全国高中数学联赛辽宁省试题及答案

1、2009年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题答案及评分标准（7月5日上午8：3011：00）考生注意：本试卷共三道大题，16道小题满分150分。选择题（本题满分30分，每小题5分）本题共有6道小题，每小题给出了（A）（B）（C）（D）四个结论，其中只有一个是正确的。请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内。每小题选对得5分，不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在圆括号内），一律得0分。1已知集合M=x|xR，5|2x3|N+，则M的所有非空真子集的个数是（）A254B255C 510D 511答（C）2平面上满足约束条件的点（x，y）形成的区域为D，区域D关于直线y=2x对称的区域为E，

2、则区域D和区域E中距离最近的两面三刀点的距离为ABCD 答（B）3已知ABC的三边a，b，c成等比数列，a，b，c所对的角依次为A，B，C.则sinB+cosB的取值范围是A(1，1+B，1+C（1，D， 答（C）4设M是正方体各条棱的中点的集合，则过且公过M中3个点的平面的个数是A56B。81C。136D。145答（）5设an=2n，bn=n，（n=1，2，3，。），An、Bn分别为数列an、bn的前n项和。记cn=anBn+bnAnanbn，则数列cn的前10项和为A210+53B.2 11 +53C.110（2 91）D.110（2 101）答（D）6将一些半径为1的小圆放入半径为11的

3、大圆内，使每个小圆都与大圆相内切，且这些小圆无重叠部分，则最多可以放入的小圆的个数是A30B.31C.32D.33答（B）二填空题（本题满分30分，每小题5分）7正四面体ABCD的外接球球心为O，E为BC中点，则二面角ABOE的大小为_120o_.8函数f（x）=的最大值与最小值的乘积是_.9.把长为1的铁丝截成三段，则这三段恰能围成三角形的概率为_.10设a（0a1）是给定的常数，f（x）是R上的奇函数，且在（0，+）上递减。若f（）=0，f（logax）0，那么x的变化范围是_或_.11数列an满足an =1，则a1+a 2+a 3+。+a n =_12已知点P是双曲线=1上的动点，F、F

4、分别是其左、右焦点，O为坐标原点，则的取值范围_.三解答题（本题共4道小题，满分90分）13（本小题满分20分）已知函数f（x）=2x+alnx（1）若a0，证明：对于任意两个正数x1，x2，总有f()成立；（2）若对任意x1，e，不等式f（x）（a+3）xx2恒成立，求a的取值范围。14（本小题满分20分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率e=，过点A（0，b）和B（a，0）的直线与原点的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知定点E（2，0），直线y=kx+t与椭圆交于C、D两点，证明：对任意的t0，都存在k ，使得以线段CD为直径的圆过E点.EABDD15.（本小题满分25分）如图。ABC中

5、，ABAC，AE是其外接圆的切线，D为AB上的点，且AD=AC=AE.求证：直线DE过ABC的内心.16.（本小题满分25分）已知数列an中的相邻两项a2k-1，a2k是关于x的方程x2（3k+2k）x+3k2 k =0的两个根.（1）求数列an的前2n项和S2n.（2）记f（n）=（+3），Tn=+，求证：Tn（nN+）说明： 1评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。 2如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。一

6、选择题（本题满分30分，每小题5分）1（C） 2（B） 3（C） 4（A） 5（D） 6（B）二填空题（本题满分30分，每小题5分） 7 8 9 10或 11 12三解答题13（本小题满分20分）解：（I）.（5分）因为 所以, ， 又， 故，所以，； （10分）（）因为对恒成立，故， ，因为,所以，因而 ，（15分）设 因为，当时, ,，所以，又因为在和处连续 ，所以在时为增函数，所以 （20分）14，（本小题满分20分）解：（I）直线的方程为， 依题意得 解得， 所以，椭圆方程为（5分）（）将代入椭圆方程，得， 由直线与椭圆有两个交点，（1） （10分）设，则，（2）以为直径的圆过点，即， 而，将（2）代入，解得，（15分），即满足（1），所以，对任意的，都存在，使得以线段为直径的圆过点（20分）15. （本小题满分25分）证明：设角的内角平分线与交于点，连接,由于是外接圆的切线，故，（5分）又，故， （10分）故，所以四点共圆. （15分） （20