A题 蜘蛛网模型

1、第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛承诺书我们仔细阅读了第五届“认证杯数学中国数学建模网络挑战赛的竞赛规则。我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网 上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的 资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参 考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规 则的行为，我们将受到严肃处理。我们允许数学中国网站（）公布论文，以供网友之间学习交流，数学中 国网站

2、以非商业目的的论文交流不需要提前取得我们的同意。我们的参赛队号为：参赛队员（签名）：队员1：徐腾队员2：邬宗媛队员3：梁君参赛队教练员（签名）：参赛队伍组别：本科组第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛编号专用页参赛队伍的参赛队号：（请各个参赛队提前填写好）：1491竞赛统一编号（由竞赛组委会送至评委团前编号）：竞赛评阅编号（由竞赛评委团评阅前进行编号）：2012年第五届“认证杯”数学中国数学建模网络挑战赛题 目 蜘蛛网的最优结构关键词蛛网结构；捕食区面积；捕丝间距；Matalb摘要：本文针对不同大小的蜘蛛对蛛网最优结构的要求，我们运用优先等级法、分析论证 法、分割法以及Matlab和EX

3、CLE通过多组具有代表性的蛛网面积相关指标和捕丝间距 相关指标，从两方面定性的分析蜘蛛网结构关系，得到与蜘蛛网最优结构模型有关的关 系式，建立合理的数学模型，并依据手中现有资源计算，得到合理科学的最优结构。模型I：针对问题I,使用分析论证法和EXCLE计算蜘蛛大小分别与蛛网捕丝长度、 蛛网半径丝根数和上下捕丝长度比值之间的关系式，通过曲线拟合，同时根据所建立的 指标体系来推出面积与蜘蛛网的结构之间的数学模型，并通过Matlab求面积最大值， 从而确定最大面积下蜘蛛网最优结构，且各项系数皆可算出以便模型II中的运用。模型II：针对问题II通过分割法将捕丝半径分割，根据分割三角形利用三角形两边夹

4、角一半求面积，利用迭代法解决夹角a与m的关系，利用Matlab软件计算侦与m的曲 线拟合得出最优分割数m从而得出蛛网捕丝间隔。综合模型I模型II，蜘蛛网结构与蛛 网面积以及蛛网捕丝间隔的关系利用优先等级法，各目标按其重要程度关于蜘蛛网最优 结构的两项指标，而面积在蜘蛛网最优结构模型中的重要程度不同于蛛丝间距，先将面 积指标转化为单目标模型，从而建立起蛛丝间距与蜘蛛网最优结构之间的数学模型。经过资料分析知，不同大小的蜘蛛对猎物的选择也存在区别，进而优先因子不同。 最大面积、最小间距是蜘蛛网最优结构的决定性因素，对于这样的一个双目标线性规划 问题来讲，本文最大的亮点就是成功的考虑到了不同蜘蛛对面积

5、和蛛丝间距的优先等级 不同，从而可以把它们分别单独建立数学模型，使得数学模型简单便捷。参赛队号 #1491所选题目 A题参赛密码（由组委会填写）英文摘要（选填）（此摘要非论文必须部分，选填可加分，加分不超过论文总分的5%）1 问题的重述一、背景知识蜘蛛的简介蜘蛛是节肢动物门(Arthropoda)、蛛形纲(Arachnida)、蜘蛛目(Araneida 或Araneae)所有种的通称。在现生种中只有不到1 %的种类蜘蛛是终生群居或是 亚群居的，其它种类均为寡居种，但是无论是群居种类还是寡居种类都要经历群 居生活阶段，这种群居生活经历的长短随种类不同而异。对于结网型蜘蛛而言，网不仅是捕食工具，有

6、时也可作为防御天敌的工具和 繁殖场所，其生活史各阶段与网都有着密切联系。因此，对蛛网结构和性能的研 究是了解蜘蛛分类和生活史的重要手段。作为结网型蜘蛛的捕食工具，蛛网结构 影响着蜘蛛捕捉效率，反映了蜘蛛的捕食投入，也反映了蜘蛛在不同条件下的捕 食策略，小型蜘蛛更偏爱于小型猎物，随着其个体的增大将更偏爱于大型猎物。 在不同的内外环境条件影响下，蜘蛛会通过蛛网结构性能上的相应变化来调整捕 食策略和维持网结构的稳定性。蜘蛛丝介绍蜘蛛的肚子里有许多丝浆，它的尾端有很小的孔眼。结网的时候，蜘蛛便将 这些丝浆喷出去。丝浆一遇到空气，就凝结成有粘性，无论什么飞虫，一撞到网 上就别想再跑掉。而蜘蛛的身上和脚上

