上海高一下期末数学复习全总结-教师版-LyleRen

1、高一下期末复习资料板块一指对幂函数【知识要求】（1）指对幂运算：指数运算、对数运算、指对互换。1.1对数恒等式：1.2对数公式：（2）指对幂函数图像：基本初等函数图像、图像变换。（3）指对幂函数性质：奇偶、单调、对称、周期。【经典例题】【例1】（1）【2010湖北文03】已知函数，则。【解析】；，。（2）【2010湖北文05】函数的定义域为。【解析】；。（3）【2010重庆文04】函数的值域是。 【解析】；，。【例2】【2010北京文06】给定函数，其中在区间上单调递减的函数的序号是。【解析】；根据函数图像可得满足题意。【例3】【2010全国文10理08】设，则。【解析】；，又，。综上，。板块

2、二三角比【知识要求】（1）角的定义与表示1.1任意角的定义：平面内由一条射线绕着其端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所形成的图形。（动态的定义）1.2分类：正角、负角、零角；象限角、轴线角。1.3表示：与角终边一致的角：1.4弧度制为什么引进弧度制？:以实现角度与实数的一一对应，为三角函数“正名”。弧度制与角度制（六十进制）的互换：采用比例式互换。把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做。圆心角；扇形面积。；。（2）三角比的定义2.1三角比的定义用直角三角形边之比定义锐角三角比；，正割：，余割：用终边上点的坐标定义任意角的三角比；在任意角的终边上任取一点。设点的坐标为，则。，。由以上定义可

3、得任意角在各个象限中对应的三角比的正负：一全正、二正弦（余割）、三两切、四余弦（正割）。用单位圆上的有向线段定义任意角的三角比。，2.2特殊角的三角比（）（）（）（）（）不存在不存在速记口诀如下：0 30 45 60 90度，正余弦及正切值。数字0 1 2 3 4 ，除以4求算术根；计算结果都存在，对应五角正弦值。数字4 3 2 1 0，除以4求算术根；计算结果都存在，对应五角余弦值。数字0 1 2 3 4 ，数字4 3 2 1 0，对应相除若有商，算术根乃正切值。（3）同角三角恒等式【注】、以上表达式只需知其一，其余的必可求解！（4）诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限。将所需化简的角化成的

4、形式，然后用口诀。（5）两角和差展开公式（6）二倍角公式半角公式（7）辅助角公式（提携公式），*，【经典例题】【例4】（1）若是第二象限角，那么和都不是。第一象限角 第二象限角 第三象限角第四象限角【解析】；是第二象限角，是第一或三象限角，为第三象限角，为第四象限角，故和都不是第二象限角。（2）扇形的中心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为。【解析】；设扇形半径为，内切圆半径为。，。【例5】（1）【2010山东明天中学】已知角的终边过点，且，则的值为。 【解析】；，即，又，角的终边应在第三象限，。（2）【2009重庆文06】下列关系式中正确的是。 【解析】；在单位圆中画出、分别所对应的三

5、角函数线可得。【例6】（1）【2009山东临沂】已知，则的值是。【解析】；法一：，又，。则。法二：，即，或，又，。（2）【2009安徽合肥】已知，则。 【解析】；，。【例7】（1）【2010全国02】记，那么 。 【解析】；，则，故。（2）【2009安徽皖北】若，则 。 【解析】；。【例8】（1）已知，则。【解析】；，。（2）已知为锐角，且，则。【解析】；为锐角，。【例9】（1）已知，则 。【解析】；。（2）已知，则 。【解析】；，。【例10】（1）【2008四川非延考理05】若，则的取值范围是。 【解析】；，又，。（2）若，且，则。【解析】；，又，。板块三三角函数【知识要求】（1）定义：一般

6、地，形如，的函数称为三角函数。（2）图像由单位圆上的有向线段平移所得五点法（3）图像变换同名函数之间进行变换；所有变换必须针对或；左加右减，“上正下负”。（4）三角函数性质：奇偶、单调、周期、对称【经典例题】【例11】（1）作出函数的图像。【解析】法一：用“五点法”法二：通过图像变换绘制。由的图像，向左平移个单位，纵坐标不变横坐标变为原来的，横坐标不变纵坐标变为原来的倍。（2）【2010江苏10】定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为，过点作轴于点，直线与的图像交于点，则线段的长为。【解析】；根据题意画出函数图像，显然线段的长度为在点处所对应的函数值。记点处的横坐标为，则。又有，又因为，所以

