初中数学知识点梳理(沪教市北综合版)02分式

1、初中数学知识点梳理（沪教市北综合版）导 言初中数学知识点梳理沪教市北综合版为编者依据沪教版初中数学和市北初级中学资优生培训教材初中数学的内容综合编撰而成，既吸取了沪教版初中数学侧重基础、知识全面的特点，也吸取了市北版初中数学拓展广度、延伸深度的特点，实现了两者内容的有机融合，保证了初中数学知识点梳理的基础性、系统性、全面性、拓展性和概括性，能为初中数学的学习提供较好的知识帮助。文中带“（）”部分为市北版的加深内容，练习带“（）”部分也为市北版内容。 第二章 分数一、知识结构二、重点和难点重点：掌握好两个分数大小比较的方法，会进行分数与小数的互化，会正确、简便地进行分数与分数、分数与小数的四则混

2、合运算。难点：两个分数的大小比较，分数、小数四则混合运算。第一节 分数的意义和性质2.1分数与除法 用分数表示除法：可以用分数表示正整数除法的商。分数实质上就是两个正整数相除的商的另外一种形式，它的分子就是被除数，分母就是除数，分数线相当于除号。用文字表示为：被除数-除数被除数除数 ，用字母表示为： p q （p、q为正整数），其中p为分子，q为分母。 除数不能是零，分数的分母不能为零。 分数与除法的关系：两个整数相除，商可以用分数表示；反之，分数也可以看作两个整数相除，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数。 分数与正整数的除法的关系是双向的。 除法是一种运算，分数是一种数。例1：用分数表示

3、图中阴影部分的面积。 （ ） （ ） （ ）练习2.1()把5米长的铜管平均截成8段，每段长是_米，每段占全长的_。（用分数表示）5厘米是1厘米的_（填几分之几）；5厘米是1米的_（填几分之几）。3-44- 3把一张正方形纸片连续对折三次得到的图形的面积是原正方形面积的_。在数轴上画出分数 ， 所对应的点。 0 1 2 35、在数轴上方空格里填上适当的整数或分数。 0 1 2 3 46、如图，将长方形ABCD平均分成三个小长方形，再将三个小长方形分别平均分成2份、3份、4份，试问阴影部分面积是长方形ABCD面积的几分之几？ A B C D7、小红用20分钟走了1千米路，平均每分钟走几米？平均每

4、分钟走了全程的几分之几？2.2 分数的基本性质 分数的基本性质：分数的分子和分母都同时乘以或除以同一个不为零的数，所得的分数与原分数的大小相等，即： 注意： 分数的大小不变； 分子、分母进行同一种运算，只能是乘或除； 分子、分母乘或除以的是相同的数，而且必须是同时运算； 分子、分母乘或除以的数不能是0。约分和最简分数 约分：把一个分数的分子与分母的公因数约去的过程，称为约分。 约分的方法：a. 用分子和分母的公因数（1除外）同时去除分子、分母；通常要除到得出最简分数为止。b. 约分时，用分子、分母的最大公因数去约，约到最简分数，比较简单。 最简分数：分子分母只有公因数1的分数叫做最简分数（分子

5、和分母互素的分数）。最简分数通常通过约分的方法来得到。 最简分数的判定：分子、分母的公因数若只有1，则这个分数是最简分数。3-4例1：请写出三个与 大小相等的分数。3-4344432423343解： ，即：12169123-46-8 18( )( )45例2：在下面的括号里填上适当的数。915 1218 6( )（ ）618( 30 )( 27 )45解：915 1218 6( 9 )（ 4 ）6例3：把下面的各分数约分：28422436 2 2-328422-32436 2 4 解： 3 6 3例4：用最简分数表示下列单位换算的结果。 36分是1小时的几分之几？ 320是1千克的几分之几？3

6、-53660解： 3660 825320 1000 3201000 答：练习2.2()1、一个分数的分母不变，分子乘3，这个分数的大小有什么变化吗？如果分子不变，分母除以5呢？( ) ( )4+( ) 724-72、填空： ( ) ( )16 - 6 18-( )1218 ( ) ( )15( ) 36 - 241536 36483、与分数 相等，且分母小于48的分数有_个。3-4一个分数，它的分母是27，化成最简分数是 ，这个分数原来是_。分母是12的最简真分数有_。一学校四月份用水150吨，比三月份节约了30吨，四月份用水是三月份的_(几分之几)。把下列结果用最简分数表示： 24分钟是1.

