数学建模_零件参数的优化设计说明

1、WORD19/19零件参数的优化设计摘要本文建立了一个非线性多变量优化模型。已知粒子分离器的参数y由零件参数决定，参数的容差等级决定了产品的成本。总费用就包括y偏离y0造成的损失和零件成本。问题是要寻找零件的标定值和容差等级的最佳搭配，使得批量生产中总费用最小。我们将问题的解决分成了两个步骤：1.预先给定容差等级组合，在确定容差等级的情况下，寻找最佳标定值。2.采用穷举法遍历所有容差等级组合，寻找最佳组合，使得在某个标定值下，总费用最小。在第二步中，由于容差等级组合固定为108种，所以只要在第一步的基础上，遍历所有容差等级组合即可。但是，这就要求，在第一步的求解中，需要一个最佳的模型使得求解效

2、率尽可能的要高，只有这样才能尽量节省计算时间。经过对模型以与matlab代码的综合优化，最终程序运行时间仅为3.995秒。最终计算出的各个零件的标定值为：=0.0750,0.3750,0.1250,0.1200,1.2919,15.9904,0.5625,等级为：一台粒子分离器的总费用为：421.7878元与原结果相比较，总费用由3074.8（元/个）降低到421.7878（元/个），降幅为86.28%，结果是令人满意的。为了检验结果的正确性，我们用计算机产生随机数的方式对模型的最优解进行模拟检验，模拟结果与模型求解的结果基本吻合。最后，我们还对模型进行了误差分析，给出了改进方向，使得模型更容

3、易推广。关键字：零件参数 非线性规划 期望 方差一、问题重述一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。零件参数包括标定值和容差两部分。进行成批生产时，标定值表示一批零件该参数的平均值，容差则给出了参数偏离其标定值的容许围。若将零件参数视为随机变量，则标定值代表期望值，在生产部门无特殊要求时，容差通常规定为均方差的倍。 进行零件参数设计，就是要确定其标定值和容差。这时要考虑两方面因素：一是当各零件组装成产品时，如果产品参数偏离预先设定的目标值，就会造成质量损失，偏离越大，损失越大；二是零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小，成本越高。 试通过如下的具体问题给

4、出一般的零件参数设计方法。 粒子分离器某参数（记作y）由7个零件的参数（记作x1,x2,.,x7）决定，经验公式为：y的目标值（记作y0）为1.50。当y偏离y0+0.1时，产品为次品，质量损失为1,000元；当y偏离y0+0.3时，产品为废品，损失为9,000元。零件参数的标定值有一定的容许围；容差分为、三个等级，用与标定值的相对值表示，等为+1%，等为+5%，等为+10%。7个零件参数标定值的容许围，与不同容差等级零件的成本（元）如下表（符号表示无此等级零件）：标定值容许围等等等x10.075,0.12525x20.225,0.3752050 x30.075,0.1252050200 x4

5、0.075,0.12550100500 x51.125,1.87550 x612,201025100 x70.5625,0.93525100现进行成批生产，每批产量1,000个。在原设计中，7个零件参数的标定值为：x1=0.1,x2=0.3,x3=0.1,x4=0.1,x5=1.5,x6=16,x7=0.75;容差均取最便宜的等级。请你综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，重新设计零件参数（包括标定值和容差），并与原设计比较，总费用降低了多少？二、模型假设1、将各零件参数视为随机变量，且各自服从正态分布；2、假设组成离子分离器的各零件互不影响，即各零件参数互相独立；3、假设小概率事件不可能发

6、生，即认为各零件参数只可能出现在容许围；4、在大批量生产过程中，整批零件都处于同一等级，。本题可认为1000各零件都为A等、B等或C等；5、生产过程中出质量损失外无其他形式的损失；6、在质量损失计算过程中，认为所有函数都是连续可导的。三、符号说明：第i类零件参数的标定值（i=1,27）；：第i类零件参数的实际值相对目标值的偏差（i=1,27）；：第i类零件参数的容差（i=1,2,7）；：第i类零件参数的方差（i=1,2,7）；：标定值的上、下限；y：离子分离器某参数的实际值；：离子分离器该参数的目标值；：离子分离器某参数的均值；：离子分离器某参数的实际值y相对平均值的偏差；：离子分离器某参数的

