专题五平面向量学生版

1、第八节平面向量【考点整合及典例分析】1.向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别.向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）.【例1】已知A（1,2），B（4,2），则把向量按向量（1,3）平移后得到的向量是_（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；（3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与共线的单位向量是)；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：，规定零向量和任何向量

2、平行. 向量（）与向量共线的充要条件为存在唯一实数使提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)；三点共线共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量是.【例2】下列命题：（1）若，则.（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.（3）若，则是平行四边形.（4）若是平行四边形，则.（5）若，则.（6）若，则.其中正确的是_2.向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（

3、2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示.如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.3.向量的运算运算几何运算坐标运算加法利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；设，则：向量的加法运算： .减法用“三角形法则”：设，由减向量的终点指向被减向量的终点.注意：此处减向量与被减向量的起点相同.设，则：向量的减法运算： .数乘实数与

4、向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：当0时，的方向与的方向相同，当0时，的方向与的方向相反，当0时，注意：0.数量积（1）两个向量的夹角：对于非零向量，作，称为向量，的夹角，当0时，同向，当时，反向，当时，垂直.（2）平面向量的数量积：如果两个非零向量，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即.规定：零向量与任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量. 向量的模：.两点间的距离：若，则.（1）交换律：，；（2）结合律：，；（3）分配律：，.提醒：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以

5、一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即，为什么？考点1、向量的线性运算【例3】化简：_；_；_【例4】若正方形的边长为1，则_ 变式1、若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为_ 变式2、若为的边的中点，所在平面内有一点，满足，设，则的值为_ _考点2、向量共线定理的应用【例5】已知点，若，则当_时，点P在第一、三象限的角平分线上【例6】已知，则 变式3、设，且，则C、D的坐标分别是_ 考点3、夹角问题【例7】已知均为单位向量，它们的夹角为，那么_ 【例8】ABC中，则_变式

6、4、已知，与的夹角为，则等于_ 变式5、已知，则等于 【例9】已知是两个非零向量，且，则的夹角为 【例10】已知向量（sinx，cosx）, （sinx，sinx）, （1，0）.（1）若x，求向量、的夹角；（2）若x，函数的最大值为，求的值 （3）在上的投影为，它是一个实数，但不一定大于0.【例11】已知，且，则向量在向量上的投影为 （4）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积.（5）向量数量积的性质：设两个非零向量，其夹角为，则：；当，同向时，特别地，；当与反向时，；当为锐角时，0，且不同向，是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，0，且不反向，是为钝角的必要非充分条件；非零向量，夹角的

7、计算公式：；.【例12】已知，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是_ 变式6、已知，若与的夹角为钝角，求的取值范围。【例13】已知的面积为，且，若，则夹角的取值范围是_ 变式7、已知与之间有关系式其中，用表示；求的最小值，并求此时与的夹角的大小考点4.平面向量的基本定理如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1e2.【例14】若，则_ _（用表示） 【例15】下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 ( ) A. B. C. D. 变式8、已知分别是的边上的中线,且,则可用向量表示为 考点5.向量平行(共线)的充要条件：0.【例16】

8、若向量，当_时与共线且方向相同 【例17】已知，且，则x_ 变式9、设，则k_ _时，A,B,C共线考点6.向量垂直的充要条件： .特别地.【例18】已知，若，则 变式10、已知向量，且，则的坐标是_8.向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；（2），特别地，当同向或有；当反向或有；当不共线(这些和实数比较类似).（3）在中，若，则其重心的坐标为.【例19】若ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则ABC的重心的坐标为_为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；的内心；（3）若P分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则，特别地