7、2小时的几分之几？ 750毫升是1升的几分之几？ 600克是1千克的几分之几？ 10小时是1昼夜的几分之几？一辆汽车1小时行37千米，平均每分钟行多少千米？两地相距60千米，小王骑自行车从甲地到乙地 需要7小时，小王平均每小时骑车子多少千米？每行1千米需多少小时？2.3 分数的大小比较 同分母：分母相同的两个分数，分子大的分数大。 同分子：分子相同的两个分数，分母小的分数大。 异分母异分子：把分母或分子通分，化成分母或分子相同但大小不变的两个分数来进行比较。 通分：将异分母（异分子）分数分别化成与原分数大小相等的同分母（同分子）的分数，这个过程叫做通分。几个分母（分子）的最小公倍数即是它们的同

8、分母（同分子）。 分母（分子）通分的一般步骤： 求公分母（公分子）求几个分母（分子）的最小公倍数； 根据分数的基本性质，将每个分数化成分母（分子）相同的分数。 分数比较大小的方法：() 分母/分子通分法：通分法是分数大小比较的基本方法，可根据分母或分子求最小公倍数的难易程度确定选用分母通分法还是分子通分法。 分母通分法：以两个分母的最小公倍数为公分母，把两个分数化为分母相同但大小不变的分数，分子大的分数大。 分子通分法：以两个分子的最小公倍数为公分子，把两个分数化为分子相同但大小不变的分数，分母小的分数大。 倒数比较法：对分母、分子通分比较复杂，而分子分母的排列规律又比较相似的，可以采用倒数比

9、较法，通过比较倒数的大小，来判别原分数的大小。 注意：用倒数比较法时，倒数越大，原分数越小；倒数越小，原分数越大。 作差（和）比较法：如果两个分数接近一个整数，我们可以把这两个分数写成这个整数减去（加上）一个分数的形式，通过比较它们各自减去（加上）的这个分数的大小，来判别原分数的大小。 注意：a. 用作差（和）比较法时，减去（加上）的分数越大，原分数越小（大）；减去（加上）的分数越小，原分数越大（小）。b. 用作差（和）比较法时，这些分数必须具备能改写成整数减去（加上）一个分数的形式。例1：比较下面每组分数的大小。 和 1和1 和 、和解： 方法一：分母通分法12和21的最小公倍数是84，则：

10、=，=，因为，所以。方法二：分子通分法7和13的最小公倍数是91，则：=，=，因为，所以。 方法一：分母通分法5，7 = 351=1，1=1，因为11，所以11方法二：作差（和）比较法1=2，1=2因为，所以11。 分子通分法=因为所以。 分母通分法4、20、8=40，=，=，=因为，所以。例2：写出一个大于且小于的最简分数。解：4、5=20，=，=，根据分数基本性质，把和的分子和分母分别乘2，得：=，=因为，所以是大于且小于的最简分数。例3：比较和的大小。()解：倒数比较法的倒数=10，的倒数=10，因为1010所以。例4：比较和的大小。()解：作差（和）比较法=1，=1因为，所以。练习 比

11、较分数的大小。 和 和 和 、和 你能写出一个比大，比小的最简分数吗？ 试比较：和哪个分数大？练习2.3()1、比较下列分数的大小：( )； ( )； ( ) 。2、在、中，最小的一个分数是（ ）。3、写出所有介于与之间的分母为44的最简分数（ ）。4、若将分数、和的分子都化为3后，得到的结果是：，求x。5、我们可以用下面的方法比较两个分数的大小（对角相乘法）：分别用每一个分数的分子去乘另一个分数的分母，哪个分子乘得的积大，这个分数就大。比如：比较与的大小。因为25133，所以。请用这种方法比较两个分数的大小：_；_。6、观察： 你能总结出什么规律？ 比较与的大小。7、四个分数、哪个分数最大？

