教师版-5升602数论综合三

1、五升六暑期第 02 讲数论综合（三）基础知识（1）公约数和最大公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。例如：12 的约数有：1，2，3，4，6，12；18 的约数有：1，2， 3，6，9，18。12 和 18 的公约数有：1，2，3，6.其中 6 是 12 和 18 的最大公约数，记作（12，18）=6。提问：为什么不最约数？因为任意两个非零自然数的最约数都为 1，所以没有必要。（2）公倍数和最叫做这几个数的最倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，倍数。例如：12 的倍数有：12，24，36，48，60，72，18 的倍

2、数有：18，36，54，72，12 和 18 的公倍数有：36，72，.其中 36 是 12 和 18 的最数，记作12，18=36。倍提问：为什么不最大公倍数？因为最大公倍数无穷大，找不出来，所以没有必要。互质数:如果两个数的最大公约数是 1，那么这两个数叫做互质数。即(a,b)=1,则 a 与 b互质。除，除以、被除，整除，被整除，等概念区分：巧计：除，除以，被除有用，其他字眼忽略。A 除以 B， A 被 B 除，B 除 A，用 B 去除 A，A 能被 B 整除， B 整除 A，可写成 AB 的形式。求最大公约数，最多个数求大公约，倍。最大公约数与最倍数的方法：短除法，辗转相除法（算法）。

3、倍的方法：分解质因数后取公共部分得大公约，取高次方得倍数关系：（a，b）a，b=ab，证明过程见例题。（7）所有约数个数公式：严格分解质因数后，指数加 1 再连乘。（每个因子有不取,取 1,取 2种取法）奇约数个数公式：严格分解质因数后，奇因子的指数加 1 再连乘。(不能取 2)偶约数个数公式：严格分解质因数后，因子 2 的指数乘以其他因子的指数加 1 的积。（必须取2）含因子 A 的约数个数：严格分解质因数后，A 的指数乘以其它因子的指数加 1 后的乘积。（必须取 A）所有约数和公式:严格分解质因数后，质因子从 0 次方加到最高次方再连乘（每个因子指数加1 种取法）奇约数的和：严格分解质因数

4、后，奇因子从 0 次方加到最高次方再连乘。（不能取 2）偶约数的和：因子 2 从 1 次方加到最高次方乘以其它因子从 0 次方加到最高次方的积。（必须取 2）含因子约数A 的和：因子 A 从 1 次方加到最高次方乘以其它因子从 0 次方加到最高次方的积。(必须取 A)（8）只有完全平方数才有奇数个约数，只有质数的平有 3 个约数。一般的数有偶数个约4000-636-566，群,536464661/ 8数，且约数成对出现。1-21 的这 21 个数的平方要求学员要熟记，会在各种题型中用到。A：整除特征：(1)能被 2 整除的数，看末 1 位（个位）能被 5 整除的数，看末 1 位原因：25=10

5、原因：425=100 原因：8125=1000原因：16625=10000能被 4 整除的数，看末 2 位能被 8 整除的数，看末 3 位能被 16 整除的数，看末 4 位能被 3(或 9)整除的数，任意 能被 25 整除的数，看末 2 位能被 125 整除的数，看末 3 位 能被 625 整除的数，看末 4 位，看数（字）之和除以 3（或 9）。(6)能被 99 整除的数，两位一段，看和除以 99 的余数。能被 7、11、13 整除的数，从低位开始，每 3否整除。原因：71113=1001能被 11 被整除的数，从低位开始，每 1除。B：被 7,13 整除的几种常用形式：，奇位和偶位和，以大

6、减小，看差能，奇位和偶位和，以大减小，看差能否整ababab= ab10101=ab371337abcabc=abc1001=abc71113abcdabcdabcd=abcd100010001=abcd3713379901C：求末几位的整除数，常用试除法。十进制与二进制的互相转化，当写上一个数目 1997 时，实际上意味着使用了“十进制”数，即1997=11000+9100910+71也就是说：1997 中含有一个 1000，九个 100，九个 10 与七个 1。二进制数 10 表示十进制数 2；二进制数 100，表示十进制数 4；二进制数 1000，表示十进制数 8；二进制数 10000

7、表示十进制数 16；可以看出规律：二进制数 100000 应该表示十进制数 32，。那么写下一个二进制数 10110，则应表示它含有一个 16，一个 4 与一个 2，也就是 10110=116+08+14+12+01明白了上面所说的两点，则二进制与十进制之间的转化的道理就容易懂了。为了叙述的方便，约定：用（ ）2 表示括号内写的数是二进制数，如（1011）2；用（ ）10 表示括号中写的数是十进制数，如（37）10。用“短除求余、逆序求解”的方法，可以把十进制数改写十进制数。如，将 37 改写成二进制数，可以按下面的方法进行换算：所以37（100101）2【经典例题】(本题很重要，知识点丰富)

