《数学物理方法》第十二章---积分变换法课件(126页PPT)

1、 耐心+坚持+努力 成功第1页，共126页。第十二章 积分变换法 积分变换法是物理学与其他应用科学中求解数学物理方程的一种重要方法， 它适用于求解无界区域及半无界区域的定解问题。第2页，共126页。积分变换法是 通过对数理方程的积分变换，减少自变量的个数，直至化为常微分方程，使求解问题大为简化。此外，积分变换法还可以用来计算定积分，求解常微分方程和积分方程本章介绍应用最广的傅里叶变换法及拉普拉斯变换法。3第3页，共126页。12. 1 傅里叶变换本节介绍傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换和傅里叶变换的性质。第4页，共126页。12.1.1 傅里叶级数和复数形式的傅里叶级数1.傅里叶级数一个以

2、2l 为周期的函数f (x)，若在区间-l, l上满足狄利克雷条件（即连续或有有限个第一类间断点，并只有有限个极大值和极小值），则在-l, l 上可展开为傅里叶级数5第5页，共126页。2.复数形式的傅里叶级数它可由式(12.1.1)导出，为此令kn=np/l,则6第6页，共126页。用e-iknx乘上式两边，再对x从-l到l积分, 利用进行求和之后，将所得公式的哑指标m全部改用n表示，即得展开系数7第7页，共126页。12.1.2 傅里叶积分1. 傅里叶积分和傅里叶积分定理周期函数的性质是f(x+2l)=f(x), x每增大2l，函数值就有一次重复; 非周期函数没有这个性质，但可认为它是周期

3、2l 的“周期函数”，从而可以由式 (12.1.4)和式(12.1.6)出发，利用l , 把符合一定条件的非周期函数展开为傅里叶积分8第8页，共126页。可以证明，如果定义在(-,)的函数f(x) ,在任一有限区间上满足狄利克雷条件，且绝 对可积 = 有界 ，则在 f(x) 的连续点处，傅里叶积分存在在f(x)的第一类间断点处，积分等于 这称为傅里叶积分定理9第9页，共126页。现在将傅里叶级数过渡到傅里叶积分由于l , 相邻两kn，值之差为将式(12.1.6)与式(12.1.8)代入式(12.1.4)，得后式利用了定积分的定义，上式就是傅里叶积分式(12.1.7).Cn1/l10第10页，共

4、126页。2. 三维形式的傅里叶积分现在，将傅里叶积分由一维推广到三维则式(12.1.9)可写成 采用矢量记号11第11页，共126页。3. 傅里叶积分的三角形式由式(12.1.7)出发，交换积分次序，并利用欧拉公式可得 被积函数的正弦项是k的奇函数，对k的积分为零；余弦项是k的偶函数，为(0,)积分值的2倍。故12第12页，共126页。13第13页，共126页。12.1.3 傅里叶变换1.傅里叶变换的定义在傅里叶积分公式(12.1.7)中，令这表明 f(x)与 是互相对应的： f(x) 描述的物理问题，也可以等效地用 来描述14第14页，共126页。从数学上讲，函数f(x)与 的关系就是一个

5、积分变换的关系我们称 为f(x)的傅里叶变换，记作 = Ff(x)，即称f(x)是 的傅里叶逆变换，这个运算称为反演，记作 ，即通常还把 称为f(x)的像函数，把 f(x) 称为 的像原函数 15第15页，共126页。由式(12.1.16)和式(12.1.17)可得， f(x)的傅里叶变换的逆变换等于f(x)的自身，即 在量子力学中，粒子的状态是用波函数来描述的以粒子动量为自变量的波函数c(p, t)就是以粒子坐标为自变量的波函数c(x, t)的傅里叶变换。16第16页，共126页。2.傅里叶的正弦变换和余弦变换若f(x)为奇函数，记作fs(x) ，代入式(12.1.12)和式(12.1.13

6、)，由被积函数的奇偶性易见A(k)=0，将B(k)记作 。 将结果代入式(12.1.11)，并采用记号上两式称为傅里叶正弦变换及其逆变换17第17页，共126页。2.傅里叶的正弦变换和余弦变换若f(x)为偶函数，记作fC(x) ，代入式(12.1.12)和式(12.1.13)，由被积函数的奇偶性易见B(k)=0，将A(k)记作 。 将结果代入式(12.1.11)，并采用记号上两式称为傅里叶余弦变换及其逆变换18第18页，共126页。3. 三维傅里叶变换正如由式(12.1.7)可以得到式(12.1.14)，式(12.1.15)一样，由式(12.1.10)可得19第19页，共126页。【例12.1

