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文档简介

1、一元二次方程典型应用二、目标分析知识与技能:能根据问题中的数量关系,列出一元二次方程。提高数学建模能力,观察归纳能力,问题意识能力。过程与方法:经历将实际问题抽象为数学问题的过程,探索问题中的数量关系,并能运用一元二次方程对之进行描述。情感、态度与价值观:通过用一元二次解决实际问题,体会数学知识应用的价值,了解数学对促进社会进步和发展的作用。体会做数学的快乐,培养用数学的意识。重难点分析重点:列一元二次方程解实际问题难点:发现问题中的等量关系复习问题,提出新知1.列方程解应用题的基本步骤怎样?(1)审题:透彻理解题意,明确哪些是已知数,哪些是未知数,以及它们之间的关系。 (2)设未知数:根据题

2、意,可直接设未知数,也可间接设未知数,未知数必须写明单位,语言叙述要完整。 (3)列代数式和方程:根据题中给出的条件,用含有所设未知数的代数式表示其他未知数,利用等量关系,列出方程或方程组,一般列方程的个数与所设未知数的个数相同。 (4)解方程或方程组应注意解题技巧,准确地求出方程或方程组的解。 (5)检验答案:解应用题要检验有无增根,又要检验是否符合题意,最后做出符合题目要求的答案。.注:(1)在这些步骤中,审题是解题的基础,列方程是解题的关键。 (2)在列方程时,要注意列出的方程必须满足以下三个条件: a,方程两边表示同类量 b,方程两边的同类量的单位一样 c,方程两边的数值相等 2.解一

3、元二次方程有哪些方法?直接开平方法配方法公式法因式分解法3.一元二次方程常见应用题有哪些类型?(1)增长率问题 (2)商品定价(3)储蓄问题 (4)趣味问题(5)古诗问题(年龄问题)(6)情景对话 (7)等积变形 (8)动态几何问题增长率问题例1恒利商厦九月份的销售额为200万元,十月份的销售额下降了20%,商厦从十一月份起加强管理,改善经营,使销售额稳步上升,十二月份的销售额达到了193.6万元,求这两个月的平均增长率.考点:一元二次方程的应用专题:增长率问题分析:本题设这两个月的平均增长率是x,十月份的销售额为200(1-20%)万元,十一月份的销售额为200(1-20%)(1+x)万元,

4、十二月份在十一月份的基础上增加x,变为200(1-20%)(1+x)(1+x)即200(1-20%)(1+x)2万元,进而可列出方程,求出答案解答:解:设这两个月的平均增长率是x,十一月份的销售额达到200(1-20%)+200(1-20%)x=200(1-20%)(1+x),十二月份的销售额达到200(1-20%)(1+x)+200(1-20%)(1+x)x=200(1-20%)(1+x)(1+x)=200(1-20%)(1+x)2,200(1-20%)(1+x)2=193.6,即(1+x)2=1.21,所以1+x=1.1,所以x=-11.1,即x1=0.1,x2=-2.1(舍去)答:这两个

5、月的平均增长率是10%点评:此类题目旨在考查增长率,要注意增长的基础,另外还要注意解的合理性,从而确定取舍商品定价例2某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价一元,商场平均每天可多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?考点:一元二次方程的应用专题:定价问题分析:设每件衬衫应降价x元,则每件盈利40-x元,每天可以售出20+2x,所以此时商场平均每天要盈利(40-x)(20+2x)元,根据商场平均每天要盈利=1200元,为等量关系列出方程求解即可解:设每

6、件衬衫应降价x元,则每件盈利40-x元,每天可以售出20+2x,由题意,得(40-x)(20+2x)=1200,即:(x-10)(x-20)=0,解,得x1=10,x2=20,为了扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存,所以x的值应为20,所以,若商场平均每天要盈利12O0元,每件衬衫应降价20元 点评:本题主要考查一元二次方程的应用,关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解 储蓄问题例3王红梅同学将1000元压岁钱第一次按一年定期含蓄存入“少儿银行”,到期后将本金和利息取出,并将其中的500元捐给“希望工程”,剩余的又全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下调到第一次存款时年利率的90%,这

7、样到期后,可得本金和利息共530元,求第一次存款时的年利率.(假设不计利息税)解 设第一次存款时的年利率为x. 则根据题意,得1000(1+x)500(1+0.9x)530.整理,得90 x2+145x30. 解这个方程,得x10.02042.04%,x21.63.由于存款利率不能为负数,所以将x21.63舍去. 答 第一次存款的年利率约是2.04%. 趣味问题例4一个醉汉拿着一根竹竿进城,横着怎么也拿不进去,量竹竿长比城门宽4米,旁边一个醉汉嘲笑他,你没看城门高吗,竖着拿就可以进去啦,结果竖着比城门高2米,二人没办法,只好请教聪明人,聪明人教他们二人沿着门的对角斜着拿,二人一试,不多不少刚好

8、进城,你知道竹竿有多长吗?解:设竹竿的长度为X,那么X=(X-4)+(X-2)=X-8X+16+X-4X+4=2X-12X+20,平移过来,X-12X+20=0(X-10)x(X-2)=0X取10或2,由于2不符合标准,故舍去,得X=10米答:竹竿长10米。古诗问题(年龄问题)例5读诗词解题:(通过列方程式,算出周瑜去世时的年龄). 大江东去浪淘尽,千古风流数人物; 而立之年督东吴,早逝英年两位数; 十位恰小个位三,个位平方与寿符; 哪位学子算得快,多少年华属周瑜?解:设十位是X ,则个位数是(X+3) 两位数就表示成10X+(X+3)=11X+3 所以用“各位平方与寿符”做等量,列方程 11

9、X+3=(X+3)2 X2-5X+6=0 (X-2)(X-3)=0 X1=2或X2=3 X1+3=5 X2+3=6 可得两组解,25或36,因为已知“而立之年督东吴”(而立之年为30岁), 所以一定比30大. ,25就要舍去。可得周瑜去世的年龄为36岁。 情景对话例6春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游,推出了如图1对话中收费标准. 某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27000元.请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?图1如果人数超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低20元,但人均旅游费用不得低于700元.如果人数不超过25人,人均旅游费用为1000元

10、.考点:一元二次方程的应用分析:设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游依题意列方程求解解答:解:设该单位这次共有x名员工去天水湾风景区旅游因为100025=2500027000,所以员工人数一定超过25人可得方程1000-20(x-25)x=27000整理得x2-75x+1350=0,解得x1=45,x2=30当x1=45时,1000-20(x-25)=600700,故舍去x1;当x2=30时,1000-20(x-25)=900700,符合题意答:该单位这次共有30名员工去天水湾风景区旅游点评:本题考查的是一元二次方程的应用,难度不大等积变形例7将一块长18米,宽15米的矩形荒地修建成一个

11、花园(阴影部分)所占的面积为原来荒地面积的三分之二.(精确到0.1m)(1)设计方案1(如图2)花园中修两条互相垂直且宽度相等的小路.(2)设计方案2(如图3)花园中每个角的扇形都相同.以上两种方案是否都能符合条件?若能,请计算出图2中的小路的宽和图3中扇形的半径;若不能符合条件,请说明理由.图3图2考点:一元二次方程的应用专题:应用题分析:(1)设出小路的宽度为x米,表示出两条小路的面积,而小路的面积为原来荒地面积的三分之一,列出方程解答即可;(2)设出扇形的半径为y米,则四个扇形的面积和恰好等于一个圆的面积,而四个扇形的面积和为原来荒地面积的三分之一,列出方程解答即可解答:解:(1)设小路的

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