8、数 360 的约数有多少个?这些约数的和是多少?有多少个奇约数？奇约数的和为多少？含因子 2 的约数？含因子 2 的约数的和？【分析与解】（1）360 分解质因数:360=222335=23325；由乘法原理取因子 2 共有 4 种取法：0，1，2，3取因子 3 共有 3 种取法：0，1，2取因子 5 共有 2 种取法：0，1：4000-636-566，群,536464662/ 8所以约数有（3+1）(2+1) (1+1)=24 个约数。（2）所有约数的和： (1+2+22+23)(1+3+32)(1+5)=1170（3）求奇约数个数，也就是含因子 2 的不取，由乘法原理个奇约数个数：(2+1

9、)(1+1)=6（4）奇约数的和：不计含因子 2 的，由乘法原理：(1+3+32)(1+5)=78（5）含因子 2，则因子 2 不能取 0 次，所以含因子 2 的约数个数为 3(2+1) (1+1)=18 个约数。余数考点1、被除数除数=商余数，被除数=除数商+余数2、和差积的余数同余余数的和差积，考周期时，周期一般不超过 30。3、求除数用同余定理，关键在于找出除数 x 的倍数。余数不同时通过加法乘法化成相同。ax 余 r, bx 余 r，则| |是 x 的倍数,x 是| |的约数。ax 余 r, bx 余 2r，则|2 |是 x 的倍数,x 是|2 |的约数。4、个位数字：（a 是常数）的

10、个位数字都可以看成 4 次方 1 个周期。除以 10 或除以 5 所得余数都可以看成 4 次方 1 周期。除以非 10 非 5 所得余数的周期没有固定规律，细心求解。5、日期与：包含与不包含两种思考方式，注意区分。6、数列数表的周期问题，常用余数求解，以简化题目难度，方便求解。7、求被除数 x 用余数三大类问题: 逐步满足条件法求出最小解。加上倍的倍数得到通A：x=最倍数的倍数+余数x31，则 x=2, 3n+1=6n+1倍数的倍数-差x32，则 x+1=2, 3n=6n,x=6n-1x21, B：差同：x=最 x21,C：都不同：用不定方程，对较小的系数求余数，逐步满足条件法求出最小倍的倍数

11、得到通解。例题中讲解方法，常考难点。加上如果7338的结果是99 的倍数，那么所代表的两位数是。【】因为 99=119，根据 9 和 11 的倍数特征 73 不可能是 11 的倍数只能是 9 的倍数，所以=8；38要想是 11 的倍数=5；=85。两个数的最倍数是 1650。这两个整数分别除以它们的最大公约数，得到的两个商的和是 13。这两个整数分别是多少？【】1650235511。在 1650 的约数中，互质且和为 13 的只有 2，11 和 3， 10。 165021175；752150，7511825；165031055553165，5510550,这两个整数是 150，825 或 16

12、5，550。4000-636-566，群,536464663/ 8(199419941995199519961996)1997199719981998 算式的个位数是多少？（注：1994 是 1994 个 1994 相乘）【】19941994 的个位数是 6，19951995 的个位数是 5，19961996 的个位数是 6。1997n 的个位数字，按照 7、9、3、1 循环，19974 余数是 1，19971997 的个位数是 7。1998n 的个位数字，按照 8、4、2、6 循环，19984 余数是 2，19981998 的个位数是 4。因此，题中算式的个位数与(656)74 的个位数相同

13、。所以，所求的个位数是 6。一个自然数，除以 11 时所得到的商和余数是相等的，除以 9 时所得到的商是余数的 3 倍，这个自然数是。【】设这个自然数除以 11 余a (0 a 11) ，除以 9 余b (0 b 9) ，则有11a a 9 3b b ，即3a 7b ，只有a 7 ， b 3 ，所以这个自然数为12 7 84 。找出这样一组连续的三个自然数使它们从小到大分别是 3、5、7 的倍数。满足条件的自然数最小的一组是那三个数？【】可以先从这组数中最大的一个数入手，这个数除以 7 余 0，除以 5 余 1，除以 3 余 2。根据剩余定理不难找到这个数是 56；那么这组数从小到大分别是 5

14、4、55、56。家的号码是个七位数，它恰好是一个 100 以内最大的质数与另外几个连续质数的乘积，这个积的后四位恰好是前三位的 10 倍，家的号码是。【】号码的个位是 0，并且形如。1001101001102571113所以这个号码是 97 与从 2 开始的若干个连续质数的乘积。经测算，得到 97235711132912910在 724 左边添上一个数字 a，右边添上一个数字 b，组成一个五位数，如果这个五位数是 12 的倍数，那么 ab 的最大值是。【】因为是 12 的倍数，必是 4 的倍数，所以 b 最大是 8。4000-636-566，群,536464664/ 8又因为必是 3 的倍数，

15、所以（a724b）是 3 的倍数，所以 a 最大是 9。ab 的最大值是 8972。答：ab 的最大值是 72。N 为正整数，将它除以 10 余数为 9；将它除以 9 余数为 8；将它除以 8 余数为7；将它除以 2 余数为 1。请问满足上述条件的 N 的最小值是多少？【】10、9、8、7、6、5、4、3、22520。252012519。问 101102103199200 这 100 个数的乘积的末尾有多少个连续的零？200200200100100】 + -=2525【5251255(1)211（5）=】（1）211（5）=56（10）（2）2011（10）=（10）（2）【（2）2011（1

