华师大八年级数学(上)复习提纲(共14页)

1、八年级华师大版数学（上）复习提纲 （20112012学年）PAGE PAGE 15第11章 数的开方(ki fng)11.1平方根与立方根一、平方根1、平方根的定义：如果(rgu)一个数的平方等于a，那么(n me)这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根）即：若x2=a，则x叫做a的平方根。2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。二、算术平方根1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平

2、方根的非负性：0。三、平方根和算术平方根是记号：平方根（读作：正负根号a）；算术平方根（读作根号a）即：“”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。其中a叫做被开方数。负数没有平方根，被开方数a必须为非负数，即：a0。四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。五、立方根1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根）即：若x3=a，则x叫做a的立方根。2、立方根的性质：（1）一个(y )正数的立方根为正；（2）一个(y )负数的立方根为负；（3）零的立方根是

3、零。3、立方根的记号(j ho)：（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。七、注意事项：1、“”、“”、“”的实质意义：“”问：哪个数的平方是a；“”问：哪个非负数的平方是a；“”问：哪个数的立方是a。2、注意和中的a的取值范围的应用。如：若有意义，则x取值范围是 。（x-30，x3）（填：x3） 若有意义，则x取值范围是 。（填：全体实数）3、。如：，4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。如：等。2和3怎么比较大小

4、？（你知道吗？不知道就问！）5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。如：确定的取值范围。，23。6、几个常见的算数平方根的值：，。八、补充的二次根式的部分内容1、二次根式的定义：形如（a0）的式子，叫做二次根式。2、二次根式的性质：(1)（a0，b0）；(2) （a0，b0）；(3) （a0）； (4) 3、二次根式的乘除(chngch)法：（1）乘法：（a0，b0）；（2）除法(chf)：（a0，b0）。11.2实数(shsh)与数轴一、无理数1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。2、常见的无理数：（1）开方开不尽的数。如：，等。（2）“”类的数

5、。如：，等。（3）无限不循环小数。如：2.1010010001，-0.234242242224，等二、实数1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。2、与实数有关的概念：（1）相反数：实数a的相反数为-a。若实数a、b互为相反数，则a+b=0。（2）倒 数：非零实数a的倒数为（a0）。若实数a、b互为倒数，则ab=1。（3）绝对值：实数a的绝对值为：3、实数的运算：有理数的所有运算法则及运算律均适用于实数的运算。4、实数的分类：（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。（2）按照(nzho)定义分为：5、几个(j )“非负数(fsh)”：（1）a20； （2）|a|0； （3）0。6、实数与

6、数轴上的点是一一对应关系。第12章 整式的乘除12.1幂的运算一、同底数幂的乘法1、法则：amanap=am+n+p+（m、n、p均为正整数） 文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：234=2+3+4=9；(-2)2(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；()3()4=()3+4=()7；(a+b)3(a+b)4(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。二、幂的乘方1、法则：(am)n=amn（m、n均为正整数）。推广：

7、(am)nps=amn p s 文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：(2)3=23=6；()34=()34=()12；(a-b)24= (a-b)24=(a-b)8（2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：amn= (am)n，如：a15= (a3)5= (a5)3三、积的乘方1、法则(fz)：(ab)n=anbn（n为正整数）。推广(tugung)：(acde)n=ancndnen 文字：积的乘方等于(dngy)把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(2

8、)3=222=42；()2=()2()2=23=6；(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；(a+b)(a-b)2=(a+b)2(a-b)2（2）运用时注意符号的变化。（3）注意该法则的逆应用，即：anbn =(ab)n；如：2333= (23)3=63，(x+y)2(x-y)2=(x+y)(x-y)2四、同底数幂的除法1、法则：aman=am-n（m、n均为正整数，mn，a0） 文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。2、注意事项：（1）a可以是实数，也可以是代数式等。如：43=4-3=；(-2)5(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4；()6()4=()6-4=()

9、2=2；(a+b)16(a+b)14= (a+b)16-14=(a+b)2=a2+2ab +b2（2）注意a0这个条件。（3）注意该法则的逆应用，即：am-n = aman；如：a x-y= axay，(x+y)2a-3=(x+y)2a(x+y)312.2 整式的乘法一、单项式与单项式相乘法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。如：(-5a2b2)(-4 b2c)(-ab)=(-5)(-4)(-)(a2a)(b2b2)c =-30a3b4c二、单项式与多项式相乘法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加

10、。如：(-3x2)(-x2)+(-3x2)2 x一(-3x2)1=三、多项式与多项式相乘法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。如：(m + n)(a + b)= ma+mb+na+nb (2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后(zuhu)将所得的积相加。如：(m+n)(a+b)= (m+ n)a+( m +n)b= ma+ na+mb+nb12.3 乘法(chngf)公式一、两数和乘以这两数的差1、公式(gngsh)：(a+b)(a-b)=a2-b2；名称：平方差公式。2、

