模型21 旋转型相似模型

1、专题21 旋转型相似模型一、单选题 1如图，正方形中，点是边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连接以下四个结论：；其中正确的个数为（ ）A个B个C个D个【答案】D【分析】四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，EAB、GAD与BAG的和均为90，即可证明EAB与GAD相等；由题意易得AD=DC，AG=FG，进而可得，DAG=CAF，然后问题可证；由四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，可求证HAFFAC，则有，然后根据等量关系可求解；由及题意知ADG=ACF=45，则问题可求证【详解】解：四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形EAG=BAD=90又EAB=9

2、0-BAG，GAD=90-BAGEAB=GAD正确四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形AD=DC，AG=FGAC=AD，AF=AG，即又DAG+GAC=FAC+GACDAG=CAF正确四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线AFH=ACF=45又FAH=CAFHAFFAC即又AF=AE正确由知又四边形ABCD为正方形， AC为对角线ADG=ACF=45DG在正方形另外一条对角线上DGAC正确故选：D【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质综合运用，同时利用到正方形相关性质，解题关键在于找到需要的相似三角形进而证明二、解答题2如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方

3、形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M（1）求证：MFCMCA；（2）求证ACFABE；（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【分析】（1）由正方形的性质得，进而根据对顶角的性质得，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的性质得，再证明其夹角相等，便可证明；（3）由已知条件求得正方形的边长，进而由勾股定理求得的长度，再由，求得，进而求得正方形的对角线长，便可求得其边长【详解】解：（1）四边形是正方形，四边形是正方形，；（2）四边形是正方形，同理可得，；（3），即，即正方形的边长为【点睛】本题主

4、要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是掌握相似模型及证明方法和正方形性质3如图，在中，AC8=90，BAC=a，点D在边AC上（不与点A、C重合）连接BD，点K为线段BD的中点，过点D作于点E，连结CK，EK，CE，将ADE绕点A顺时针旋转一定的角度（旋转角小于90度)(1)如图1若a=45，则的形状为_；(2)在（1)的条件下，若将图1中的三角形ADE绕点A旋转，使得D，E，B三点共线，点K为线段BD的中点，如图2所示，求证：；(3)若三角形ADE绕点A旋转至图3位置时，使得D，E，B三点共线，点K仍为线段BD的中点，请你直接写出BE，AE，CK三者之间的数量关系（用

5、含a的三角函数表示） 【答案】（1）等腰直角三角形；（2）见解析；（3）BE-AE=2CK；【分析】（1）利用直角三角形斜边中线的性质及等腰直角三角形的性质证明EK=KC，EKC =90即可；（2）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q，结合等腰直角三角形的性质利用SAS可证AECBGC，由全等三角形对应边、对应角相等的性质易证ECG是等腰直角三角形，由直角三角形斜边中线的性质可得CK=EK=KG，等量代换可得结论.（3）在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于Q，根据等角的余角相等可得CAE=CBG，由tan的表示可得，易证CAECBG，由直角三角形斜边中线的性质等量代换

6、可得结论.【详解】（1）等腰直角三角形；理由：如图1中，A=45，ACB=90，A=CBA=45，CA=CB，DEAB，DEB=90，DK=KB，EK=KB=DK= BD，KEB=KBE，EKD=KBE+KEB=2KBE，DCB=90，DK=KB，CK=KB=KD= BD，KCB=KBC，EK=KC，DKC=KBC+KCB=2KBC，EKC=EKD+DKC=2（KBE+KBC）=2ABC=90，ECK是等腰直角三角形（2）证明：如图2中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BF于Q=45，DEAE，AED=90，DAE=45，ADE是等腰直角三角形，DE=AE=BG，1+3=2+4=90

7、，1=2，3=4，AC=BC，AECBGC（SAS），CE=CG，5=BCG，ECG=ACB=90，ECG是等腰直角三角形，KD=KB，DE=BG，KE=KG，CK=EK=KG，BEAE= BEBG=EG=EKKG =2CK（3）解：结论：BE-AEtan=2CK理由：如图3中，在BD上截取BG=DE，连接CG，设AC交BE于QDEAE，ACB=90，CAE+EQA=90,CBG+CQB=90EQA=CQB，CAE=CBG，在RtACB中，tan=，在RtADE中，tan= ， DE=AEtanCAECBG，ACE=BCG，ECG=ACB=90，KD=KB，DE=BG，KE=KG，EG=2CK