7、方差；:一批产品中正品的概率；:一批产品中次品的概率；:一批产品中废品的概率；：一批产品的总费用（包括损失和成本费）；：第i类零件对应容差等级为j的成本（j=A,B,C） 单位：元/个。四、问题分析最 优 解总费用 损失费 成本费次品率 废品率 服从正态分布 容差等级服从正 容差态分布泰勒公式将 期 望 方 差 其线性化 该问题是一定约束条件下的最优化问题，经分析题意，拟建立以总费用为目标函数的非线性规划模型。总费用由损失费和成本费两部分组成，零件成本由简单的线性代数式决定，而损失费涉与概率分布的非线性函数。要求出损失费，就必须知道一批产品的次品率和废品率，结合各类零件都服从，可假设y也服从正

8、态分布，联想正态分布的性质当各变量均服从正态分布时，其线性组合也服从正态分布。题中所给经验公式为一复杂的非线性的公式，无法直接对其分析处理，所以需借助泰勒公式将其展开并作相应处理使其线性化。而对于零件成本，需先确定容差等级才能求得成本费。由容差等级和各类零件的标定值便可知道给类零件的容差。最后，便将问题转化为、关于总目标函数的最优解的问题上。在进行零件参数设计时，如果零件设计不妥，造成产品参数偏离预先设定值，就会造成质量损失，且偏差越大，损失也越大；零件容差的大小决定了其制造成本，容差设计得越小（即精度越高）零件成本越高。合理的设计方案应既省费用又能满足产品的预先设定值，设计方向应该如下：（1

9、）设计的零件参数，要保证由零件组装成的产品参数符合该产品的预先设定值，即使有偏离也应是在满足设计最优下的容许围。（2）零件参数（包括标定值和容差等级）的设计应使总费用最小为优。此外分析零件的成本与产品的质量损失不难发现，质量损失对费用的影响远大于零件成本对费用的影响，因而设计零件参数时，主要考虑提高产品质量来达到减少费用的目的。五、模型建立为了确定原设计中标定值（的期望值）与已给的容差对产品性能参数影响而导致的总损失，即确定偏离目标值所造成的损失和零件成本，先列出总损失的数学模型表达如下：当然，为了确定总损失，必须知道、（即正品、次品与废品的概率）。为此，将经验公式用泰勒公式在处展开并略去二次

10、以上高次项后来研究y的概率分布，设，则将标定值带入经验公式即得所以 由于在加工零件时，在标定值知道的情况下，加工误差服从正态分布，即且相互独立，由正态分布性质可知由误差传递公式得 （1）由于容差为均方差的3倍，容差与标定值的比值为容差等级，则y的分布密度函数为y偏离的概率，即次品的概率为 （2）y偏离的概率，即废品的概率为 （3）由于y偏离越远，损失越大，所以在固定时，调整y使之等于目标值可降低损失。取即，则为标准正态分布函数。综合考虑y偏离y0造成的损失和零件成本，设计最优零件参数的模型建立如下：目标函数 min s.t. 六、模型求解初略分析对于原给定的设计方案，利用matlab编程计算（

11、见附录），计算结果如下：正品率次品率废品率成本费损失费总费用0.12600.62390.25012002874.83074.8由于按原设计方案设计的产品正品率过低，损失费过高，显然设计不够合理。进一步分析发现，参数均值=1.7256偏离目标值=1.5太远，致使损失过大。尽管原设计方案保证了正本最低，但由于零件参数的精度过低，导致正品率也过低。所以我们应综合考虑成本费和损失费。模型的实现过程：本模型通过matlab进行求解，我们通过理论模型求解和随机模拟的求解过程如下：在给定容差等级的情况下，利用matlab中求解非线性规划的函数fmincon，通过多次迭代求解，最终求得一组最优解。最初，我们设

