冀教版九年级数学下册第30章二次函数PPT课件(2)

1、30.4 二次函数的应用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（JJ） 教学课件第1课时 抛物线形问题第三十章 二次函数学习目标1.掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题(重点)2.利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题(重、难点)导入新课问题引入 如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是4.9米，水面宽是4米时，拱顶离水面2米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化你能想出办法来吗？讲授新课利用二次函数解决实物抛物线形问题一建立函数模型这是什么样的函数呢？ 拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数你能想出办法来吗？合作探究怎样建立直角坐标系比较

2、简单呢？以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y轴，建立直角坐标系，如图从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？由于顶点坐标系是（0.0），因此这个二次函数的形式为xOy-2-421-2-1A如何确定a是多少？已知水面宽4米时，拱顶离水面高2米，因此点A（2，-2）在抛物线上，由此得出因此， ，其中 x是水面宽度的一半，y是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化解得由于拱桥的跨度为4.9米，因此自变量x的取值范围是：水面宽3m时 从而因此拱顶离水面高1.125m现在你能求出水面宽3米时，拱顶离水面高多少米吗？知识要点建立二次函数模型解决实际问题

3、的基本步骤是什么？实际问题建立二次函数模型利用二次函数的图象和性质求解实际问题的解例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？典例精析解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A点坐标为(0，1.25)，顶点B坐标为(1，2.25).数学化B(1,2.25) (0,1.25)CDoAxy 根据对称性，如果不计其它因

4、素，那么水池的半径至少要2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外. 当y=0时,可求得点C的坐标为(2.5,0) ;同理，点 D的坐标为(-2.5,0) . 设抛物线为y=a(x+h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y= (x-1)2+2.25.B(1,2.25) (0,1.25)DoAxyC利用二次函数解决运动中抛物线型问题二例2：如图，一名运动员在距离篮球圈中心4m（水平距离）远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为2.5m时，篮球达到最大高度，且最大高度为3.5m，如果篮圈中心距离地面3.05m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少米？解：

5、如图，建立直角坐标系.则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的位置为B（0，3.5）.以点C表示运动员投篮球的出手处.xyO解得 a=0.2， k=3.5，设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ，即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有所以该抛物线的表达式为y=0.2x2+3.5.当 x=2.5时，y=2.25 .故该运动员出手时的高度为2.25m. 2.25a+k=3.05， k=3.5，xyO拱桥问题三问题1 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m时，水面宽 4m . 水面下降 1m，水面宽度增加多少？互动探究（1）求宽度增加多少需要什么数据？

6、（2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？（3）如何求这组数据？需要先求什么？（4）图中还知道什么？（5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？想一想问题2 如何建立直角坐标系？l问题3 解决本题的关键是什么？ yxo解：如图建立直角坐标系.解：建立合适的直角坐标系.lyxo解：如图建立直角坐标系.根据题意可设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2+2.该抛物线过(2,0),0=4a+2，a=水面下降1m，即当y=-1时，水面宽度增加了 米. 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；OACDByx20 mh

7、解：设该拱桥形成的抛物线的解析式为y=ax2.该抛物线过(10,-4),-4=100a，a=-0.04y=-0.04x2.练一练利用二次函数解决实物抛物线形问题四例3 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?xyO-3(-2,-2) (2,-2)4米当 时，所以，水面下降1m，水面的宽度为 m.所以水面的宽度增加了 m.解：建立如图所示坐标系,由抛物线经过点（2，-2），可得所以，这条抛物线的解析式为当水面下降1m时，水面的纵坐标为-3xyO(-2,-2) (2,-2)设

8、二次函数解析式为xyxy 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?4 m4 m请同学们分别求出对应的函数解析式.OO解：设y=-ax2+2将（-2,0）代入得a= y= +2；设y=-a（x-2）2+2将（0,0）代入得a= y= +2；当堂练习1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h=-4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s后落地.42.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）关于水平距离x(米）的函

9、数解析式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.xyO23.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O点恰在水面中心，OA=1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？OA1.25米OBCA解：如图建立坐标系，设抛物线顶点 为B，水流落水与x轴交于C点. 由题意可知A（ 0，1.25）、 B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）. xy设抛物线为y=a(x1)2+2.2

10、5 (a0), 点A坐标代入，得a= 1；当y= 0时， x= 0.5（舍去）， x=2.5水池的半径至少要2.5米.抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 1.25课堂小结实际问题数学模型 转化回归（二次函数的图像和性质）拱桥问题运动中的抛物线问题（实物中的抛物线形问题）转化的关键建立恰当的直角坐标系能够将实际距离准确的转化为点的坐标；选择运算简便的方法.30.4 二次函数的应用导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（JJ） 教学课件 第2课时 实际问题中二次函数的最值问题第三十章 二次函数学习目标1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）2. 能应用二次函数的性质解决图形中最

