第4章 指数与对数综合测试（教师版）

1、第4章指数与对数综合测试一、单项选择题1.假设正数x, y满足/=16, y4 =81,1.假设正数x, y满足/=16, y4 =81,那么x+y=()D. 17D. 3A. 5B. 1C. 13【答案】A【解析】【分析】先求出龙，值，然后计算冗+即可.【详解】由d=16, y4 =81,得x = 2,y = 3所以x+y = 5应选：A.假设log*方=-3,那么x=()A. 81B. C.一813【答案】D【解析】【分析】将对数式转化为指数式即可求解.【详解】解：因为1叫工=-3,所以=，即工3=27, 2727应选：D.2.对数式log(川 (Z)有意义，那么。的取值范围为() 1 4

2、-aA. (-1,4)B. (-l,O)U(O,4)C.1,2,3C.1,2,3D. 0,123【答案】C【解析】。32。3 q64X2_4户+ 2”加+ aa-Sb2 J14 护 + 2cGB + a后叶(log6 6 -log6 3)2 + log6 2 (log6 3 + 1)原式= 210g6 2二(log6 2)2 + og6 2 . og6 3 + . 2210g62=log6 2(log6 3 + log6 2 + l)210g6 2J + log66 = 219.我们知道，任何一个正实数N可以表示成N = axlO(L,a10, Z),此时lgN = + lga (0,lga0

3、时，N是+ 1位数.(1)试用上述方法，判断2小是多少位数(怆2。0.3010 )；(2)当。时，你有怎样的结论？【答案】(1)31； (2) N是小数点后面有+ 1个零的小数.【解析】【分析】(1)由怆21。30.10即得；(2)由 lgN = + lga 可得.【详解】V 1g 2100 = 1001g 2 100 x 0.3010 = 30.10 = 30 + 0.10 ,/. = 30 ,2是是位数;(2)当0,N = 2xl(T3gN = 3 + lg2, = 3, N = 0.002是小数点后面有2个零的小数.故N是小数点后面有 + 1个零的小数.且2k)gQ-21ogvx + 3

4、 = 0,求7 = / _4产的最小值.【答案】-4【解析】【分析】应用换元法先解出logQ的值，找出x和 的关系，从而求丁 = /一4丁2的最小值.【详解】解：令，= k)gQ, Qxl, yl, /./0.2由 210gxy _21og),x + 3 = 0 得 2f_7 + 3 = 0,2t2所以yx + xy = -,即2冲=一，所以盯z = l. zz22.设次,九z均为正数，且3”=4=6z.(i)试求x, y, z之间的关系.由 210gxy _21og),x + 3 = 0 得 2f_7 + 3 = 0,2t2所以yx + xy = -,即2冲=一，所以盯z = l. zz22

5、.设次,九z均为正数，且3”=4=6z.(i)试求x, y, z之间的关系.+3t-2 = 0,.(21)Q + 2) = 0,)0,1i, = %，即 log v y = ：，y =/， LL J,-.T = x2-4y2 =x2-4x = (x-2)2-4,Qx1 ,当 x = 2 时，Tmin=-4.【点睛】此题考查换元法的数学思想方法，及用配方法求二次函数最值，属于中档题.2.设q0,m=,n = ay ,求证：xyz = l.C I - Cl【答案】证明见解析【解析】【分析】将指数式化成对数式，结合对数的运算性质化简整理即可求证.【详解】因为m=优，n = /，所以x = log/%

6、, y = log“， TOC o 1-5 h z 2/、2 2由W=凉可得1吗(加叫=log好二,2 22即 log。加 + log” nx = log. az =-,所以 ylog” m + xlog。n =-, zz(2)求使2x=0，成立，且与P最近的正整数(即求与的差的绝对值最小的整数).(3)比拟3x, 4y, 6z的大小.【答案】(1)=(2) 3； (3) 3x4y = 7，Z = 17 log, 3logz 4logz 6(1)通过对数运算可得x, J, z之间的关系；2x(2)由题意得P = = 1316,证明 23 ，即可得答案； y(3)利用作差法结合对数运算，即可得答

7、案；【详解】 设3=4=6=八 由元,九z均为正数知”1.故取以t为底的对数，可得xlog, 3 = ylogz 4 = zlog, 6 = 1.x - y = z = log, 3 log, 4 logz 6 .(1)(2)1-l = log,6-log,3 = log,2 = llog,4 = ,z之间的关系为z x 2y2r 2P =-. log, 4 = 2- log3 4 = log/16. log, 3由91627, Wlog39log3161 知一 ，9 16 243916116 27G - 2 = log3 log3 = 3-/?.y1O从而所求正整数为3., 31gr 41g

8、/(3)3x-4y = 3log31 -4log41 =-lg3 lg4，31g4 41g3、Ig3.lg4 )，31g4 41g3、Ig3.lg4 )5号M).而lg，0, lg3o , lg40, lg43 lg34, A 3xo, lg40, lg60, Ig62lg43, A 4y6z.故有 3x4yv6z.【点睛】此题考查指数式与对数式的互化、对数运算，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.【分析】由对数的真数大于0,底数大于。且不等于I列出不等式组，然后求解即可.【详解】1,解之得:-1 4且qw0.a1,eN*),讨论几为奇数和为偶数两种情况，求出。的次方根，即可判