7、.1】求 的傅里叶变换解 20第20页，共126页。【例12.1.2】求f(x)=exp2ax2 的傅里叶变换，其中a为正数解 由傅里叶变换的定义出发，并利用4.2节例4.2.7 的结果，便有21第21页，共126页。【例12.1.3】求单位阶跃函数H(x-a) = 的傅里叶变换(a0)解 由定义由于积分不收敛, 故单位阶跃函数的傅里叶变换不存在. 为改善其收敛性质, 考虑函数(b0)22第22页，共126页。【例12.1.4 】试证明解 题设的积分不易直接计算。考虑到 是奇函数， 由傅里叶正弦变换的定义可见，只要证明 , 也即证明e-k满足傅里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)则本题得证2

8、3第23页，共126页。实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练习24第24页，共126页。4. d函数的傅里叶展开d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分证明 令f(x)=d (x-x)代入式(12.1.14), 得将上式代入式(12.1.15) 即有(12.1.25b)25第25页，共126页。利用欧拉公式及奇函数的积分性质，可得式(12.1.25a)的三维形式为 这几个d公式(12.1.25)和 (12.1.26)在量子力学中有着广泛的应用26第26页，共126页。12.1.4 傅里叶变换的性质假定下面需要取傅里叶变换的函数，均满足傅里叶变换的条件27第27页，共126页。1.

9、线性定理若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及f2(x) ，有28第28页，共126页。证明 由定义出发 29第29页，共126页。 2.延迟定理设x0为任意常数，则 证明由定义出发，令u=x-x0可得 由式(12.1.16)可见,Ff(x)仅为k的函数，与x无关(x是定积分的积分变量)故 Ff(u)=Ff(x) (12.1.30)30第30页，共126页。 3.位移定理设ko为任意常数，则(见习题12.1.9)31第31页，共126页。 4.相似定理设a为不等于零的常数，则证明 令u=ax，分别讨论a0与a0两种情形注意当a 0)若s足够大，函数 f1(t) 的傅里叶变换就有可能

10、存在(见拉氏变换存在定理)，于是它的傅里叶逆变换为 73第73页，共126页。作变量变换 p = s+iw (12.3.4) 定义函数 为f1(t) 的傅里叶变换将式(12.3.5)，式(12.3.4)代入式(12.3.2)在0,内，fl(t)e-s t f(t) ，将式(12.3.1)、式(12.3.4)、式(12.3.5)代入式74第74页，共126页。两边乘 e-s t 这样，式(12.3.6 )与式(12.3.7)构成一对新的积分变换，并称 为 f(t) 的拉氏变换，记作式(12.3.7) 称为梅林(Mellin)反演公式，亦即 的拉氏逆变换，记作 称 为f(t)的像函数, f(t)为

11、 的像原函数75第75页，共126页。12.3.2 拉氏变换的存在定理若函数f(t)满足下述条件(1) 当ts0上存在且解析图12.376第76页，共126页。证明 (1) 证明 存在。由所以积分式(12.3.6)绝对收敛，且 在右半平面Re p = ss0存在.(2) 证明 解析。在式(12.3.12)的积分号内对p求偏导，并取 (s1为任意实常数)，则有(12.3.12)77第77页，共126页。这表明 在半平面Re p = ss0上一致收敛，交换积分与微商的次序，得既然 的导数在Re p = ss0上存在且有限，故 在Re p = ss0内解析.78第78页，共126页。12.3.3 常

12、用函数的拉氏变换(1) 若f(t)Ceat (a为复数)，则(12.3.13) (2) 若f(t)sinbt 或 cosbt (b为复数)，则(12.3.14) (12.3.15) 79第79页，共126页。(3) 若 f(t) = tb (Reb -1)，则分别令b =-1/2 及b =n (式中n=0,1,2,), 则Rep 0 (12.3.16)80第80页，共126页。其他函数的拉氏变换可以通过上述函数的拉氏变换及拉氏变换的性质求得，也可直接由定义出发计算，还可直接查阅拉氏变换表(表12-1).表 12-181第81页，共126页。表 12-1 续82第82页，共126页。12.3.4