12、哪个分数最小？8、比较和的大小。9、比较下列每组分数的大小。 和； 和；和。第二节 分数的运算2.4分数的加减法 分数的加减法： 同分母分数相加减，分母不变，分子相加减。即：。 异分母分数相加减，先通分成同分母分数，再按照同分母分数加减法的法则进行计算。即：。 注意： 为运算简便，公分母一般取最小公倍数； 结果要化简到最简分数； 整数加法的结合律和交换律同样适用于分数的加法运算。 真分数：分子比分母小的分数，叫做真分数。 真分数都小于1. 假分数：分子大于或者等于分母的分数，叫做假分数。 假分数都大于等于1. 带分数：正整数与真分数相加所形成的分数叫做带分数。带分数是假分数的另一种表达形式。

13、带分数由整数和真分数两部分组成， 读法：几又几分之几。2读作二又五分之三。 带分数都大于1。真分数 1分数 带分数 1 假分数 1 整数 假分数和带分数的互化方法： 假分数化成带分数的方法：分子除以分母，若能被整除，则假分数化成整数；若不能被整除，所得的商作带分数的整数部分，余数作带分数的分子，分母不变。 带分数化成假分数的方法：整数部分乘以分母所得的积再加上原分子所得的和化作假分数的分子，原分母不变。 带分数加减运算的两种方法：方法一：将它们的整数部分和真分数部分分别进行加减运算，再将所有的结果合并起来并进行简化。方法二：将带分数化为假分数再进行加减运算，运算结果要简化。 带分数运算注意事项

14、： 两个带分数加法运算时，如果两个真分数相加后结果变成假分数，应将假分数变成真分数，即分子减去分母后作为分子，整数部分加1； 两个带分数减法运算时，如果被减数的分数部分比减数的分数部分小时，应从被减数的整数部分提出1，化成假分数和原来被减数的分数部分合并，再进行分数部分的减法运算。例1：计算： ； 54； 63； 97； 21； 2； (2)()。解： =。 54=54=9=10。 63=53=2。 97=97=87=1。 21=21=11=。 2=2()=2()=21=1。 (2)()=2=2()=21=1。例2：一个数减去2，再加上3等于1，求这个数。解：设这个数为x，则可列出等式：x23

15、=1，x=123，x=43，x=，所以这个数为。例3：若是假分数，是真分数，求整数m的值。解：因为是假分数，是真分数，所以1且1，即3m6，因为m是整数，所以m的值为3，4，5。练习 填空：2读作( )；五又八分之三写作( )。 将下列带分数化为假分数： 3=( )； 4=( )。 将下列假分数化为带分数： =( )； =( )。练习2.4()1、填空： =_； 1=_； 43=_； 52=_； 32=_； 2=_； 1=_； =_。2、化为带分数是_。3、化2为假分数是_。4、以7为分母的真分数是_。5、比分数小的最大整数是_。6、下列说法中正确的是（ ）。A. 假分数的值大于1 B. 真分

16、数一定是最简分数C. 假分数一定不是整数 D. 假分数的值一定不小于17、计算： = 2= 21= 311= 21= 748= 5(31)= 342= 31= 35=8、解方程： x2=3 x=2 3x=9、计算：12.5分数的乘法 分数的乘法：两个分数相乘，分子相乘的积作为分子，分母相乘的积作为分母，即:。 带分数的乘法：如果乘数是带分数，先化成假分数，再进行运算。 分数乘法的意义： 分数整数：可以看作是求几个相同分数和的简便运算； 整数分数：可以看作是求这个整数的几分之几； 分数分数：如，即在分数的基础上，以为总体，将其平均分成n份，取其中的m份，其结果为。 乘法规律：在乘法里，乘数大于1

17、，积大于被乘数；乘数等于1，积等于被乘数；乘数小于1，积小于被乘数（被乘数不为0）。例1：计算： 9 32 74 9 3解：9=11 1 2 32=8 1 74=(731)= 73=3=3 9=(91)= 8=6练习 已知一个数的是，求这个数。 一桶牛奶的恰好为15千克，那么它的是多少千克？2.6分数的除法 倒数：1除以一个不为零的数得到的商，叫做这个数的倒数。 0没有倒数。 互为倒数的两个数的乘积为1。 分数除法的运算法则：甲数除以乙数（乙数不为零），就等于甲数乘以乙数的倒数，即： 。 被除数或除数中有带分数的先化成假分数再进行运算。例1：求3的倒数。解：3=，所以它的倒数是。例2：计算：