12、定的fmincon函数的目标函数就是总费用，约束条件为各个标定值的容许围，以与各零件标定值带入产品参数表达式应为，即1.5。然而，在迭代过程中我们发现，求解过程十分慢，在给定容差等级的确定的情况下，计算最优标定值需要将近400秒，如果在此基础上对108种容错等级进行穷举查找最优组合，将需要大概12小时。显然这是不合理的。因此，我们在仔细对matlab实现代码研究发现，求解过程之所以慢，是因为代码中存在多次调用求偏导和积分的函数，在fmincon的多次迭代中，耗费大量时间。所以，为了提高求解速度，我们首先利用matlab中diff函数对产品参数中的各个表达式进行求偏导，然后得到多个带参表达式，利

13、用int函数对y的概率密度函数进行积分，分别得到出现次品和废品概率的表达式，然后将这些表达式写进程序里，这样在求解过程中就不需要在每一次迭代中都要求偏导和积分了，修改后的程序运行时间大大减少。程序流程图确定一组容差等级初始化最小费用为INF利用fmincon寻找最佳标定值 求出总费用W Y 还有容差 N 算 法 等级未计算 结 束 Y N程序见附录，求解结果如下：零 件种 类1234567零 件参 数0.07500.37500.12500.12001.291915.99040.5625容 差等 级BBBCCBB正品率次品率废品率成本费损失费总费用0.85330.14760.0000275146

14、.7878421.7878运行总时间：3.995s离子分离器参数均值=1.5离子分离器参数方差=0.0689模型检验对设计方案进行动态模拟，由于每种零件参数均服从正态分布，用正态分布随机数发生器在每种零件参数允许围产生1000个随机数参与真实值的计算随机模拟N次后结果如下：正品率次品率废品率成本费损失费总费用0.85700.14300.0000275143418根据最优解的=1.5，=0.0689画出y的概率分布图，再对x随机取样画出y的概率分布图（见图6.1），由图可知：两组数据所画概率分布图的拟合度相当高，进一步确保了模型的正确性。 图6.1概率分布图对比图通过以上数据，与原设计方案所得结

15、果相比较，总费用由3074.8（元/个）降低到421.7878（元/个），降幅为86.28%，结果是令人满意的。七、误差分析1、在建模过程中，通过泰勒公式将展开并略去二次与以上项使线性化，不可避免地产生了截断误差，所以展开后的式子只是原经验公式的近似关系式。但在一般情况下，线性化和求总和在实用上具有足够的精度，所以由于函数线性化而略去的高次项可以忽略不计。在函数关系式较复杂的情况下，将其线性化更具有明显的优势。2、本模型忽略了小概率事件发生的可能，认为零件的参数只可能出现在允围，即。现实中，小概率事件仍有发生的可能性，但在大批量生产中，小概率事件的发生对最终结果没有影响，所以可以忽略。该模型对

16、于质量损失的计算，将所有函数都看作连续函数，而这对于每个零件参数而言是不可能的，所以其中也会产生误差。 八、模型的评价与推广1.优点（1）建模过程中，采用泰勒公式将经验公式简化，并假设各零件参数都服从满足大量数据的正态分布，使得整个模型的建立与求解得到大大简化。（2）本模型运用概率统计与优化知识对零件参数进行优化设计。通过建立一个反映设计要求的数学模型，利用MATLAB软件，经过编程来实现对设计方案参数的调整，将总费用由3074.8（元/个）降低到421.7878（元/个），降幅达到86.28%，结果还是令人十分满意的。（3）本模型在程序运算的过程中，做了适当处理，将每次循环本该由计算机求偏导

