合同变换法ppt课件

1、2 合同变换法1 二次型的规范形 2 规范形平方和的方式？假设能，如何作非退化线性交换？ 问: 恣意二次型能否经过适当非退化线性交换化成二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角阵第五章 二次型 2 规范形 证明：对二次型变量个数n作归纳法.假定对n1元二次型结论成立. 下面思索n元一、二次型的规范形线性交换化成平方和的方式.定理1 数域P上任一二次型都可经过非退化n=1时， 结论成立.二次型1、恣意二次型的化简配方法第五章 二次型 2 规范形 第五章 二次型 2 规范形 这里， 是一个.的n1元二次型.配方法第五章 二次型 2 规范形 它是非退化的，且使第五章 二次型 2 规范

2、形 使它变成平方和 于是，非退化线性交换 由归纳假设，对 有非退化线性交换第五章 二次型 2 规范形 就使 变成2 但至少有一个 无妨设 作非退化线性交换： 第五章 二次型 2 规范形 不为零.由情形1知，结论成立.那么 这是一个 的二次型，且 的系数 第五章 二次型 2 规范形 这是一个n1元二次型，由归纳假设，结论成立. 总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性交换化成平方和的方式.即3 由对称性， 第五章 二次型 2 规范形 2、二次型的规范形的定义所变成的平方和方式注：1由定理1任一二次型的规范形是存在的. 2可运用配方法得到二次型的规范形.二次型 经过非退化线性交换 的一个规范形.

3、 称为 第五章 二次型 2 规范形 那么 解：作非退化线性交换 例1、求的规范形.第五章 二次型 2 规范形 或 最后令 那么 或 再令 第五章 二次型 2 规范形 所作的非退化线性交换是 即 那么 第五章 二次型 2 规范形 定理2 数域P上任一对称矩阵合同于一个证：对A的级数作归纳法.假定对n1级对称矩阵结论成立，思索n级矩阵A，分四种情形讨论： 使CAC为对角矩阵 即 假设 AA ，那么存在可逆矩阵n1时，为对角阵,结论成立.设对角矩阵.第五章 二次型 2 规范形 这里这里A1为n1级对称矩阵.第五章 二次型 2 规范形 那么 这里 是n1级对称矩阵，第五章 二次型 2 规范形 为对角矩

4、阵.由归纳假设，存在可逆矩阵G，使 为对角矩阵.令 那么令 那么C可逆，且 为对角矩阵.第五章 二次型 2 规范形 其中 归结为情形1，结论成立.令 ，那么 3) 但有一个 那么 令 显然 2) 但有一个 第五章 二次型 2 规范形 归结为情形1. 那么 4) 由对称性, 有于是 为n1级对称矩阵.第五章 二次型 2 规范形 为对角矩阵.为对角矩阵. 由归纳假设，有n1级可逆矩阵G，使 令那么第五章 二次型 2 规范形 例2根据定理2，求例1中二次型的规范形.令解：的矩阵为第五章 二次型 2 规范形 令令第五章 二次型 2 规范形 为对角矩阵.第五章 二次型 2 规范形 作非退化线性交换XCY，那么即得 的规范形第五章 二次型 2 规范形 另解: 取取取第五章 二次型 2 规范形 那么第五章 二次型 2 规范形 二、合同的变换法1互换矩阵的 两行，再互 换矩阵的 两列;1.定义：合同变换是指以下三种变换 2以数 k ) 乘矩阵的第 i 行；再以数 k 乘3将矩阵的第i行的k倍加 到第 行，再将第 列的k倍加到第 列 ). 矩阵的第 i 列.第五章 二次型 2 规范形 2. 合同变换法化二次型为规范形又，设对称矩阵A与对角矩阵D合同，那么存在可逆矩阵根本原理：C, 使. 假设 为初等阵，那么 第五章 二次型 2 规范形 对E施行同样的初