8、，BEBG=EG=2CK，BEDE=2CK，BEAEtan=2CK【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数等，灵活的利用等腰直角三角形的判定和性质是解题的关键.4（问题发现）（1）如图1，在RtABC中，ABAC，D为BC边上一点（不与点B、C重合）将线段AD绕点A顺时针旋转90得到AE，连结EC，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；（探究证明）（2）如图2，在RtABC和RtADE中，ABAC，ADAE，将ADE绕点A旋转，当点C，D，E在同一直线时，BD与CE具有怎样的位置关系，并说明理由；（拓展延伸）（3）如图3

9、，在RtBCD中，BCD90，BC2CD4，将ACD绕顺时针旋转，点C对应点E，设旋转角CAE为（0360），当点C，D，E在同一直线时，画出图形，并求出线段BE的长度【答案】（1）BDCE，BDCE；（2）BDCE，理由见解析；（3）画出图形见解析，线段BE的长度为【分析】（1）由题意易得AD=AE，CAE=BAD，从而可证ABDACE，然后根据三角形全等的性质可求解；（2）连接BD，由题意易得BAD=CAE，进而可证BADCAE，最后根据三角形全等的性质及角的等量关系可求证；（3）如图，过A作AFEC，由题意可知RtABCRtAED，BACEAD90，然后根据相似三角形的性质及题意易证BA

10、ECAD，最后根据勾股定理及等积法进行求解即可【详解】解：（1）在RtABC中，ABAC，BACB45，BACDAE90，BACDACDAEDAC，即BADCAE，在BAD和CAE中，BADCAE（SAS），BDCE，BACE45，ACB45，BCE45+4590，故答案为：BDCE，BDCE；（2）BDCE，理由：如图2，连接BD，在RtABC和RtADE中，ABAC，ADAE，AEC45，CABDAE90，BADCAE，ACAB，AEAD，CEABDA（SAS），BDAAEC45，BDEADB+ADE90，BDCE；（3）如图3，过A作AFEC，由题意可知RtABCRtAED，BACEAD

11、90，即，BACEAD90，BAECAD，BAECAD，ABEACD，BEC180（CBE+BCE）180（CBA+ABE+BCE）180（CBA+ACD+BCE）90，BECE，在RtBCD中，BC2CD4，BD，ACBD，SBCDACBDBCAC，ACAE，AD，AF=，CE2CF2，BE【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定及相似三角形的性质与判定，关键是根据题意得到三角形的全等，然后利用全等三角形的性质得到相似三角形，进而求解5（1）尝试探究：如图，在中，点、分别是边、上的点，且EFAB的值为_；直线与直线的位置关系为_；（2）类比延伸：如图，若将图中的绕点顺时针旋转，连接，则在旋

12、转的过程中，请判断的值及直线与直线的位置关系，并说明理由；（3）拓展运用：若，在旋转过程中，当三点在同一直线上时，请直接写出此时线段的长【答案】（1），；（2），证明见解析；（3）或【分析】（1）由锐角三角函数可得ACBC，CFCE，可得AFACCF（BCCE），BEBCCE，即可求；由垂直的定义可得AFBE；（2）由题意可证ACFBCE，可得，FACCBE，由余角的性质可证AFBE；（3）分两种情况讨论，由旋转的性质和勾股定理可求AF的长【详解】解：（1）， ， ，故答案为：，；（2），如图，连接，延长交于，交于点，旋转，且，；（3）如图，过点作交的延长线于点，且三点在同一直线上，旋转，且，

13、；如图，过点作于点，旋转，且，【点睛】本题是相似综合题，考查了平行线的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键6ABE内接于O，C在劣弧AB上，连CO交AB于D，连BO，COBE （1）如图1，求证：COAB；（2）如图2，BO平分ABE，求证：ABBE；（3）如图3，在(2)条件下，点P在OC延长线上，连PB，ETAB于T，P2AET，ET18，OP25，求O半径的长【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）O半径的长是【分析】（1）连接CE、OA，根据圆周角定理可得CEB=COB，根据COBAEB可得COA=COB，根据等腰三角

14、形“三线合一”的性质即可得结论；（2）过点O作OFBE于F，根据角平分线的性质可得OD=OF，根据垂径定理可得BD=AB，BF=BE，根据勾股定理可得BD=BF，进而可得结论；（3）根据等腰三角形的性质可得AEB=EAB，根据直角三角形两锐角互余的性质可得DBO=AET，根据P2AET可得P=ABE，进而可得POB=PBO，即可证明OP=PB，由ETB=PDB=90可证明BETPBD，根据相似三角形的性质可求出BD的长，进而根据勾股定理即可求出PD的长，根据线段的和差关系可得OD的长，利用勾股定理求出OB的长即可得答案【详解】（1）如图，连接CE、OA，COB和CEB分别是所对的圆心角和圆周角