7、（舍）或。【例12】（1）【2010天津文08】右图是函数在区间上的图像，为了得到这个函数的图像，只要将的图像上所有的点。(A)向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变(B) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变(C) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变(D) 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变【解析】；由图像可知函数的周期为，振幅为，所以函数的表达式可以是。代入可得的一个值为，故函数的一个表达式为，所以只需将的图像上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到

8、原来的倍，纵坐标不变。（2）【2005天津理08】要得到的图像，只需将函数的图像上所有的点的。A、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度B、横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度C、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度D、横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度【解析】 ；的周期是的周期的2倍，从周期的变化上知道横坐标应该伸长。排除A、B。的横坐标伸长2倍后变成了，将化成正弦形式为，根据口诀“左加右减”得由向右移动。【例13】（1）【2010重庆理06】已知函数的部分图像如图所示，则。A B C D 【

9、解析】；，所以，又因为，所以。（2）【2009浙江理08】已知是实数，则函数的图像不可能是。【解析】；选项：，而由图像的振幅可得两者相互矛盾。【例14】（1）【2010浙江理11】函数的最小正周期是_。【解析】；，故最小正周期为。（2）【2010北京理15改编】函数的最大值为_，最小值为_。【解析】，；，。因为，所以，当时，取最大值；当时，取最小值。（3）【自编】函数，的值域为_。【解析】；令，当时，则。又有，则原函数可化为，当时，故函数的值域为。【例15】（1）【自编】已知函数，（）求函数的值域；（）求函数的最小正周期；（）求函数的单调性；（）求函数的对称轴和对称中心；【解析】（），即值域为

10、。（），即最小正周期为。（）函数的增区间为函数的减区间为【注】在下列区间内函数单调递减的是_。ABCD【解析】；此题的函数为复合函数，在考查单调性时严格采用“同增异减”的口诀。特别需要注意函数的复合形式。令，可见函数单调递减，单调递增，则要求整个函数的减区间，只要单调递增即可。所以，即，。显然备选答案是上述区间的一个子区间。（）对称轴：，对称中心：，所以对称中心为，。（2）【自编】下列命题函数的最小正周期是；函数在（，）上是递增的；函数的图像关于点中心对称；函数是奇函数。其中正确命题的序号为。【解析】；，故最小正周期；，函数的递增区间为，即，而，；对称中心：，当，所以点为函数的对称中心；，所以

11、函数为奇函数。【例16】（1）【2003天津文21】已知函数是上的偶函数，其图像关于点对称，且在区间上是单调函数。求的值。【解析】函数是上的偶函数，即，又，则；函数关于点对称，函数，；在区间上是单调函数，又，；综上，或，经检验以上两组答案均满足题意。【注】此题为逆向问题，告诉三角函数的相关性质，求解参量。对于此类问题总结如下：已知直接代入；已知奇偶性：已知对称轴对称：关于轴对称或在同一周期内 中心对称：关于点中心对称或在同一周期内 已知周期已知单调特性已知最值或最值分布情况振幅或周期提醒：因为以上结论均非充要条件，故解完此类问题，需代回原函数进行检验。（2）【2008辽宁理16】已知，且在区间

12、有最小值，无最大值，则_。【解析】；因为，且在区间有最小值，无最大值，所以 ，；进一步挖掘函数在区间有最小值，无最大值，有，又因为，所以；综上，。经检验满足题意。板块四反函数【知识要求】1.1定义：若函数的定义域为，值域为，对于中每一个元素在中有唯一确定的元素与之对应，则函数存在反函数，即为，否则不存在反函数。1.2存在反函数的前提条件：一一映射。1.3求反函数的步骤：求值域；反解；互换1.4互为反函数的两函数的性质：奇偶性：原函数奇函数，反函数奇函数；原函数偶函数，反函数一般情况下不存在，但若为单点函数可存在反函数。单调性：原函数在某一区间上的增减性与反函数在对应区间上的增减性一致。原函数与

13、反函数关于直线对称。1.5反三角：反三角公式：，当时，当时，当时，当时，反三角函数的图像和性质名称定 义定义域值 域图 像xy1O5-1反正弦函数y=arcsinx(y=sinx, x-,的反函数)-1,1-,xy1O5-1反余弦函数y=arccosx(y=cosx, x0,的反函数)-1,10,xyO5反正切函数y=arctanx(y=tanx, x(-,)的反函数)(-,+)(-,)【经典例题】【例17】（1）函数的反函数为。【解析】，；，当时，函数的值域为。，则，反函数为，。（2）【1992全国理】函数的反函数为。奇函数，且在单调递减偶函数，且在单调递奇函数，且在单调递增偶函数，且在单调

