复利计算的数学模型

1、模型之复利计算的数学模型、单利和复利单利利息与本在贷款过程中，本期利息不转入下期本金的计算利息方法称为单利法0 金之比称为利率。以P表示本金，I表示利息，利率记为 R,则有若贷款时间为n期，则单利计算公式为:例150000元存了5个月得利息1400元，单利计算，求月利率解已知I 1400, n5, P50000。从上式解出 R,得14000.0056 0.56%50000 5即月利率为5厘6复利在贷款一期之末结息一次，并将利息转入本金，即该利息与本金一起作为下 一期本金产生利息， 这种计息方法称为复利。记本利和为S, S P I。第2 期末的本利和为一一 一2S P(1 R)，第3期末的本利和

2、为：S P(1 R)3 ,，第n期末的本利和为：S P(1 R)n。贷款n期的利息为：I S P P(1 R)n 1。例2 若本金为700元，年利率为10%,复利计算。为得本利和1240元， 求存期。解 在等式S P(1 R)n两边取常用对数得lgS lgP(1 R)n lgP nlg(1 R),已知 S 1240, R 10%,P 700,从上式解出n,得1g S n 1g P lg1240 lg7001g(1 R)1g1.10.2483 人左6年,0.0414即为得本利和1240兀，需存6年、货币的时间价值(现值和终值)货币用来投资，随着时间的推移会产生收益，从而使货币增值，这就是货 币的

3、时间价值。由于银行利率由经济发展的各种因素综合确定，因此，通常用 银行利率来计算货币的时间价值。 终值和现值是刻画货币时间价值的两个概念。在复利计算公式 S P(1 R)n中，S称为n期末P的终值，表示现在的 P元到n期末将变为P(1 R)n元。反过来，n期末的S元相等于现在的 Q 元，Q和S的关系为S(1 R)nQ称为S的现值例 3公司欲进行厂房投资，厂房价格为万元。据预测，厂房3年后的价格将为27万元，银行年利率为 项投资是否合算。解法一 计算3年后S 27万元的现值,S(1 R)n20.397（万元），273(1 0.098)Q 21万元，即现值低于投资，投资不合算解法二 计算P 21万

4、元3年后的终值S P(1 R)n 21 1.0983 27.799(万元)。万元，即存银行收益率超过房屋投资的收益，该房屋投资是不可行的两种解法的结论一致。三、周期支付和偿还问题按终值计算法：为一固定数额的终值为A,每期的利率为Sn,则有：Sn A(1R)n A(1 R)n 1A(1 R) A(1 R)n (1 R)n 1(1 R)设在每期初支付（或偿还）的金额R ,记第n期末时总共支付（或偿还）的总金利用等比级数求和公式,S A(1 R)(1 SnR)n 1(1 R) 1A(1 R)(1 R)n 1R记第 偿还）SnA(1 R)n 1 A(1 R)n 2A A(1 R)n 1 (1 R)n

5、2(1 R) 1,若支付（或偿还）发生在每期的期末, n期末时总共支付（或偿还）的总金额的终值为 Sn。因为每期的支付（或 都要少记一期的利息，应有利用等比级数求和公式,SA(1 R)n 1A(1 R)n 1n (1 R) 1R 按现值计算法：由于在第n期末数量为 A的货币相当于现值为 一 的货(1 R)n币，把上述相应的终值公式改变后可以得到相应的现值公式。在每期初支付(或偿还)金额为一周定数A,到第n期末时总共支付(或偿还)的总金额的现值记为Qn,则有QnSnA(1 R)(1 R)n 1A(1 R)1 (1 R) n(1 R)nR(1 R) nR在每期末支付(或偿还)金额为一周定数A,至l

6、j n期期末时总共支付(或偿还)的总金额的现值记为Qn,则有Q_S_n (1 R)nA(1 R)n 1A1 (1 R) nR(1 R)n例4商店用分期付款的方式吸引顾客购买电视机。 一种售价为3000元的电视机，若购买时首次付 500元，以后每隔一个月付款一次，每次付款数一样， 一年内付清全部款项，每月应定为付款多少？银行贷款月利率为设为不变。1.2分析和求解 分析 首次付款后的12次付款可以看作发生在期末、付款数相同的12次周期 付款。支付的总金额的现值应该等于首次支付后的货款余额 Q 3000 500 2500元。求解 按上述Qn公式计算，应有-12A1 (1 0.012)2500 -0.