15、，CEB=COB，COBAEB，CEB=AEB，COA=COB，OA=OB，OCAB（2）如图，过点O作OFBE于F，OB平分ABE，ODAB，OFBE，OD=OF，BD=AB，BF=BE，BD=，BF=，BD=BF，AB=BE（3）AB=BE，AEB=EAB，COB=AEB，COB=BAE，ETAB，OCAB，BAE+AET=COB+DBO，DBO=AET，OB平分ABE，ABE=2DBO=2AET，P=2AET，P=ABE，AEB=OBO，AEB=EAB，POB=PBO，OP=PB，ETB=PDB=90，BETPBD，ET=18，OP=25，2BD2=1825，解得：BD=15，（负值舍去

16、）PD=20，OD=OP-PD=5，OB=，即O半径的长是【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别对应相等，那么这两个三角形相似；熟练掌握相关定理是解题关键7矩形中，点分别在边上，且，连接并延长，交的延长线于点，点为射线上一动点，过点作的垂线，交于点（1）特例发现，如图，若点恰好与点重合，填空：_；与的等量关系为_（2）拓展探究如图，若点在的延长线上，与能否相等？若能，求出的长；若不能，请说

17、明理由（3）思维延伸如图，点是线段上异于点一点，连接，过点作直线，交直线于点，是否存在点，使相等？若存在，请直接写出的长；若不存在，请说明理由【答案】（1）4； ；（2）与能够相等，理由详见解析；（3）（3）能够相等，【分析】（1）根据，利用对应边成比例列式求出ED长；过点Q作，交AB于点H，交DC于点G，设，利用，对应边成比例列式求出x，得到这两个三角形其实是全等的，所以；（2）过点作，交的延长线于点，延长交于点，构造“k”字型全等三角形，设，再利用相似三角形的性质列式求解；（3）过点作于点，过点作，交的延长线于点，延长交于点，同（2）构造“k”字型全等三角形，再利用相似三角形的性质列式求解

18、【详解】（1），解得，故答案是：4；如图，过点Q作，交AB于点H，交DC于点G，可得，设，得，根据，得，解得，故答案是：；（2）与能够相等，如图，过点作，交的延长线于点，延长交于点，又，设，则，解得，经检验，是该分式方程的根，；（3）能够相等，如图，过点作于点，过点作，交的延长线于点，延长交于点，根据“k”字型全等得，设，则，解得，故的长为【点睛】本题考查“k”字型全等三角形，相似三角形的性质和判定，解题的关键是作辅助线构造“k”字型全等，再利用相似三角形对应边成比例列式求解8已知，ABC中，ABAC，BAC2，点D为BC边中点，连接AD，点E为线段AD上一动点，把线段CE绕点E顺时针旋转2得

19、到线段EF，连接FG，FD（1）如图1，当BAC60时，请直接写出的值；（2）如图2，当BAC90时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请写出正确的结论，并说明理由；（3）如图3，当点E在AD上移动时，请直接写出点E运动到什么位置时的值最小最小值是多少？（用含的三角函数表示）【答案】（1）1；（2）不成立，理由见解析；（3）E为AD中点时，的最小值 sin【分析】（1）取AC的中点M，连接EM，BF，可知ABC和EFC都是等边三角形，证明ACEBCF（SAS），可得结论（2）连接BF，证明ACEBCF，可得结论（3）连接BF，取AC的中点M，连接EM，易得ACEBCF，

20、证明ACEBCF，得出sin的最小值 ，则得出的最小值sin【详解】（1）连接BF，ABAC，BAC60，ABC为等边三角形，线段CE绕点E顺时针旋转60得到线段EF，ECEF，CEF60，EFC都是等边三角形，ACBC，ECCF，ACBECF60，ACEBCF，ACEBCF（SAS），AEBF，1（2）不成立，结论：证明：连接BF，ABAC，D是BC中点，ADBC，ADC90，BACCEF90，ABC和CEF为等腰直角三角形，ACBECF45，ACEBCF，ACEBCF，CBFCAE，（3）结论：当点E为AD的中点时，的值最小，最小值为sin连接BF，取AC的中点M，连接EM，AB=AC，E