16、0）=11111011011（2）起 102007 天后的那一天是若是六，从几？【】因为 1073,10272，10376，10474，10575，10671，余数是 6 个一循环。200763；第三个余数是 6，从周六开始数六个后面的一天是周五。一个自然数最小的两个因数的和是 4，最大的两个因数的和为 540，那么这个自然数一共有多少个因数？【】一个自然数最小的因数是 1，所以这个数的第二小的因数是 4-1=3，那么这个数就是它第二大因数的 3 倍。这个数是 540（3+1）3=405,405=53333，这个数的因数个数为（4+1）（1+1）=10（个）。一个自然数可以分解为三个质因数的积

17、。如果 3 个质因数的平方和是7950，这个自然数是。4000-636-566，群,536464665/ 8【】3 个质数的平方和7950。这是一个偶数，因此这 3 个质数中必有 2。另外两个质222数均为奇质数。设为 p ，p ,则 + =7950-2 =79461212由于奇数的平方的个位数只能取值 1、5、9。但 7946 的个位数是 651，所以2，2的12个位数只能是 1 和 5。由于 15、25、35均不是质数，所以，这个奇质数只能是 5。于是又有2=7946-52=7921=8921所以自然数为 2589890。若 2836，4582，5164，6522 四个自然数都被同一个自然

18、数相除，所得余数相同且为两位数，除数和余数的和为。【】设除数为 A。因为 2836，4582,5164，6522 除以 A 的余数相同，所以他们两两之差必能被 A 整除。又因为余数是两位数，所以 A 至少是两位数。 5164 4582 582 ，6522 5164 1358 ，因为(582,1358) 194 ，所以 A 是 194 的大于 10 的约数。194 的大于 10 的约数只有 97 和 194。如果 A 194 ， 2386 194 14 120 ，余数不是两位数，与题意不符。如果 A 97 ，经检验，余数都是 23，除数 余数 97 23 120 。自然数的平方按从小到大排成 、

19、 、 、个位置的数字是几？、 、.问第 612【】13 的平方是一位数，占去 3 个位置；49 的平方是二位数，占去 12 个位置；1031 的平方是三位数，占去 66 个位置；3299 的平方是四位数，占去 272 个位置；将 1 到 99 的平方排成一行，共占去 31266272353 个位置，从 612 减去 353，还有 259 的平方。2595154。从 100 起到 150，共 51 个数。它们的平方都是五位数，要占去 259 个位置中的 255 个从左到右的每 4 个位置上是 0，这就是本题的，即第 612 个位置上的数是 0。1122334455667

20、78899 除以 3 的余数是几？】上式各项中，33、66、99 除以 3 余数得 0，所以只须看表达式 112244557788。任何不是 3 的倍数的自然数，必可表示为 3k1 或 3k2，其中 k 是某个非负【除以 3整数。而(3k1)29k26k1,(3k2)29k212k31。可见，不是 3 的倍数的自然数的平方，除以 3 余数都是 1，即都可表示为 3 的某数的倍数加 1。4000-636-566，群,536464666/ 8令 111，2231，44(42)23m 1，55(52)25(3m 1)(32)9m 36m 2122272 383m32，7 (7 ) 7(3m41)(6

21、1)3m51，8 8423m61。综上可见，原式除以 3 的余数，是 1112117 除以 3 的余数，所以余数是 1。若数20182018n个2018201801可被 11 整除。请问 n 的最小值是多少？【】偶数位数字和:1(80)n18n。奇数位数字和:0(12)n3n。于是，18n3n15n，即(15n)要被 11 整除。N 最小取 2。课堂中的例题建议重做一遍，再做课后练-3 道不会为正常现象。1四个连续自然数的和等于 54，那么这四个数的最倍数的是 _。10【】这四个数中间两个数的和为 5424=27, 27=13+14 ，那么这四个数为 12,13,14,15112,13,14,

22、15=5460。5460 =546。10一些四位数，百位数字都是3，十位数字都是6，并且他们既能被2 整除又能被3 整除。甲是这样四位数中最大的，乙是最小的，则甲乙两数的千位数字和个位数字（共四个数字）的总和是。【】设这个四位数为 A36B，因为甲是最大的，所以 A=9，根据 2,3 的整除特征 B=6。乙是最小的 A=1 那么 B=2。那么和为 1+2+6+9=18。化(1325)8 为二进制数。【】二进制数与八进制数有着特殊的关系，这是因为 2以，一位八进制数相当于三位二进制数，如：(1)8(001)2 (2)8(010)2 (3)8(011)2 (4)8(110)2(5)8(101)2 (6)8(110)2 (7)8(111)2所以，(1325)8(001011010101)2(1011010101)2。4000-636-5