11、大面积问题.（重点)3.能应用二次函数的性质解决商品销售过程中的最大利润问题.（重点）4.弄清商品销售问题中的数量关系及确定自变量的取值范围. （难点）导入新课情境引入思考：在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的实际问题.解决生活中面积的实际问题时，你会用到了什么知识？商品买卖过程中，作为商家追求利润最大化是永恒的追求.那怎么获取最大利润呢？引例：用长为6米的铝合金材料做一个形状如图所示的矩形窗框.窗框的高于宽各位多少时，它的透光面积最大？最大透光面积是多少？（铝合金型材宽度不计）x解：设矩形窗框的宽为x m，则高为 m.这里应有x0，故0 x2.矩形窗框的透光面积y与x之间的函数关系式

12、是：几何图形的最大面积一讲授新课即配方得所以，当x=1时，函数取得最大值，最大值y=1.5.x=1满足0 x2，这时因此，所做矩形窗框的宽为1 m、高为1.5 m时，它的透光面积最大，最大面积是1.5 m2.例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？问题1 矩形面积公式是什么？典例精析问题2 如何用l表示另一边？问题3 面积S的函数关系式是什么？例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？解:根据题意得S=l(30-l),即 S=-l2+30l (0l30).因

13、此，当 时， S有最大值 也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.51015202530100200lsO变式1 如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题2 我们可以设面积为S，如何设自变量？问题3 面积S的函数关系式是什么？问题4 如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？问题5 如何求最值？最值在顶点处，即当x=15m时，S=450m2.问题1 变式1与例1有什么不同？设垂直于墙的边长为x米，Sx(602x)2x260 x.0602x32，即14x30.变式2 如图，

14、用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？xx60-2x问题1 变式2与变式1有什么异同？问题2 可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？问题3 可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边？设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则问题4 当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？问题5 如何求自变量的取值范围？0 x 18.问题6 如何求最值？由于30 18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378. 不正确.变式3 用总长度为24m的不锈钢材料制成如图所示的外观为矩形的框架，其横档

15、和竖档分别与AD，AB平行.设AB=x m,当x为多少是，矩形框架ABCD的面积最大，最大面积是多少？解： 当x=3时，S有最大值，且S最大=12m2.ADBC 实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.方法总结知识要点二次函数解决几何面积最值问题的方法1.求出函数解析式和自变量的取值范围；2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内. 利润最大问题二 某商品现在

16、的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 元，销售利润 元.探究交流180006000数量关系（1）销售额= 售价销售量;（2）利润= 销售额-总成本=单件利润销售量;（3）单件利润=售价-进价. 例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？涨价销售每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售涨价销售2030020+x300-10 xy=(20+x)(

17、300-10 x)建立函数关系式：y=(20+x)(300-10 x),即：y=-10 x2+100 x+6000.6000自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故300-10 x 0，且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 30.涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？y=-10 x2+100 x+6000，当 时,y=-1052+1005+6000=6250. 即定价65元时，最大利润是6250元.降价销售每件降价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：单件利润（元）销售量（件）每星期利润（元）正常销售降价销售2030020-x300+18x

18、y=(20-x)(300+18x)建立函数关系式：y=(20-x)(300+18x)，即：y=-18x2+60 x+6000. 例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？6000综合可知，应定价65元时，才能使利润最大。 自变量x的取值范围如何确定？营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故20-x 0，且x 0,因此自变量的取值范围是0 x 20.涨价多少元时，利润最大，是多少？当 时, 即定价57.5元时，最大利润是6050元

19、.即：y=-18x2+60 x+6000，由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价能使利润最大了吗?知识要点求解最大利润问题的一般步骤（1）建立利润与价格之间的函数关系式：运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润销售量”（2）结合实际意义，确定自变量的取值范围；（3）在自变量的取值范围内确定最大利润：可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图，利用简图和性质求出.w=12+2(x1)804(x1) =(10+2x)(844x) =8x2+128x+840 =8(x8)2+1352. 例3 一工艺师生产的某种产品按质量分为9个档次.第1档次（最低档次）的产品

20、一天能生产80件，每件可获利润12元.产品每提高一个档次，每件产品的利润增加2元，但一天产量减少4件.如果只从生产利润这一角度考虑，他生产哪个档次的产品，可获得最大利润？解：设生产x档次的产品时，每天所获得的利润为w元，则当x=8时，w有最大值，且w最大=1352.答：该工艺师生产第8档次产品，可使利润最大，最大利润为1352.1.如图1，用长8m的铝合金条制成如图的矩形窗框,那么最大的透光面积是 .2.如图2，在ABC中， B=90 ,AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A开始沿AB向B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始BC以4cm/s的速度移动（不与点C重合）.