17、和积分的提前人为处理，将求偏导和积分后的算式写入程序中，这样大大节约了运算时间，将运行时间由几个小时缩短为3.0995s。2.缺点（1）本模型在模型的求解过程中，对一些可接受围的误差直接进行了忽略，因而对于结果的精确性还是会有一定的影响。（2）本模型是建立在一些假设中的，所有实用性受到了限制，在实际生产中，如果可以把更多的一些因素考虑进去应该会更好。在已假定的条件下，本模型的优化结果是好的。3推广此模型有较强的应用价值。工程中往往因为某个零件的选取不当，而影响产品的参数，使可靠性降低，造成了极大的经济损失。所以需综合考虑零件成本和质量，以求获得最大的经济效益。本模型具有广泛的适用性，很容易加以

18、推广。模型中的设计变量可以推广到个的情形，即设计变量，其中设计空间是一个维空间。本模不仅适用于粒子分离器参数的设计，而且也可用于类似的机构、零部件、工艺设备等的基本参数的设计问题；容差等级同样可推广应用。参考文献1之俊,平中,概率与统计,国防工业,19852宝林,最优化理论与算法,清华大学,19893裘宗燕,数学软件系统的应用与程序设计,大学,1994 4 许波，Matlab 工程数学应用，清华大学，2001附录：matlab代码：function f=result%穷举108种容错等级组合求解全局最优解fval=inf;tic%Bmin=2 3 3 3 3 3 2;%XminB(1)=2;B

19、(5)=3;for i=2:3 B(2)=i;for j=1:3 B(3)=j;for t=1:3 B(4)=t;for g=1:3 B(6)=g;for m=1:2 B(7)=m; fv,x=getcost(B);if fvfval Xmin=x; Bmin=B; fval=fv;end;end;end;end;end;end;f=fval,Xmin,Bmin,p=getP(Xmin,Bmin)tocsimulation(Xmin,Bmin);%用随机法和计算的结果进行模拟比较function f=simulation(MU,B)%用随机法和计算的结果进行模拟比较for i=1:10000

20、y(i)=Yfun(getparaX(MU,B);end;f,xi = ksdensity(y); plot(xi,f); % 画经验概率密度曲线hold on;y0=Yfun(MU);fc=getfcY(MU,B);%x = normrnd(y0,fc,1,10000);f1,xj = ksdensity(x);plot(xj,f1,r);%x0=min(y):0.01:max(y);y=(2*pi)0.5*fc)(-1)*exp(-(x0-y0).2/2/fc2);plot(x0,y,r);%x=min(y):0.01:max(y);yg=gaussmf(x,fc,y0);plot(x,y

21、g,r);%title(对照图);gtext(注:蓝线为对x随机取样求得的y分布);gtext(红线为根据模型计算出的y分布);xlabel(y);ylabel(y的概率密度);hold off;function f,x=getcost(B)%在给定容差等级的情况下求最优的标定值，使得Y的均值为y0的情况下，方差最小MU=0.1 0.3 0.1 0.1 1.5 16 0.75;%给定初始的标定值options=optimset(LargeScale,off,Display,off);%,Tolx,1.0000e-032);x,fval=fmincon(getfcY,MU,mycon,optio

22、ns,B); x,B,f=cost(x,B)function c,ceq=mycon(MU,B)%求最优标定值时的约束条件%c为不等式约束%ceq为等式约束c(1)=MU(1)-0.125;c(2)=0.075-MU(1);c(3)=MU(2)-0.375;c(4)=0.225-MU(2);c(5)=MU(3)-0.125;c(6)=0.075-MU(3);c(7)=MU(4)-0.125;c(8)=0.075-MU(4);c(9)=MU(5)-1.875;c(10)=1.125-MU(5);c(11)=MU(6)-20;c(12)=12-MU(6);c(13)=MU(7)-0.935;c(1

23、4)=0.5625-MU(7);ceq(1)=Yfun(MU)-1.5;function f=cost(MU,B)%当标定值为MU，容差等级为B时，求费用f=25;p=getP(MU,B);%求正品、次品、废品的概率if(B(2)=2) f=f+50;else f=f+20;end;switch (B(3)case 1 f=f+200;case 2 f=f+50;case 3 f=f+20;end;switch (B(4)case 1 f=f+500;case 2 f=f+100;case 3 f=f+50;end;f=f+50;switch (B(6)case 1 f=f+100;case