7、012解得 A 224.94 225元，即每月应支付 225元。例5诺贝尔奖金金额A诺贝尔(Alfred Bernhard Nobel-(1833- 1896)把他留下的大部分财产投资于安全证券构成基金，其利息以奖金方式奖给对人类作出了最有益贡献的人。现在诺贝尔奖分为6项：物理学、化学、文学、经济学、生理学和医学以及和平奖。诺贝尔留作基金的总额为 850 万美元，随着物价的上涨，颁发给受奖人的奖金金额正逐步提高。1998年诺贝尔奖每项奖金金额为 98.7万美元。问诺贝尔奖基金的利率是多少？分析和求解分析诺贝尔基金会开始时的投资总额为850万美元，为了增加资金总额应以复利形式投资，才能支付日益增

8、加的奖金金额。为了简化问题，作以下假 设：假设一每年平均复利率不变为L。假设二 每年发放奖金的总额是该年所获利息的一半，另一半利息用于增加基 金资金总额。假设三 1896年记作0年，1897年起作为奖金颁发的第一年，以后每年颁发 奖金一次。由假设三，1998年为第102年。建立模型 设yk表示第k年资金的总额。第k 1年的本金和按利率 L计算 应为yk ykL yk(1 L),其中利息yk L的一半作为第k 1年颁发的奖金， 余下的总金额归入第 k 1年的基金总额 yk1,因而得yk 1(1 L)yk 号2y0 85098.7 6 592.21由1998年（k 102）的奖金数，得 LyQ2k

9、求解可通过叠代法解yk1 L y。有1021 L L 1.39342L f(L)102ln 1 - 2In1.3934L1.3934InL102L 2(ez 1)L 0.0620我们用编写下面Matlab程序来求方程102I 1 -1.393420的根。方法一：用for循环（缺点是循环次数自己要先估计）clearformat shortyy(1)=0.95for i=1:50z=Iog(1.3934/yy(i)/102;yy(i+1)=2*(exp(z)-1);if abs(yy(i+1)-yy(i)=0.000001i=i+1;z=log(1.3934/yy(i)/102;yy(i+1)=2

10、*(exp(z)-1);endyyy=yy(i+1);yyy验证利用求得的可算出各年份的诺贝尔奖的金额，这样的计算结果与实际基本相符合。以下程序可再现 P28页的表格：clearformat short gyyy =0.0620year=zeros(102,1);bj=zeros(102,1);jj=zeros(102,1);year(1)=1896;bj(1)=850;for i=1:102year(i+1)=year(i)+ 1;bj(i+1)=(1+yyy)*bj(i)-yyy/2*bj(i);jj(i+1)=yyy/2*bj(i+1)/6;endyear,bj,jj年份口资金总额估计值

11、（万美兀）二|每项诺贝尔奖的金额（万美兀）1960599331.01970813242.019801103357.019901497177.319981911098.7200020339105.1201027600142.6201229338151.6注：2012年诺贝尔奖每项奖金为1000万瑞典克朗（包括我国莫言的文学奖：约 合937万人民币，约合148万美元，非常接近表格内的数字）。例6房屋贷款偿还问题为了促进个人住房商品化的进程，我国1999年元月公布了个人住房公积金贷款利率如下表所示。贷款期限（年数）公积金贷款月利率（%）13.5423.6333.7243.7853.8763.9674

12、.0584.1494.2075104.275114.365124.455134.545144.635154.725王先生家要购买一套商品房，需要贷款公积金贷款10万元，分12年还清，贷款按月等额偿还。问：王先生每月应还款多少？ 用列表方式给出每年年底王先生尚欠的款项。分析和求解假设假设一 王先生有足够的支付能力，可以及时按月等额偿还；假设二 在还款期间贷款利率不变。建立模型以yk表示第k个月王先生尚欠的公积金金额(公积金贷款余额)，每月的还 款数记为B。第k 1个月王先生的公积金贷款余额 ye与第k个月的公积 金贷款余额yk的关系为yk i (1 L)yk Bo(1)每月的公积金 还款数可以按

13、周期性还款公式计算。公积金 贷款总额y 100000元，月利率Li 0.004455,还款次数 n 12 12 144,还款可视 为发生在每期期末。由还款现值公式，应有B1 (1 L)144 y0;，解彳3 B 1y0 144 942.34。(1 L1)求解 方程(1)是一个差分方程，求解简单差分方程的一般方法可参考教材的第十 四章，这里可用迭代法归纳出解为yk (1 L1)ky0 9户1b。完全类似地可以计算出王先生的 商业贷款余额(书P31):Zk (1 LzM (C。L2由此可计算出王先生各月的公积金贷款余额如教材中第32页的表格第二列所示。完全类似地可计算出王先生各月的商业贷款余额如教

14、材中第 32页的表格第三列 所示。我们可以用Matlab编程求解本问题，程序如下：clearformat short gyy1=0.004455; yy2=0.005025;B=942.34; C=1268.20;y0=100000; z0=150000;yr=zeros(15,1);y=zeros(15,1);z=zeros(15,1);fo门=1:15k=12*i;yr(i)=i；y(i)=(i+yyi)Ak*yo-(i+yyi)Ak-i)/yyi*B；if y(i)10y(i)=0;endz(i)=(1+yy2)Ak*z0-(1+yy2)Ak-1)/yy2*C;if z(i)10z(i)=0；endendyr,y,z,y+z卜面是上述程序执行的结果，可以看到它与教材中第32页的表格十分吻合:第几年公积金贷款余额商业贷款余额总的贷款余额1938901.4365e+0052.3754e+0052874451.3691e+0052.2436e+0053806461.2975e+0052.104e+00