14、递增【解析】；原函数定义域为关于原点对称，且有，故原函数为奇函数，反函数也为奇函数。函数在单调递增，函数在单调递减，函数在在单调递增，反函数在上也单调递增。（3）【2004全国理15】已知函数是奇函数。当时，设的反函数是，则。【解析】；原函数为奇函数，则反函数也为奇函数，故，令，解得，。【例18】（1）【2008上海第三女子中学高一下期末试题13】已知：，则等于。【解析】；（2）【2008上海南模中学高一下期末试题05】若，则的取值范围是。【解析】；，根据的图像可得。板块五解三角【知识要求】（1）解三角工具1.1解三角问题：、，已知部分量，求解其它量的问题1.2解三角工具，为内切圆半径，正弦定

15、理：，为外接圆半径变形：1）2）适用情况：1）两角一边；2）两边一对角余弦定理：，变形：，适用情况：1）三边；2）两边一夹角三角形内的诱导公式，三角形内的不等关系：1）大边对大角，大角对大边；2）三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；3），；4）锐角三角形任一角的余弦值大于；钝角三角形最大角的余弦值小于；5）；6）在中，给定、的正弦或余弦值，则有解的充要条件为。（2）解三角思想2.1、，个量其中知三，必可求其余量（三角除外）；2.2边角，角边【经典例题】【例19】（1）【2010山东文15理15】在中，角、对应的边分别为、，若，则角的大小为。【解析】；，又，。又，又，或（舍）（2）【2

16、009湖南文14】在锐角中，则的值等于，的取值范围为。【解析】；由正弦定理可得，。又锐角，。（3）在中，下列结论：若，则此三角形为钝角三角形；若，则此三角形为等腰三角形；若，则；，其中正确的个数为。个个个个【解析】；，故此三角形为钝角三角形，正确；，又，故正确；，又，故正确；，即，即，故正确。【例20】（1）【2008浙江文14理13】在中，角、对应的边分别为、，若，则。【解析】；法一：。法二：，则。（2）【2010江苏13】在锐角中，角、对应的边分别为、，若，则的值是。【解析】；，则。【例21】【2010陕西理17】如图，是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于点北偏东，点北偏西的点

17、有一艘轮船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距海里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为海里/小时，该救援船到达点需要多长时间？【解析】，又，（海里），（海里），时间（小时）。答：救援船到达点需要小时。板块六方程【知识要求】（1）“8”字环思想【经典例题】【例22】【2009闸北高一下期末考试】已知函数。（1）求方程的所有解；（2）若方程在范围内有两个不同的解，求实数的取值范围。【解析】（1）由题意，有，得 。 （2）当时，方程有两个不同解，等价于函数与（）的图像有两个不同的交点。由函数的图像性质得。【例23】（1）【2010浙江文09】已知是函数的一个零点。若，则。，【解析】；根据图像可得，

18、当幂函数图像在指数函数图像上方，故；当指数函数图像在幂函数图像上方，故。（2）【2010上海文17】若是方程的解，则属于区间。【解析】；令，则，所以两图像的交点位于之间。板块七数列通论【知识要求】1.1定义1）定义：按照一定次序排列起来的一列数。【注】数列是一个定义域为正整数集（或它的有限子集）的特殊函数。2）通项公式：数列的第项与之间的关系。即，。3）前项和：。前项和也可写成关于的函数，即，。4）递推公式：已知数列的第项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，此公式即为递推公式。【注】通项公式、前项和以及递推公式（包括第项或前几项

19、）都是给出数列的方式。1.2表示1）列举；2）解析（通项、前项和、递推三种形式）；3）图象（孤立的点（离散的点）；1.3分类1）有穷数列、无穷数列；2）递增数列、递减数列、摆动数列、常数列；3）有界数列、无界数列。1.4等差数列定义：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数的数列。即。【注】证明等差数列的两种方法：；。通项公式：，（累加）前项和：，（倒序相加）、中知三求二。1.5等比数列1）定义：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数的数列。即 【注】证明等比数列的两种方法： ；。2）通项公式：，（累乘）3）前项和：，当时，也可写成（错位相减）4）、中知三求二。1.6用函

20、数观点来分析等差、等比1）等差：（一次型函数），（没有常数项的二次型函数）2）等比：（指数型函数），（分段函数，分别为一次型和指数型函数）1.7等差数列性质1）【拓展】2）等差中项：【拓展】当时，有；【注】等差数列，若，则不一定成立。【注】3）衍生等差数列：为等差数列，公差；为等差数列，公差；（其中为间距，为起始项，）为等差数列，即等距项为等差数列，公差；，为等差数列，公差；为等差数列，公差；其它：1）项数为奇数的等差数列，有：，；项数为偶数的等差数列，有：，；2）等差数列中，若，则；等差数列中，若，则；等差数列中，若，则；等差数列中，若，则，；等差数列中，若，则，。1.8等比数列性质1）【拓

