=PE=PP，然后求

27、出BE，在RtABE中，利用勾股定理列式求出AB即可；（2）把APB绕点A逆时针旋转120得到AFP，根据旋转的性质可得PA=PA，PF=PB，PAP=120，然后求出APP是底角为30的等腰三角形，过点A作AMPP于M，设PP与AF相交于N，求出AM=1，再求出PP，APP=30，再利用勾股定理逆定理求出PPF=90，然后求出APF，即为APB的度数；根据PF、AM的长度得到PF=AM，利用“角角边”证明AMN和FPN全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=FN，PN=MN，然后求出MN，在RtAMN中，利用勾股定理列式求出AN，然后求出AF即可解：阅读材料：把APB绕点A逆时针旋转60得到ACP，由旋转的性质，PA=PA=3，PD=PB=4，PAP=60，APP是等边三角形，PP=PA=3，APP=60，PP2+PC2=32+42=25，PC2=52=25，PP2+PC2=PC2，PPC=90，APC=APP+PPC=60+90=150；故APB=APC=150； （1）如图3，把APB绕点A逆时针旋转90得到ADP，由旋转的性质，PA=PA=2，PD=PB=1，PAP=90，APP是等腰直角三角形，PP=PA=2=4，APP=45，PP2+PD2=42+12=17=PD2，PPD=90，APD=APP+PPD=45+90=135，故