21、CEF，BACFEC2，ACBECF，BACFEC，ACEBCF，ACEBCF，D为BC的中点，M为AC的中点，当E为AD中点时，又M为AC的中点，EMCD,CDAD，EMAD,此时，最小=sin，的最小值sin【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，中位线定理，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题9如图，函数yx2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）两点，m，n分别是方程x22x30的两个实数根，且mn（）求m，n的值以及函数的解

22、析式；（）设抛物线yx2+bx+c与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D，连接AB，BC，BD，CD求证：BCDOBA；（）对于（）中所求的函数yx2+bx+c，（1）当0 x3时，求函数y的最大值和最小值；（2）设函数y在txt+1内的最大值为p，最小值为q，若pq3，求t的值【答案】（I）m1，n3，yx2+2x+3；（II）见解析；（III）（1）y最大值4；y最小值0；（2）t1或t2【分析】（I）首先解方程求得A、B两点的坐标，然后利用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（II）根据解方程直接写出点C的坐标，然后确定顶点D的坐标，根据两点的距离公式可得BDC三边的长，根据勾股定理的

23、逆定理可得DBC=90，根据边长可得AOB和DBC两直角边的比相等，则两直角三角形相似；（III）（1）确定抛物线的对称轴是x=1，根据增减性可知：x=1时，y有最大值，当x=3时，y有最小值；（2）分5种情况：当函数y在txt+1内的抛物线完全在对称轴的左侧；当t+1=1时；当函数y在txt+1内的抛物线分别在对称轴的两侧；当t=1时，函数y在txt+1内的抛物线完全在对称轴的右侧；分别根据增减性可解答【详解】（I）m，n分别是方程x22x30的两个实数根，且mn，用因式分解法解方程：（x+1）（x3）0，x11，x23，m1，n3，A（1，0），B（0，3），把（1，0），（0，3）代入得

24、，解得，函数解析式为yx2+2x+3（ II）证明：令yx2+2x+30，即x22x30，解得x11，x23，抛物线yx2+2x+3与x轴的交点为A（1，0），C（3，0），OA1，OC3，对称轴为，顶点D（1，1+2+3），即D（1，4），CD2DB2+CB2，BCD是直角三角形，且DBC90，AOBDBC，在RtAOB和RtDBC中，BCDOBA；（ III）抛物线yx2+2x+3的对称轴为x1，顶点为D（1，4），（1）在0 x3范围内，当x1时，y最大值4；当x3时，y最小值0；（2）当函数y在txt+1内的抛物线完全在对称轴的左侧，当xt时取得最小值qt2+2t+3，最大值p（t+1

25、）2+2（t+1）+3，令pq（t+1）2+2（t+1）+3（t2+2t+3）3，即2t+13，解得t1当t+11时，此时p4，q3，不合题意，舍去；当函数y在txt+1内的抛物线分别在对称轴的两侧，此时p4，令pq4（t2+2t+3）3，即t22t20解得：t11+（舍），t21（舍）；或者pq4（t+1）2+2（t+1）+33，即（不合题意，舍去）；当t1时，此时p4，q3，不合题意，舍去；当函数y在txt+1内的抛物线完全在对称轴的右侧，当xt时取得最大值pt2+2t+3，最小值q（t+1）2+2（t+1）+3，令pqt2+2t+3（t+1）2+2（t+1）+33，解得t2综上，t1或t

26、2【点睛】本题是二次函数的综合题型，考查利用待定系数法求抛物线的解析式，抛物线的顶点公式，三角形相似的性质和判定，勾股定理的逆定理，最值问题等知识，解题时需注意运用分类讨论的思想解决问题10如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将COD绕点O逆时针旋转得到EOF（旋转角为锐角），连AE，BF，DF，则AE=BF（1）如图2，若（1）中的正方形为矩形，其他条件不变探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；若BD=7，AE=，求DF的长；（2）如图3，若（1）中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=10，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长【答案】（1）AE=BF；证明见解析；

27、DF=；（2）DF=【分析】（1）利用矩形的性质，旋转的性质得到BOF=AOE，证明BOFAOE可得结论，利用矩形性质与旋转性质证明BFD为直角三角形，从而可得答案，（2）利用平行四边形的性质与旋转的性质，证明AOEBOF，求解BF，再证明BDF是直角三角形，从而可得答案【详解】（1）AE=BF，理由如下：证明：ABCD为矩形，AC=BD，OA=OB=OC=OD，COD绕点O旋转得EOF，OC=OE，OD=OF，COE=DOFBOD=AOC=180BOD-DOF=AOC-COE即BOF=AOE BOFAOE（SAS）， BF=AEOB=OD=OF，BFD=90BFD为直角三角形，BF=AEBD