18、31； 21； ； 2.254.26.3(2.10.71.5)解： 31=2。 21=4。 = 2.254.26.3(2.10.71.5) 1.5 6 3=27 1 1 1例3：已知一个数的是，求这个数。解：方法一：设所求数为x，根据题意可列方程：x=，x=，所以这个数是。方法二：一个数的是，则这个数为：=，所以这个数是。例4：解下列方程： x =3； x=3解： =3 x ，x =3，x =。 x =3，x =3，x =。练习2.5()1、0.3的倒数是_。2、3的倒数的倒数是_。3、3里包含_个。4、任何不等于0的数乘以它的倒数，所得的积是_。任何正数成语一个真分数，所得的积一定_原数（填

19、“”、“”或“”）。5、下列各式中表达正确的是（ ）。A真分数的倒数一定是假分数 B假分数的倒数一定是真分数C任何不等于0的数的倒数都大于这个数 D正整数的倒数一定是真分数6、计算： 45= 105= 12= 81= 32= 23= 412= 131=7、一根竹竿长3米，垂直插入河底泥中米，露出水面米，这条河水深多少米？8、计算： = = 71=2.7分数与小数的互化 规律：一个分数总可以化为有限小数或无限循环小数。 有限小数：一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其它素因数，那么这个分数就可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数，只能化成无限循环小数。 循环小数：一个小数从小数部分

20、的某一位起，一个数字或几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。 循环小数的循环节：一个循环小数的小数部分中，依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。 分数化成小数的方法：直接用分子除以分母，除不尽时，可以表示为循环小数或按照要求按“四舍五入”法保留几位小数。 有限小数化成分数的方法：小数可以直接写成分母是10,100,1000的分数，原来有几位小数，就在1后面写成几个零作为分母，把原来的小数去掉小数点作分子，化成分数后，能约分的要约分。 混循环小数化成分数的方法：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分的数字组成的数与小数部分中不循环部分的数字所组成的数之

21、差；分母的头几位数字是9,9后面的数字是0,9的个数和一个循环节中的数字个数相等，0的个数等于不循环部分的数字个数。如：0.=，0.=，0.3=例1：在分数，中，能化为有限小数的有_。解：有，共3个。练习计算：0. 0.0.0.练习2.6()1、将分数化为小数是_，分数化为小数是_。2、比较下列两组数的大小：_0.05，3_3.376。3、将小数0.12化为最简分数是_。4、将化为循环小数是_。5、比较大小：0.57_0.572。6、将下列分数化为有限小数或循环小数。 = = =7、将下列小数化为最简分数。 2.14= 3.235= 3.=0.7=8、计算：0.0.1250.0.1，结果写成分

22、数形式。9、真分数化为循环小数是什么？请你找出其中的规律，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a是多少？2.8分数、小数的四则混合运算 分数、小数混合运算法则： 运算顺序：同级运算，按照从左到右的顺序计算；不同级运算，先乘除，后加减；含括号的运算，先算小括号，再算中括号，最后再算大括号。 运算方法（分数、小数互化的一般原则）：一般情况下，同时化为小数或者同时化为分数后再计算。分数能化成有限小数的，化成小数计算比较简单；分数不能化成有限小数时，则把小数化成分数再计算。在进行分数、小数混合计算时，题目含分数或小数哪个个数多，就保留哪个，把个数少的转化成个数多的那种形式。

23、：分数、小数乘除混合运算法则： 带分数化为假分数以方便计算； 某数除以一个数等于某数乘以这个数的倒数； 乘除混合运算顺序从左到右； 能够约分的先约分。 注意事项：要熟练掌握一些简单的分数和小数之间的互换，做到一看便知。如：0.2=，0.5=，=0.4，=0.6，=0.75，6.25=6，0.125=。例1：计算。 8.430.9； (3.9136.096)(21.125)(11.5) 6.04； 1000(0.675)226.25； 23.3(275%)561(125%)28.7； 3.63143.96。解： 8.430.9=3=3=2 (3.9136.096)(21.125)(11.5) 6