11、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a)(2xy-a)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；(a+b+)( a+b -)=(2xy)2-a2=4 x2y2-a2；（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。（3）注意公式的来源还是“多项式多项式”。二、完全平方公式1、公式：(ab)2=a22a b+b2；名称：完全平方公式。2、注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：(+3)2=()2+23+32=2+6+9=11+6；(mn-a) 2=(mn)2

12、-2mna+ a2= m2n2-2mna+ a2；( a+b -)2=( a+b)2-2( a+b)+2= a2+2a b+b2-2a-b +2；（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。12.4 整式的除法一、单项式除以单项式法则：单项式相除，只要将它们(t men)的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。如：-21a2b3c3ab=(-213)a2

13、-1b3-1c =-7ab2c（2x2y）3（-7xy2）14x4y3 =8x6y3（-7xy2）14x4y3=8（-7）x6+1y3+214x4y3 =（-5614）x7-4y5-3=-4x3y25（2a+b）4（2a+b）2=（51）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2二、多项式除以单项式法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别(fnbi)去除以单项式，再将所得的商相加。如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)(-7x2y)=21x4y3(-7x2y)-35x3y2(-7x2y)+ 7x2y2(-7x2)=-3x2y2+5x

14、y-y4y(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)= 4y(2x-y)(2x-y)-2x(2x-y)(2x-y)=4y-2x整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除(chngch)，最后加减，括号优先。12.5 因式分解一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）因式分解与整式乘法互为逆运算二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照

15、乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)；如：8a2b-4ab+2a=2a4ab-2a2b+2a1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5 aa+5a5=-5 a(a+5)(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。1、平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b)；名称：平方差公式。注意事项：（1）a、b可以(ky)是实数，也可以是代数式等。如：102-92 =(1

16、0+9)(10-9)=191=19；4 x2y2-a2=(2xy)2-a2=(2xy+a)(2xy-a)；（2）注意(zh y)公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能(cinng)用平方差公式。（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。2、完全平方公式：(ab)2=a22a b+b2；名称：完全平方公式。注意事项：（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。如：m2n2-2mna+ a2=(mn)2-2mna+ a2=(mn-a)2；x2+4xy+y2=x2+2x2y+(2y)2=( x+2 y)2（2）注意公式运用时的对位“套用”；（3）注意公式中“中间的乘积项的符

17、号”。四、补充分解法：1、公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)( x+b)。如：x2+5x+6= x2+(2+3)x+23=(x+2)( x+3)；x2+5x-6=x2+6+(-1)x+6(-1)=(x+6)( x-1)2、“十字相乘法”如：=(x+2)( x+7) =(x+2)( x-4) 1 2 1 2 1 7 1 -4 2 + 7=9 2 + (-4)=-2五、综合1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先

18、把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。3、注意事项：（1）注意(zh y)（a-b）与（b-a）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以(ky)继续分解；（3）现阶段的因式分解(fnji)的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。全等三角形13.1命题与证明知识点1、 命题的概念叙述一件事情的句子（陈述句），要么是真的，要么是假的，那么称这个陈述句是一个命如“你是一个学生”、“我们所使用是教科书是湘教版

19、的”等。注意：（1）命题必须是一个完整的句子。 （2）这个句子必须对某事情作出肯定或者否定的判断，二者缺一不可。知识点2、 命题的结构每个命题都有条件和结论两部分组成。条件是已知的事项，结论是由已知事项推断出的事项。一般地，命题都可以写出“如果，那么”的形式。有的命题表面上看不具有“如果，那么”的形式，但可以写成这种形式。如：“对顶角相等”，改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。例 把下列命题改写成“如果，那么”的形式，并指出条件与结论。同角的余角相等 2、两点确定一条直线知识点3、 真命题与假命题如果一个命题叙述的事情是真的，那么称它是真命题；如果一个命题叙述的事情是假的，那么称它

20、是假命题 注意：真、假命题的区别就在于其是否是正确的，在判断命题的真假时，要注意把握这点。知识点4、 证明及互逆命题的定义从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，这个过程叫作证明。注意：证明一个命题是假命题的方法是举反例，即找出一个例子，它符合命题条件，但它不满足命题的结论，从而判断这个命题是假命题。一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题称为互逆的命题，其中的一个命题叫作另一个命题的逆命题。注意：一个命题为真不能保证它的逆命题为真，逆命题是否为真，需要具体问题具体分析。例 说出下列命题的逆命题，并指出它们的真假。直角三角形的两锐角互余； （2）全等三角

21、形的对应角相等。知识点5、 基本事实与定理数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其它命题真假的原始依据，这样的真命题叫做基本事实。以基本定义和公理作为推理的出发点，去判断其他命题的真假，已经判断为真的命题称为定理。注意：（1）基本事实是不需要证明的，它是判断其他命题真假的依据，定理是需要证明； (2 ) 定理都是真命题，但真命题不一定都是定理。例 填空：（1）同位角相等，则两直线 ；（2）平面内两条不重合的直线的位置关系是 ；（3） 四边形是平行四边形。知识点6、 互逆定理 如果一个定理的逆命题也是定理，那么称它是原来定理的逆定理，这两个定理称为互逆定理。注意：每