28、=7，AE=DF=（2）四边形ABCD是平行四边形， OC=OA=AC=3，OB=OD=BD=5， 将COD绕点O按逆时针方向旋转得到FOE， OC=OE，OD=OF，EOC=FOD OA=OE，OB=OF，EOA=FOB ，且EOA=FOB AOEBOF， OB=OF=OD BDF是直角三角形， 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，证明AOEBOF是解本题的关键11定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角

29、线”（1）如图1，在四边形中，对角线平分求证：是四边形的“相似对角线”；（2）如图2，已知是四边形的“相似对角线”，连接，若的面积为，求的长【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）根据所给的相似对角线的证明方法证明即可；（2）由题可证的，得到，过点E作，可得出EQ，根据即可求解；【详解】（1）证明：，平分，是四边形ABCD的“相似对角线”（2）是四边形EFGH的“相似对角线”，三角形EFH与三角形HFG相似又，过点E作，垂足为则，【点睛】本题主要考查了四边形综合知识点，涉及了相似三角形，解直角三角形等知识，准确分析并能灵活运用相关知识是解题的关键12如图1，在正方形中，为线段上一点，连接，过

30、作交于，连接 （1）求证：；（2）如图2，为中点，分别为线段，上的动点，满足，则在，运动过程中，当以为对角线的正方形的一边恰好落在的某一边上时，直接写出正方形的面积【答案】（1）证明见解析；（2）正方形的面积可以为：，1，【分析】（1）连接AC与BD相交于O，作GHAB，GIBC，证明AGHEGI可得AG=GE即AGE为等腰直角三角形，再证明ABEAOG，可得，再结合正方形的性质可得，从而可证明结论（2）分正方形的一边恰好落在AE上，正方形的一边恰好落在AB上和正方形的一边恰好落在BE上三种情况讨论，画出对应图形，利用三角函数解直角三角形即可【详解】解：(1)连接AC与BD相交于O，作GHAB

31、，GIBC，AHG=BIG=90，四边形ABCD为正方形，ABE=90，BAC=ABD=CBD=45，AOG=90,BD=2OD，HG=GI（角平分线上的点到角两端距离相等），HGI=360-BHG-BIG-ABE=90，AGH=AGE-HGE=90-HGE，IGE=IGH-HGE=90-HGE,AGH=IGE，在AGH和EGI中，AGHEGI（ASA）AG=GE,AGE为等腰直角三角形，EAG=45，BAE=45-EAC=CAG,ABC=AOG,ABEAOG，,，（2）四边形ABCD为正方形，ABC=90，BC=AB=4,为中点，BE=2,设AP=x，则若正方形的一边恰好落在AE上，分两种情

32、况如下图，若为正方形，则 ，解得：，；若为正方形，则，解得：，；若正方形的一边恰好落在AB上，分两种情况如下图，若为正方形，则,，解得，；若为正方形，则，,则，解得，若正方形的一边恰好落在BE上，由可知，Q点和E点不可能重合，若P点和B点重合，如下：此时AP=4，又，,故舍去综上所述：正方形的面积可以为：，1，【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的性质和判定，解直角三角形（1）中能正确作出辅助线，构造相似三角形是解题关键；（2）中能分类讨论，画出对应图形是解题关键13如图（1），在矩形中，点分别是边的中点，四边形为矩形，连接（1）问题发现在图（1）中，_；（2）拓展探究将图（1）中的矩形绕

33、点旋转一周，在旋转过程中，的大小有无变化？请仅就图（2）的情形给出证明；（3）问题解决当矩形旋转至三点共线时，请直接写出线段的长【答案】（1）；（2）的大小无变化，证明见解析；（3）或【分析】（1延长FG交BC于点H，可根据题意分别求出，的长，即可求的值；（2）连接，先由勾股定理计算的值，再计算，最后根据相似三角形的判定与性质解题即可；（3）采用分类讨论法解题，一种是点在线段上，另一种是点在的延长线上，据此分别求解即可.【详解】（1）解：延长FG交BC于点H，则，故答案为：（2）的大小无变化.证明：如图（1），连接，由题意可知：，即，在矩形中，在矩形中，；（3）或如图（2），图（3）：如图（2