24、.04=(3.916.0936)(2.1251.125)() 6.04=(1010) 106.0420 1000(0.675)226.25=1000(0.675)=(6751253)=(300)=481=49 23.3(275%)561(125%)28.7= 23.3(20.75)56(10.25)28.7=23.31.251451.2528.7=1.25(23.328.7)70=1.255270=135 3.63143.96=3.631.4(31.412.5) 6.4=(3.66.4) 31.412.56.4=31480=394例2：六年级三个班参加植树活动，1班植树54棵，2班植树的棵数是

25、1班的，2班植树的棵数是3班的，3个班共植树多少棵？解：2班植树棵数：54=45（棵）；3班植树棵数：45=27（棵）；3个班共植树棵数：544527=126（棵）。答。练习2.7()1、计算： (31)11(11)； 1.56(0.70.66)4.9； (6.52)(1)2.7575%1。2、计算下列各题，能简算的要简算： (4.9262.084)(20.1251)； (226.25.822)； (40.5104)1； 13(1)0.728。2.9分数运算的运用 解题关键：解分数应用题的关键是找出已知数量的对应分数，把不对应的转化为相对应，根据题意，先确定把哪个量看作单位“1”，再解决已知量

26、与分数的转化对应关系。 基本数量关系： 求一个数的几分之几是多少？即：a的是多少？答案是：a。 已知一个数的几分之几是多少，求这个数？ 即：a的是b，求a？答案是：ab。例1：某校举办一次作文竞赛，设一、二、三等奖若干名，竞赛结果，获一、二等奖的占获奖人数的，获二、三等奖的占获奖人数的，获二等奖的人数占获奖人数的几分之几？分析：把获奖总人数看作整体“1”。 三等奖占比解：方法一：1(1)(1)=。 一等奖占比 一、二等奖占比方法二：(1)=。一等奖占比 二、三等奖占比方法三：(1)=。 三等奖占比 二、三等奖占比方法四：1=。一、二等奖占比答。例2：小敏看一本书，第一天看了全书的，第二天又看了

27、余下的，这时还剩下80页没有看，这本书共多少页？分析：把全书的页数看作是单位“1”。第一天看了以后余下的解：方法一：80(1)=80=200(页)。 看了两天后余下的 第一天看的 第二天看的方法二：801(1) 看了两天后余下的=801=80=200(页)。答。例3：某校初三学生在体育达标测试中，有250人参加，其中是女生，其余是男生，结果男生中的以及女生中的未达标，问达标学生共有多少人？解：250（1）250（1）220（人）答。例4：一捆电线50米，第一次用去全长的多3米，第二次用去余下的少10米，第三次用去剩下的，还剩几米？解：第一次余下：50（503）=22（米），第二次余下：22（2

28、210）=21（米），第三次余下：2121=14（米）。答。例5：某学校男生人数的等于女生人数的，男生人数的比女生人数的少4人，求这个学校的学生人数。解：设男生人数为y，由于男生人数的女生人数的，因此，女生人数是男生人数的=，即：女生人数为y，因此，yy=4，y=154（人），则女生人数为y=156（人），所以总人数为154156=310（人）。答。例6：工程队修一条公路，第一天修了全长的，第二天与第一天所修的长度比是4：3，这时还剩下600米没修，问：这条公路全长多少米？解：第二天与第一天所修的长度比是4：3，即第二天修的是第一天的，所以第二天修了=，所以这条公路全长600(1)=1125(

29、米)答。例7：甲、乙、丙、丁合做一批零件，甲做的个数是其他三个人工作总量的一半，乙做的个数是其他三个人工作总量的，丙做的个数是其他三个人工作总量的，丁做了390个，则四个人共做了多少个零件？解：甲做的个数是其他三个人工作总量的一半，也可以说甲的个数的2倍等于其他三个人的工作总量，还可以说甲做的个数是四个人的工作总量的=，同理乙做的个数是四个人的工作总量的=，丙做的个数是四个人的工作总量的=，所以总数为390(1)=1800(个)。答。例8：两根同样长的绳子，第一根剪去它的，第二根剪去米，剩下的两段绳子哪根长？解：设绳子长为a米，则解题就变为比较a米与米的长短，要比较它们的长短，有三种可能：a=