22、个命题都有逆命题，但并非所有的定理都有逆定理。如：“对顶角相等”就没逆定理。知识点7、 证明的含义从一个命题的条件出发，通过讲道理（推理），得出它的结论成立，从而判定该命题为真，这个过程叫做证明。推理证明的必要性：判断猜想的数学结论是否正确，仅仅依靠经验是不够的，必须一步一步，有理有据地进行推理。证明命题的步骤：由题设出发，经过一步步的推理最后推出结论（书证）正确的过程叫做证明。证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”，这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、基本事实，在此以前学过的定理。（证明命题的格式一般为：1）按题意画出图形；2）分清命题的条件和结论，结合图形在“已知”中写出条件，在

23、“求证”中写出结论；3）在“证明”中写出推理过程）证明的四个注意 (1)注意：公理是通过长期实践反复验证过的，不需要再进行推理论证而都承认的真命题： 公理可以作为判定其他命题真假的根据. (2)注意，定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；一般选择一些最基本最常用的真命题作为定理，可以以它们为根据推证其他命题. 这些被选作定理的真命题，在教科书中是用黑体字排印的. (3)注意：在几何问题的研究上，必须经过证明，才能作出真实可靠的判断。如“两直线平行，同位角相等”这个命题，如果只采用测量的方法. 只能测量有限个两平行直线的同位角是相等的. 但采用推理方法证明两平行直线的同位角相等，那么就可以确信

24、任意两平行直线的同位角相等. (4)注意：证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”. 论据必须是真命题，如；定义、公理、已经学过的定理和已知条件；论据的真实性不能依赖于论证的真实性；论据应是论题的充足理由.13.2全等三角形一、全等形1、定义：能够完全(wnqun)重合的两个图形叫做全等图形，简称全等形。2、一个图形经过翻折、平移和旋转等变换后所得到的图形一定与原图形全等。反之，两个全等的图形经过上述(shngsh)变换后一定能够互相重合。二、全等多边形1、定义：能够完全重合的多边形叫做(jiozu)全等多边形。互相重合的点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。AB

25、CABC2、性质：（1）全等多边形的对应边相等，对应角相等。（2）全等多边形的面积相等。三、全等三角形1、全等符号：“”。如图，记作：ABCABC。读作：三角形ABC全等于三角形ABC。2、全等三角形的判定定理（1）有两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等。（即SAS，“边角边”）（2）有两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等。（即ASA，“角边角”）（3）有两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等。（即AAS，“角角边”）（4）有三边对应相等的两三角形全等。（即SSS，“边边边”）（5）有斜边和一条直角边对应相等的两直角三角形全等。（即HL，“斜边直角边”）3、全等三角形的作用（1）用于直

26、接证明线段相等，角相等。（2）用于证明直线的平行关系、垂直关系等。（3）用于测量人不能的到达的路程的长短等。（4）用于间接证明特殊的图形。（如证明等腰三角形、等边三角形）。（5）用于解决有关等积等问题。13.3等腰三角形知识(zh shi)梳理】一、等腰三角形的性质(xngzh)1、有关定理(dngl)及其推论定理：等腰三角形有两边相等；定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60。等腰三角形是以底边的垂直平

27、分线为对称轴的轴对称图形；2.定理及其推论的作用等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。二、等腰三角形的判定1.有关的定理及其推论定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。）推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。推论2：有一个角等于60的等腰三角形是等边三角形。推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。2

28、.定理及其推论的作用。等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。3.等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。13.4尺规作图尺规作图的定义(dngy)：尺规作图是指用没有(mi yu)

29、刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用(chn yn)的尺规作图,通常称基本作图。一些复杂的尺规作图都是由基本作图组成的。五种基本作图：1、作一条线段等于已知线段； 2、作一个角等于已知角； 3、作已知线段的垂直平分线； 4、作已知角的角平分线； 5、过一点作已知直线的垂线；题目一：作一条线段等于已知线段。已知：如图，线段a .求作：线段AB，使AB = a .作法：作射线AP；在射线AP上截取AB=a .则线段AB就是所求作的图形。题目二：作已知线段的中点。已知：如图，线段MN.求作：点O，使MO=NO（即O是MN的中点）.作法：（）分别以M、N为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧相交于P，

30、Q；（）连接PQ交MN于O则点O就是所求作的的中点。（试问：PQ与有何关系？）题目三：作已知角的角平分线。已知：如图，AOB，求作：射线OP, 使AOPBOP（即OP平分AOB）。作法：（1）以O为圆心，任意长度为半径画弧，分别交OA，OB于M，N；（2）分别以M、为圆心，大于的相同线段为半径画弧，两弧交AOB内于；作射线OP。则射线OP就是AOB的角平分线。题目四：作一个角等于已知角。（请自己写出“已知”“求作”并作出图形，不写作法）题目(tm)五：已知三边作三角形。已知：如图，线段(xindun)a，b，c.求作：ABC，使AB = c，AC = b，BC = a.作法(zu f)：作线段AB = c；以A为圆心b为半径作弧，以B为圆心a为半径作弧与前弧相交于C；连接