21、如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过 秒，四边形APQC的面积最小.图1ABCPQ图23当堂练习3. 某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费用每平方米1000元，设矩形的一边长为x(m),面积为S(m2). (1)写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.解:(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x),S=x(6-x)=-x2+6x,其中0 x6.(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9;当x=3时，即矩形的一边长为3m时， 矩形面积最大，为9m2.这时设计费最多，为91000=9000（元）4.某种

22、商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（20 x 30)出售，可卖出（30020 x）件，使利润最大，则每件售价应定为 元.255.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简）. y=2000-5(x-100)w=2000-5(x-100)(x-80)y=(160+10 x)(120-6x)6. 某旅馆有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满经市场调查，如果一间客房

23、日租金每增加10元，则客房每天少出租6间，不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？解：设每间客房的日租金提高10 x元，则每天客房出租数会减少6x间，则当x=2时，y有最大值，且y最大=19440.答：每间客房的日租金提高到180元时，客房日租金的总收入最高，最大收入为19440.=60(x2)2+19440.x0，且1206x0，0 x20.这时每间客房的日租金为160+102=180(元).7. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利

24、润是多少元？（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于16元？xy516O7解：(1)由题中条件可求y=-x2+20 x-75-10,对称轴x=10,当x=10时，y值最大，最大值为25.即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；(2)由对称性知y=16时，x=7和13.故销售单价在7 x 13时，利润不低于16元.课堂小结几何面积最值问题一个关键一个注意建立函数关系式常见几何图形的面积公式依 据最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定课堂小结最大利润问题建立函数关系式总利润=单件利润销售量或总利润=总售价-总成本.确定自变量取值范围涨价:要保证销售量0；降件：要保证单

25、件利润0.确定最大利润利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出.导入新课讲授新课当堂练习课堂小结九年级数学下（JJ） 教学课件30.4 二次函数的应用 第3课时 将二次函数问题转化为一元 二次方程问题第三十章 二次函数学习目标1.根据题意求出二次函数；(重点）2.根据给定的函数值，将二次函数转化为一元二次方程求解；(重点）3.根据给定的函数值的范围，将二次函数转化为一元二次不等式或不等式组求解.(难点）导入新课情境引入问题 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间

26、具有关系： h=20t-5t2，考虑以下问题：讲授新课二次函数与一元二次方程的关系一（1）球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？Oht1513当球飞行1s或3s时，它的高度为15m.解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3.你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？h=20t-5t2（2）球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？Oht204解方程：20=20t-5t2,t2-4t+4=0,t1=t2=2.当球飞行2秒时，它的高度为20米.h=20t-5t2（3）球的

27、飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？Oht你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度?20.5解方程：20.5=20t-5t2,t2-4t+4.1=0,因为(-4)2-4 4.1 0有一个交点有两个相等的实数根b2-4ac = 0没有交点没有实数根b2-4ac 0二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系例1：已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0)(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值(1)证明：m0，(m2)24m2m24m48m(m

28、2)2.(m2)20，0，此抛物线与x轴总有两个交点；(2)解：令y0，则(x1)(mx2)0，所以 x10或mx20，解得 x11，x2 .当m为正整数1或2时，x2为整数，即抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数所以正整数m的值为1或2.例1：已知关于x的二次函数ymx2(m2)x2(m0)(1)求证：此抛物线与x轴总有两个交点；(2)若此抛物线与x轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数m的值变式：已知：抛物线yx2axa2.(1)求证：不论a取何值时，抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点；(2)设这个二次函数的图象与x轴相交于A(x1，0)，B(x2，0)，且

29、x1、x2的平方和为3，求a的值(1)证明：a24(a2)(a2)240，不论a取何值时，抛物线yx2axa2与x轴都有两个不同的交点；(2)解：x1x2a，x1x2a2，x1(2)x2(2)(x1x2)22x1x2a22a43，a1.例2：求一元二次方程 的根的近似值（精确到0.1）. 分析：一元二次方程 x-2x-1=0 的根就是抛物线 y=x-2x-1 与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.利用二次函数求一元二次方程的近似解二解：画出函数 y=x-2x-1 的图象（如下图），由图象可知，方程有两个实数根，一个在-1与0之间,另一个在2与3之间. 先求位于-1到0之间的根，由图象可估计这个根是-0.4或-0.5，利用计算器进行探索，见下表：x-0.4-0.5y-0.040.25观察上表可以发现，当x分别取-0.4和-0.5时，对应的y由负变正，可见在-0.5与-0.4之间肯定有一个x使y=0，即有y=x2-2x-1的一个根，题目只要求精确到0.1，这时取x=-0.4或x=-0.5都符合要求.但当x=-0.4时更为接近0.故x1-0.4.同理可得另一近似值为x22.4.一元二次方程的图象解法利用二次函数的图象