34、），当点在线段上，由（2）知，在中，；当点在的延长线上时，由（2）知，在中，综上所述，或【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，其中涉及分类讨论思想，综合性较强，有一定难度，熟练并灵活运用知识是解题的关键.14如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M（1）求证：MFCMCA；（2）求的值，（3）若DM1，CM2，求正方形AEFG的边长【答案】（1）见解析；（2）；（3）【分析】（1）由正方形的性质得ACD=AFG=45，进而根据对顶角的性质得CFM=ACM，再结合公共角，根据相似三角形的判定得结论；（2）根据正方形的

35、性质得，再证明其夹角相等，便可证明ACFABE，由相似三角形的性质得出结果；（3）由已知条件求得正方形ABCD的边长，进而由勾股定理求得AM的长度，再由MFCMCA，求得FM，进而求得正方形AEFG的对角线长，便可求得其边长【详解】（1）四边形ABCD是正方形，四边形AEFG是正方形，ACD=AFG=45，CFM=AFG，CFM=ACM=45，CMF=AMC，MFCMCA；（2）四边形ABCD是正方形，ABC=90，BAC=45，AC=AB，同理可得AF=，EAF=BAC=45，CAF+CAE=BAE+CAE=45，CAF=BAE，ACFABE，；（3）DM=1，CM=2，AD=CD=1+2=

36、3，AM=，MFCMCA，即，FM=，AF=AMFM=，AF=，即正方形AEFG的边长为【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，关键是综合应用这些知识解决问题15如图，在ABC中，ABAC，点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP到点E，使CAECDE，作DCGACE，其中G点在DE上（1）如图1，若B45，则；（2）如图2，若DCG30，求：；（3）如图3，若ABC60，延长CG至点M，使得MGGC，连接AM，BM在点P运动的过程中，探究：当的值为多少时，线段AM与DM的长度之和取得最小值？【答案】（1）；（2）；（3

37、）当时，线段AM与DM的长度之和取得最小值【分析】（1）如图1，根据ABC是等腰直角三角形，得BC=AC，由点D是BC边上的中点，可知2CD=AC，得AC与CD的比，证明DCGACE，列比例式可得结论；（2）如图2，连接AD，同理得DCGACE，可得 ，设AB=AC=5k，BD=CD=4k，则AD=3k，由此即可解决问题；（3）如图3中，由题意，当A，M，D共线时，AM+DM的值最小想办法证明GDM=GDC=45，设CH=a，则PC=2a，PH=DH=a，推出AC=2CD=2（a+a），由此即可解决问题【详解】解：（1）如图1，ABACB45，ABC是等腰直角三角形，BCAC，又点D是BC边上

38、的中点，BC2CD，2CDAC，CAECDE，DCGACE，DCGACE，；故答案为：；（2）如图2连接AD，CAECDEECAGCD，DCGACE，又ABAC，点D是BC边上的中点，BDDC，ADBC，设ABAC5kBDDC4k，由勾股定理可得AD3k，ECAGCD，ACDECGADCEGC，ADCEGC90可得EGGC，又D，G，E三点共线，DGC90，又DCG30，可得DG2k，GC2k，SDGC2kk2k2，SABC8k3k12k2，；故答案为：；（3）如图3，当A，MD三点共线时，AM+DM的值最小，连接EM，取AC的中点O，连接OE，OD作PHCD于点H，ABAC，ABC60，AB

39、C是等边三角形，又BCACACB60，DACHPC30，BDCD，ACBC，AC2CD，CAECDE，ECAGCD，DCGACE，EC2CG，又CGMG，MCCE，又ACD60，MCE60，MCE是等边三角形，又O是中点，DCCO，ECOMCD，MCCE，MDCEOC（SAS），OEDM，又CDECAE，A，D，C，E四点共圆，ADC+AEC180，AEC90，AOOC，EOOCCDMD，又CGGM，CDDM，GDMGDC45，PDHDPH45，PHDH，设CHa，则PC2a，PHDH，AC2CD2（a+），【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质

40、，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题16如图1所示，矩形ABCD中，点E，F分别为边AB，AD的中点，将AEF绕点A逆时针旋转（0360），直线BE，DF相交于点P（1）若ABAD，将AEF绕点A逆时针旋至如图2所示的位置上，则线段BE与DF的位置关系是 ，数量关系是 （2）若ADnAB（n1）将AEF绕点A逆时针旋转，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图3所示的情况加以证明；若不成立，请写出正确结论，并说明理由（3）若AB6，BC8，将AEF旋转至AEBE时，请直接写出DP的长【答案】（1）BEDF，BEDF（