21、展】2）等比中项：【拓展】当时，有；【注】等比数列，若，则不一定成立。3）衍生等比数列：对任意非零实数，为等比数列，公比为；为等比数列，公比为；为等比数列，公比为；，依然成等比数列，公比为。【注】若，则，就不成等比数列。【经典例题】【例24】（1）【2008北京理06】已知数列对任意、满足，且，那么等于。【解析】；法一：。法二：令，则，故数列的所有偶数项和奇数项分别成等差数列，所以。（2）数列满足：，若，则数列的第2010项为。【解析】；，。数列的周期为，。【例25】（1）已知，则在数列中最大项为。【解析】；，令，则当时，函数取最小值。而，则当或或其中之一时，取得最小值，所以当或时，有。（2）

22、已知数列中，且是递增数列，则实数的取值范围为。【解析】；法一：是递增数列，对任意的，有，即，令，则，又当时，。法二：，则其图象为抛物线上离散的点。又是递增数列，只要对称轴小于，即。【例26】（1）已知等比数列中，则。【解析】或；（2）已知，成等差数列，成等比数列，则。【解析】；（3）已知数列的通项为，数列的每一项都有，则数列的前项和。【解析】令，所以当时，所以此时；当时，所以此时。综上，（4）【2006北京理07】设，则等于。【解析】；法一：赋值。令，则；法二：；法三：【例27】（1）【2009全国文14理14】设等差数列的前项和为，若，则。【解析】；，。（2）【2009辽宁理06】设等比数列

23、的前项和为，若，则。 【解析】；由等比数列性质：、仍成等比数列，又因为，所以，则。（3）等差数列、的前项和分别为、，且，则。【解析】；等差数列、，则。（4）【2010广东四校联考】等比数列的公比为，其前项的积为，并且满足条件，给出下列结论：；的值是中最大的；使成立的最大自然数等于。其中正确的结论是。【解析】；，即，与同号，即，又且，（可用反证法），故正确；且，则故正确；且，故中最大的是，故错误；，故正确。板块八通项、前项和、递推公式之间的推导【知识要求】数列中的核心问题：1.1通法：（1）公式求和：（2）裂项相消分式：根式：对数：指数：其它：（3）错位相减错位相减用于差比数列（）求和；（4）倒

24、序相加主要用在类似于（与指数相关函数，其中定值）以及组合数问题上；（5）分组求和通项由多成分构成，可单独求和再相加。【注】在选用方法时，可按公式、错位相减、倒序相加、裂项的次序选择。1.2通法：1.3递推关系式、（1）递推关系式的形式递推关系式的三种形式：只含；只含；同时含有和将第三种情况向第一种或第二种转化转化的工具：采用，可以消，也可消。但无论采用哪种都需要分类讨论。方法的选择取决于以下两点：谁比较好消；问题求什么。前者作为主导因素。(2) 递推、累加法遇到；用累加法。累乘法遇到（）；用累乘法。构造熟悉数列公式法1）当时，用累加；当时，采用待定系数法或两边同除以求解。当时，用待定系数法或两

25、边同除以。2）非线性问题）问题，可考虑两边取对数。）或，可考虑取倒数或两边同除以。3）多项递推问题）问题，可考虑采用特征方程，但在高考中试题往往有所提示。）无穷多项递推，可多些一项或少写一项，然后作差或作商。数学归纳法【经典例题】【例28】【2010山东理18】已知等差数列满足：，。的前项和为。（）求及；（）令，求数列的前项和。【解析】（），；，。（），故，即数列的前项和 ，。【例29】【2010全国新课标理17】设数列满足，。（）求数列的通项公式；（）令，求数列的前项和。【解析】（）当时，而，所以数列的通项公式为，。（）由，得，从而由得，所以，。【例30】（1）已知数列的前项和，则此数列的通项公式为。【解析】（2）已知数列的前项和，。求。【解析】当时，；当时，不满足前式。所以综上，【例31】已知数列的前项和为，其中，求。【解析】当时，两边同时除以，可得，所以数列是以为公差的等差数列，首项为，所以，即，则，显然当时，不满足上式。综上，【例32】已知数列中，求。【解析】，当时，则，显然，也满足上式。综上，通项，。【例33】（1）已知数列中