9、断得出结果.【详解】解：当为奇数时，。的次方根只有1个，为工；当为偶数时，由于(x)=x=q,所以。的几次方根有2个，为土工所以B, D说法是正确的.应选：BD.以下四个等式正确的选项是()A. lg(lgl0)= 0B. lg(lne) = 0C.假设lgx = 10,那么x = 10D.假设lnx = e,那么x = /【答案】AB【解析】【分析】根据对数式与指数式的互化，对数的运算对各选项作出判断.【详解】对于A,因为lglO = l,所以lg(lgl0)= 0,故A正确；对于B,因为lne = l,所以lg(lne) =。，故B正确；对于C,假设如 = 10,那么x = l(V。，故C

10、错误；对于D,假设lnx = e,那么x =,故D错误.应选：AB.【点睛】此题主要考查了对数式与指数式的互化，对数的运算，属于基础题.正实数人满足父=4 ，且 + log2人=3,那么的值可以为()A. 2B. 4C. 5D. 6【答案】BC【解析】【分析】 由指数式化对数式得到Q = log4 = 21og)2,代入到a + k)g2b = 3,解方程得到b和。.【详解】由 0 = 4 得到 a = 10gz, 4 = 2 log7, 2 ,217r贝121082 + 1。82 = 3, gp- + log2/? = 3,一log2 b整理得（log2与之一 3log2匕+ 2 = 0,解

11、得 log2。= 2 或 log2 b = l,当log2 = 2 时， = 4,a = l,贝1a + = 5;当 log2 = l 时，b = 2,a = 2,那么 q + = 4.应选：BC.【点睛】此题考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的性质，属于基础题.设m b,。都是正数，且4 =6 =9那么（）2 2 11 2 1A. ab+be = 2acB. cib+be cic C. = iD. cabc b a【答案】AD【解析】【分析】利用与对数定义求出。，力，C,再根据对数的运算性质可得logM4 + logM9 = 21ogM6,然后进行化简变形 即可得到.【详解】由于b ,

12、C都是正数，故可设4=6=夕=加， TOC o 1-5 h z . a = log4 M , b = log6 M , c = log9 M ,那么工=log” 4 , ； = logM 6, - = log” 9. abc11?121 logM4 + logM9 = 21ogw6,.一 + - = 7，即=：一一,去分母整理得，ab+bc = 2ac.acbcba应选AD.【点睛】此题考查对数的定义及运算性质，属于基础题.三、填空题.如果关于x的方程（lg+（lg3 + lg5）lgx + lg3.lg5 = 0的两根分别是。,夕，那么。1的值是.【答案】15【解析】【分析】由题意可得是一元

13、二次方程f+(lg3 + lg5)x+lg3lg5 = 0的两根，然后结合根与系数的关系可求得答案【详解】6/?是关于X的方程(Igx+(lg3 + lg5)lgx + lg3lg5 = o的两根lg/lg4是一元二次方程f+(g3 + lg5)x+lg3lg5 = 0的两根/. Iga + lg = -(lg3 + lg5)= -lgl5 = lg-, lg(a.尸) = lg，a - =.15故答案为：.假设对数In (N-5x+6)存在，那么x的取值范围为一.【答案】(F,2)U(3,y)【解析】假设对数存在，那么真数大于0,解不等式即可.【详解】解：:对数/ (N-5x+6)存在，/.

14、x2 - 5x+60,解得：xV2或x3,即x的取值范围为：(-8, 2) U (3, +8).故答案为：(-8, 2) U (3, +oo).15.从1, 2, 3, 4, 9这五个数中任取两个数分别作为对数的底数和真数，那么可以得到一种不同的对数值.【答案】9【解析】根据题意，结合对数的运算性质，列出所有满足题意的可能，即可得答案.【详解】当构成的对数式含有1时，即真数为1,底数可为2,349,得到的对数值均为0；当构成的对数式不含 1 时，有(2,3)、(3,2)、(2,4) , (4,2) , (2,9) , (9,2) , (3,4) , (4,3),(3,9) , (9,3)，(4

15、,9) , (9,4)共 12 种，其中/og23 = /og49, lo g2 = log 39, log31 = logA, log42 = log93,重复 4 个，有 12-4=8 个;综上，可以得到1+8 = 9种不同的对数值，故答案为：9. lgQ + = 3, 4=100,那么/g2.b=.【答案】4【解析】【分析】2由a =100,可得。,从而可得1g。，进而解得b ,从而得解. Iga【详解】由 a =100,可得 Rga = /gl00 = 2,22所以人，代入恒 +8=3中，可得：回 + ; = 3,解得lga = l或2. IgaIga所以。=10力=2 或 q = 1

16、00,b = l.当 a = 10,b = 2时,0 .。=2x2 = 4；当。=1。力=1 时，檐2/= 4义1 = 4;综上：a怆之力=4.故答案为4.【点睛】此题主要考查了对数的运算，属于中档题.四、解答题.右+ /= = 3,求以下各式的值：4 +cr + a2 ；a + /-a2 -a -【答案】(1)7； (2) 47； (3) 述或-述. 55【解析】【分析】根据式子的特点/+aW -3,联系完全平方式进行转化，即可求出答案 Cl I H J【详解】吐=3,即）+/=3 -! _1（1 ） +=（。2 + 2）2 _2xXT =3log64【答案】（1）-45层（3）1【解析】【分析】（1）利用分数指数幕运算法那么进行运算；（2）把根式换为分数指数幕，难点是用到了立方差公式；（3）利用对数运算法那么进行计算 原式=（0.3）3 -3-72+| 25 |2 _1 = !2