41、2）不成立；结论：DFnBE，BEDF；理由见解析（3）43或43【分析】（1）如图2中，结论：BEDF，BEDF证明ABEADF（SAS），利用全等三角形的性质可得结论；（2）结论：DFnBE，BEDF，证明ABEADF（SAS），利用相似三角形的性质可得结论；（3）分两种情形画出图形，利用相似三角形的性质以及勾股定理求解即可.【详解】解：（1）如图2中，结论：BEDF，BEDF，理由：四边形ABCD是矩形，ABAD，四边形ABCD是正方形，AEAB，AFAD，AEAF，DABEAF90，BAEDAF，ABEADF（SAS），BEDF，ABEADF，ABEAHB90，AHBDHP，ADFPH

42、D90，DPH90，BEDF，故答案为：BEDF，BEDF；（2）如图3中，结论不成立，结论：DFnBE，BEDF，AEAB，AFAD，ADnAB，AFnAE，AFAEADAB，AFAEADAB，DABEAF90，BAEDAF，BAEDAF，DFBEAFAEn，ABEADF，DFnBE，ABEAHB90，AHBDHP，ADFPHD90，DPH90，BEDF；（3）如图41中，当点P在BE的延长线上时，在RtAEB中，AEB90，AB6，AE3，BE3，ABEADF，DF4，四边形AEPF是矩形，AEPF3，PDDFPF43；如图42中，当点P在线段BE上时，同法可得DF4，PFAE3，PDDF

43、PF43，综上所述，满足条件的PD的值为43或43.【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形的判定及性质，旋转的性质，相似三角形的判定及性质，勾股定理，注意应用分类思想解决问题， 是一道较难的几何综合题.17如图，在RtABC中，B90，AB2，BC1，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE将EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为（1）当0时，= ； 当180时，= ；（2）试判断：当0360时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明（3）当EDC旋转至A、B、E三点共线时，直接写出线段BD的长【答案】（1），； （2）无变化，证明见解析； （3）或【分析】（1）先用勾股定理求出AC，

44、再由中点可求出BD，AE，从而得到答案；当180时，点E在AC的延长线上，点D在BC的延长线上，由题可知，CDBC，CEAC，即可得出结论；（2）先找到，然后证明ACEBCD，即可得出结论；（3）先由（2）可算出BDAE，然后分类讨论即可得出结论【详解】解：（1）当0时，在RtABC中，AB2，BC1，AC，点D，E是BC，AC的中点，BDBC，AEAC，；当180时，如图，点E在AC的延长线上，点D在BC的延长线上，由题意可知，CDBC，CEAC，BDBC+CDBC，AEAC+CEAC，；（2）无变化，在图1中，点D，E是BC，AC的中点，DEBA，如图2，EDC在旋转过程中形状大小不变，仍

45、然成立，由旋转知，ACEBCD，ACEBCD，的大小不变；（3）由（1）知，CEAC，在RtCBE中，BC1，根据勾股定理得，BE，由（2）知，BDAE，如图3，当点落在线段AB上时，AEABBE，BDAE；如图4，当点落在线段AB的延长线上时，AEAB+BE2+BDAE，即：当EDC旋转至A、B、E三点共线时，线段BD的长为或【点睛】本题考查了几何变换的综合问题，主要考查了勾股定理，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，注意分类讨论的思想是解题的关键18如图，在中，为边上一点，连接，作交于点，连接猜想线段与之间的数量关系，并证明【答案】，见解析【分析】过点作交于点，通过证明，可得，即在中，故，

46、即【详解】解：证明：如图，过点作交于点，则，在中，即【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，掌握相似三角形的性质以及判定定理、正切的性质是解题的关键19在和中，与在同一条直线上，点与点重合，如图为将绕点顺时针旋转后的图形，连接，若，求和的面积【答案】和的面积分别为2和【分析】过点D作DMBC于点M，根据30所对直角边为斜边一半，分别求出BC、DC的长度，且证BDCAEC，在DMC中，可得DM=1，即BDC的面积可求，且，即AEC的面积可求【详解】解：如图所示，过点D作DMBC于点M，AC=2，又，在BAC和DEC中，由旋转性质知，BDCAEC，故，在DMC中，BDCAEC，BDC和AEC的面积