24、2 f=f+25;case 3 f=f+10;end;if(B(7)=1) f=f+100;else f=f+25;end;f=f+p(2)*1000+p(3)*9000;function f=getfcY(MU,B)%对于所给的标定值和容差求Y的方差f=0;B=int32(B);for i=1:7if B(i)=1 sigma(i)=MU(i)*0.01/3;end;if B(i)=2 sigma(i)=MU(i)*0.05/3;end;if B(i)=3 sigma(i)=MU(i)*0.1/3;end;end;x1=MU(1);x2=MU(2);x3=MU(3);x4=MU(4);x5=

25、MU(5);x6=MU(6);x7=MU(7);%求Y对各变量的偏导的评分与对应的方差乘积之和f=(pd1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(1)2;f=f+(pd2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(2)2;f=f+(pd3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(3)2;f=f+(pd4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(4)2;f=f+(pd5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(5)2;f=f+(pd6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(6)2;f=f+(pd7(

26、x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)*sigma(7)2;f=abs(f0.5);function f=pd1(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y对x1的偏导f=8721/50/x5*(x3/(x2-x1)(17/20)*(1-131/50*(1-9/25/. (x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)+. 148257/1000*x1/x5/(x3/(x2-x1)(3/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2). (14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)*x3/(x2-x

27、1)2;function f=pd2(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y对x2的偏导f=-148257/1000*x1/x5/(x3/(x2-x1). (3/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)(14/25)(. 3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)*x3/(x2-x1). 2+8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1)(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/. (x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)*(24759/31250*. (1-9/25/(x4/x2

28、)(14/25)(1/2)/(x4/x2)(2/5)*x4/x22+3799/1250*(1-9/25/. (x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(4/25)*x4/x22)/x6/x7;function f=pd3(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y对x3的偏导f=148257/1000*x1/x5/(x3/(x2-x1)(3/20)*(1-131/50*. (1-9/25/(x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)/(x2-x1);function f=pd4(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y对x4

29、的偏导f=8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1)(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)(14/25). (3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)*(-24759/31250*(1-9/25/(x4/x2)(14/25). (1/2)/(x4/x2)(2/5)/x2-3799/1250*(1-9/25/(x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(4/25)/x2)/x6/x7;function f=pd5(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y对x5的偏导f=-8721/50*x1/x52*(x3/(x2-x1

30、)(17/20)*(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2);function f=pd6(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y对x6的偏导f=-8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1)(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)(14/25). (3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)*(1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x62/x7;function f=pd7(x1,

31、x2,x3,x4,x5,x6,x7)%Y对x7的偏导f=-8721/100*x1/x5*(x3/(x2-x1)(17/20)/(1-131/50*(1-9/25/. (x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x7)(1/2)*. (1-131/50*(1-9/25/(x4/x2)(14/25)(3/2)*(x4/x2)(29/25)/x6/x72;function f=getP(MU,B)%当标定值为MU，容差等级为B时，求正品、次品、废品的概率yb=Yfun(MU);fc=getfcY(MU,B);%syms x0 u a0;yy=subs(2*pi)0.5

32、*a0)(-1)*exp(-(x0-u)2/2/a02),u,yb);%yy=subs(yy,a0,fc);%y0=1.5;f(2)=jf1(yb,fc);f(3)=jf2(yb,fc);%f(1)=0;%f(2)=(cdf(normal,y0+0.3,yb,fc) -cdf(normal,y0+0.1,yb,fc)*2 ;%f(3)=2*cdf(normal,y0-0.3,yb,fc);f(1)=1-f(2)-f(3);f=double(f);function f=jf1(u,a0)%通过积分求出现次品的概率f=-42624/92261*.erf(1/10*2(1/2)*(-9+5*u)/a0)*2(1/2)*pi(1/2).+42624/92261*erf(1/10*2(1/2)*.(-8+5*u)/a0)*2(1/2)*pi(1/2)-426