13、 拉氏变换的性质假定取拉氏变换的函数，均满足拉氏变换的条件(见拉氏变换的存在定理) 1. 线性定理若al、 a2为任意常数，则(12.3.20) (12.3.19) 83第83页，共126页。证明 只证明式(12.3.19)，第二式的证明留作练习. 由定义出发 84第84页，共126页。【例12.3.1】求Lshat和Lchat的值. 解 85第85页，共126页。2.延迟定理设 t 为非负实数，则Lf(t-t) = e-pt Lf(t) (12.3.21)证明 由定义出发u = t-t , 可得利用us0是一致收敛的，上面交换积分次序是“合法的 ”94第94页，共126页。 9.卷积定理L

14、f1(t)f2(t) = L f1(t)L f2(t) (12.3.31)证明 由卷积及拉氏变换的定义出发，交换积分次序，作变量代换 u = t-t ，可得95第95页，共126页。下限可写成零，将exp(-pt)提出积分号外，有计算 对上式作逆变换，即有由于当u0时f(u)=0 的积分96第96页，共126页。根据梅林定理导出拉普拉斯变换普遍的反演公式-展开定理10.展开定理展开定理若当 一致地趋于零， 且 只有有限个孤立奇点bk( k =1,2,)，则97第97页，共126页。证明 梅林公式为梅林公式的积分路线是p平面上与虚轴平行的直线 l (图12.4)为了运用留数定理进行计算，选择一条

15、闭合回路L：以坐标原点为圆心, R为半径作一圆弧CR，使CR与L构成一闭合回路L = CR + l98第98页，共126页。仿照若当引理，可以证明回路L由 l +CR构成，由上式及留数定理可得式中bk为 在p平面上有限远处的全部奇点。拉普拉斯变换的存在定理指出， 在直线L的右侧解析99第99页，共126页。【例12.3.4】已知 解 首先将 之积，其中 由式(12.3.13)得 其拉氏逆变换为100第100页，共126页。由例12.3.3得其拉氏逆变换为 差一个因子p，利用微分定理于g(t) =te-b t ,便有其拉氏逆变换为101第101页，共126页。将式(12.3.33)及式(12.3

16、.35)代入卷积定理对上式作拉氏逆变换，因为已假设作拉氏变换的函数满足存在定理的条件(1)，即函数的宗量小于零时, 该函数为零.由t-t0及t0得t 的积分区域为0到 t102第102页，共126页。据此得最后的等式是利用分部积分法求得的.103第103页，共126页。【例12.3.5】求解常微分方程的初值问题(1)对初值问题作拉氏变换.利用微分定理及初始条件可得 (2)求解像函数 解上述代数方程，得 104第104页，共126页。(3) 对像函数作拉氏逆变换.利用卷积定理可得由例12.3.1得 C0ch(at) 及 C0/ach(at) 105第105页，共126页。将以上三式代入式(12.

17、3.36)，得106第106页，共126页。【例12.3.6】已知解 f(p)为多值函数，支点为-1到。从-1到-沿负实轴作割线，规定割线上岸 (p+1)的辐角值为p，割线下岸辐角为-p：选择积分回路L如图12.5所示.试利用展开定理，求 f(t).107第107页，共126页。对于圆弧Ce上的p，有|p+1|=e由小圆弧引理得由 在回路L内部解析, 故回路积分为零108第108页，共126页。根据梅林公式及留数定理得109第109页，共126页。作变量代换u=x2，利用欧拉积分 110第110页，共126页。作业- 12.3 第271页1组2组3组12.3.412.3.612.3.712.3

18、.212.3.612.3.712.3.312.3.612.3.7111第111页，共126页。12.4 拉普拉斯变换法本节应用拉氏变换求解波动方程与热传导方程的定解问题.无论方程与边界条件是否为齐次，其求解步骤均为：对方程及边界条件作拉氏变换；求解象函数，对象函数作拉氏逆变换得解.第112页，共126页。采用拉氏变换法求解定解问题时, 往往是针对时间变量t进行的, 特别是对带有边界条件的定解问题.在解题时，采用简写记号 113第113页，共126页。12.4.1 波动方程的定解问题【例 12.4.1】求解半无界波动方程的混合问题解 1. 对方程和边界条件作关于t 的拉氏变换.由拉氏变换的定义、微分定理及初始条件可得带参数 p 的常微分方程的边值问题114第114页，共126页。2. 求解象函数u(x,p)方程 (12.4.4)的通解是相应的齐次方程的通解与(12.4.4)式的特解之和, 即 将式(12.4.6)代入式(12.4.5), 得C10, C2 代入上式，便有115第115页，共126页。 (3) 对像函数作拉氏逆变换. 利用12.3节的式(12.3.18)及延迟定理 其中，