47、分别为2和【点睛】本题主要考察了含30角的直角三角形、旋转的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键在于证明BDCAEC，且相似三角形的面积之比为边长之比的平方20如图，二次函数的图象交x轴于A，B（4，0）两点，交y轴于点C（0，2）（1）求二次函数的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一个动点，PMx轴于点M交直线BC于点Q，过点C作CNPM于点N连接PC；若PCQ为以CQ为腰的等腰三角形，求点P的横坐标；点G为点N关于PC的对称点，当点G落在坐标轴上时，直接写出点P的坐标【答案】（1） （2），2 （1，3）或（，）【分析】（1）将，的坐标代入抛物线中，即可求出抛物线解析式；（2）将等腰

48、三角形分两种情况进行讨论，即可分别求出的值；当点落在坐标轴上时，存在两种情形，一种是点落在轴上，一种是点落在轴上，分情况即可求出点的坐标【详解】解：（1）抛物线经过，解得，抛物线的解析式为；（2）直线BC经过，设直线BC的解析式为：由题意得解得：直线BC的解析式为点在抛物线在第一象限内的图象上，点的横坐标为，轴，交直线于点，当时，解得，（舍去）；当时，即，解得，（舍去）；综上，当是等腰三角形时，的值为，2；存在，理由如下：当点落在坐标轴上时，存在两种情形：如图1，当点落在轴上时，点在直线上，解得，（舍去），；如图2，当点落在轴上时，在中，则，综上所述，当点落在坐标轴上时，点的坐标为或，【点睛】

49、本题考查了待定系数法求二次函数及一次函数的解析式，等腰三角形的存在性等，解题关键是注意分类讨论思想在解题过程中的运用21（感知）（1）如图，在四边形ABCD中，C=D=90，点E在边CD上，AEB=90，求证：=（探究）（2）如图，在四边形ABCD中，C=ADC=90，点E在边CD上，点F在边AD的延长线上，FEG=AEB=90，且=，连接BG交CD于点H求证：BH=GH（拓展）（3）如图，点E在四边形ABCD内，AEB+DEC=180，且=，过E作EF交AD于点F，若EFA=AEB，延长FE交BC于点G求证：BG=CG【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析【分析】（1）证得BEC=

50、EAD，证明RtAEDRtEBC，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；（2）过点G作GMCD于点M，由（1）可知，证得BC=GM，证明BCHGMH（AAS），可得出结论；（3）在EG上取点M，使BME=AFE，过点C作CNBM，交EG的延长线于点N，则N=BMG，证明AEFEBM，由相似三角形的性质得出，证明DEFECN，则，得出，则BM=CN，证明BGMCGN（AAS），由全等三角形的性质可得出结论【详解】（1）C=D=AEB=90，BEC+AED=AED+EAD=90，BEC=EAD，RtAEDRtEBC，；（2）如图1，过点G作GMCD于点M，同（1）的理由可知：，CB=GM，在BCH

51、和GMH中，BCHGMH（AAS），BH=GH；（3）证明：如图2，在EG上取点M，使BME=AFE，过点C作CNBM，交EG的延长线于点N，则N=BMG，EAF+AFE+AEF=AEF+AEB+BEM=180，EFA=AEB，EAF=BEM，AEFEBM，AEB+DEC=180，EFA+DFE=180，而EFA=AEB，CED=EFD，BMG+BME=180，N=EFD，EFD+EDF+FED=FED+DEC+CEN=180，EDF=CEN，DEFECN，又，BM=CN，在BGM和CGN中，BGMCGN（AAS），BG=CG【点睛】本题考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角

52、形的判定与性质，平行线的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键22问题背景：如图（1），已知，求证：；尝试应用：如图（2），在和中，与相交于点点在边上，求的值；拓展创新：如图（3），是内一点，直接写出的长 【答案】问题背景：见详解；尝试应用：3；拓展创新：【分析】问题背景：通过得到，再找到相等的角，从而可证；尝试应用：连接CE，通过可以证得，得到，然后去证，通过对应边成比例即可得到答案；拓展创新：在AD的右侧作DAE=BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，通过，然后利用对应边成比例即可得到答案【详解】问题背景：，BAC=DAE， ，BAD+DAC=CAE+DAC，BAD=CAE，；尝试应用：连接CE，BAD+DAC=CAE+DAC，BAD=CAE，由于，即，又，即，又，；拓展创新：如图，在AD的右侧作DAE=BAC，AE交BD延长线于E，连接CE，ADE=BAD+ABD，ABC=ABD+CBD，ADE=ABC，又DAE=