30、1，即绳子长为1米时，两根绳子剩下的都是米，剩下部分一样长；a1，即绳子长超过1米时，a，第一根剪去的部分比第二根长，第二根剩下的比第一根长；a1，即绳子长小于1米时，a，第一根剪去的部分比第二根短，第一根剩下的比第二根长。练习2.8（1）()1、填空： 一袋糖2千克，它的是_克； 16米增加它的后是_米； 一堆煤720吨，用去了它的，还剩余_吨； 计划每天运货200吨，实际每天多运货，则5天共运货_吨； 比5米多米是_米，比5米多是_米； 为了加固河堤，需要向河中打入木桩，一根防洪木桩长7米，插入河中后，露出水面，其余的在河底的泥土中，则河水深_米； 某商店二月份的营业额比一月份增加，三月份

31、比一月份减少，二月份的营业额是三月份的_。2、 某年级有198人，其中女同学人数占全年级的，则该年级有女生多少人？ 某年级有学生444人，其中男生259人，则女生人数是男生的几分之几？ 某年级有女生93人，该年级男生占全年级人数的，则该年级共有学生多少人？3、小杰看一本书，第一天看了全书又多16页，第二天看了全书的少2页，第三天看完余下的88页，这本书共有多少页？4、小红去年体重27千克，现在比去年增加，小红现在的体重是多少？5、某年级原有学生420人，现在比原来增加了， 现在的学生是原来的几分之几？ 现在有学生多少人？6、一件商品原价800元，先提价，后降价，问这件商品的现价是多少元？7、某

32、小区的房价(平均价)原来是每平方米4200元，现上涨，以现在的售价购买一套100平方米的房子，房子总价为多少元？8、三个小组，第一小组人数是第二、第三小组人数和的，第二小组人数是第一、第三小组人数和的，第三小组有10人，问三个小组共有多少人？练习2.8（2）1、菜地里黄瓜获得丰收，收下全部的时，装满了4筐还多36千克，收完其余部分时，又刚好装满8筐，问：共收黄瓜多少千克？2、一列快车从甲城开往乙城要10小时到达，一列慢车从乙城开往甲城要15小时到达，两车同时从两城出发，相向而行，相遇时距离两城中点60千米，则甲、乙两城相距多少千米？3、甲、乙、丙三辆汽车运一批粮食，甲车运全部粮食的，甲车运的与

33、乙车运的相等，剩下的5200千克由丙车运，问这批粮食有多少千克？4、把一堆皮球分装在4个盒子里，其中放入甲盒，放入乙盒，放入丙盒的皮球是甲、乙两盒皮球总数的75%，丁盒放入10个皮球，问：这堆皮球一共有多少个？2.10速算与巧算() 基本思想方法：凑整和化繁为简，使运算简便。 常用巧算技巧： 以往整数、小数巧算的一些运算技巧，如凑整法、灵活运用四则运算法则、积不变性质、商不变性质等，在分式运算中同样适用。 分数数字较大而又接近整数值时，分析算式运算结构，有时可以将分式改写成“整数较小分数”的形式，使运算简便。 侧重分析分母或除数的特点，将分子与之接近，或找出共同点，运用四则运算法则进行凑整或简化。 代换法。仔细观察算式的规律，当某组数或某几组数有规律重复出现时，可想办法运用设数法，使计算简便。 诀窍：前后相减的两个表达式中，各取一个带括号独立的加式设为A、B，并且A、B中长的加式包含短的加式。 拆项相消法：在分数加法中把一些分数适当拆开，使得拆开后的一些分数早运算过程中可以互相抵消，简化运算。常用公式有： = ()例1：计算24 解：24=（1）24=24=23例2：计算：16641解：16641=（1642）41=16441241=4=4例3：计算：解：=1例4：计算：9解：原式=9=（9）=10=例5：计算(1+3+9)(1+3+9)解：原