7、经常分泌出一层油质，粘丝是不粘油的。 但是，一般飞虫是没有这层油质的，所以，蜘蛛网能牢牢地粘住飞虫却粘不住蜘 蛛。而且一束由蜘蛛丝组成的绳子比同样粗细的不锈钢钢筋还要坚强有力。它能 够承受比钢筋还多5倍的重量而不会被折断。虽然一些蜘蛛丝细如头发，但你可 别轻视它的能力和作用！蜘蛛丝非常富有弹性，一条直径只有万分之一毫米的蜘 蛛丝，可以伸长两倍以上才会拉断。蛛网的构建过程蜘蛛在织造这种网时，需要先在高处，比如在一根树枝上，找到一个合适的 位置，然后向空中吐出一根长长的丝线。如果运气好的话，自由飘动的丝线的一 头就会措上另一个树枝。当蜘蛛感觉丝线已经抓住了对面的物体时，就会将丝线 缠紧，并将这根线

8、固定下来。接着，蜘蛛爬到这根丝线上，吐出一根更柔软的丝 线，并将丝线两头系紧。随后，它爬到软线的中间部位，这样软线就会下垂，形 成一个字形。蜘蛛从这根字形丝线的下端再引出一根线，并拖着这根线垂直向 下跌落，于是就形成了一个丫字形，这个结构就是网的中心部位。蜘蛛通过它的 锯齿状脚爪和带倒钩的腿毛，能轻易抓牢非常细的丝线。它沿着丝线一边行走， 一边在各个锚点之间吐出更多的框架线。然后，它从网的中心部位开始构造辐射 线。当所有的辐射线都建好后，蜘蛛就会吐出大量的非黏性线，以构筑一个辅助 性螺形网，这根网线从中心部位一直延伸到网的边缘部分。最后，蜘蛛将辅助性螺形网 作为一个参照物，在网上做螺旋式行走，

9、边走边吐出黏性丝线，同时吃掉原来的 辅助性螺形网。这样，除了辐射线是非黏性线外，其他的线都是黏性很强的丝线。 当所有的工作完成后，一个优美、对称的蛛网就织成了。个体大的蜘蛛倾向于选 择大型猎物。蜘蛛网的半截面结构如下图1所示：锚定统捕捋间距捕氏而中枢区支持带图1蜘蛛网的半截面结构图二、相关试验数据1.关于蜘蛛大小分别与蛛网半径丝根数、上下捕丝长度的比值、蛛网捕 丝长度等之间的数据关系（见正文问题一中：表一）；模型II求解运行程序（见附录一）。三、要解决的问题蜘蛛网的结构最优化就是期望使其捕捉效率最优，而蜘蛛网的捕捉效率就是 通过蛛网的面积和捕丝间距来体现的。因此要构造合理的蛛网模型，就不得不考

10、 虑蛛网的面积与捕丝间距的最优分别对捕捉效率的影响，而且更应该考虑优先因 子的不同，当然，环境的不同对蛛网的结构也有着重要影响，所以，亦需要考虑 到环境对蛛网结构的影响。为了更好的讨论蛛网结构的最优化问题，需要自行搜 集相关数据，并解决以下问题：问题I:建立模型定性分析评估蛛网面积对蛛网结构的影响；问题II:建立模型定性分析评估蛛网捕丝间距对蛛网结构的影响。 2 问题的分析一、相关背景知识的介绍蛛网的介绍蛛网的进化经历了绊丝、片网和圆网阶段，并在圆网的基础上，继续进化形 成其他类型的网。蛛网是自然界绝无仅有的能够进行测量的行为结果，因而蜘蛛 织网行为及蛛网在生物进化和生物对环境的适应性研究领域

11、具有重要的价值和 举足轻重的地位。蜘蛛丝介绍蜘蛛丝是一种天然动物蛋白纤维，它的韧度很强以至于能承受的住比蜘蛛自 身体重要多几倍的承重力，它是由丝腺中液态的可溶性丝蛋白经导管和纺管变成 固态不溶性的丝蛋白纤维。蜘蛛丝具有优良的机械性能，是包括蚕丝在内的天然 和合成纤维所不能比拟的，它还是是一种新兴的生物高分子材料，具有极其广阔 的应用前景。但蜘蛛丝是为蜘蛛的生活策略所设讨，使用期短，产量低。蜘蛛丝 的这些性能和特点与蜘蛛的生态策略、生活史及蛛丝蛛网的结构和功能密切相 关。蛛网模型介绍蛛网模型(Cobweb model)运用弹性原理解释某些生产周期较长的商品在失 去均衡时发生的不同波动情况的一种动

12、态分析理论。西方经济学家认为，蛛网模 型解释了某些生产周期较长的商品的产量和价格的波动的情况，是一个有意义的 动态分析模型。二、对问题的初步分析对问题I的分析：问题I要求我们分析、评估蛛网面积对蛛网结构最优化的影响，这就反映了 蛛网面积对于蜘蛛的捕捉效率影响的作用，在这里，我们通过五个指标（蜘蛛的 大小、蛛网捕食面面积、蛛网捕丝长度、半径丝根数和上下捕丝长度的比值）的 多组数据来建立合理科学的数学模型来综合分析、评估蛛网面积对蛛网结构的影 响大小。对问题II的分析：对于问题II我们要求分析、评估捕丝间距对蛛网结构的影响，从而反映了不 同捕丝间距对于蜘蛛的捕捉效率的影响，我们可以通过四个指针（蛛

13、网上半面半 径、蛛网下半面半径、蛛网面积、蛛网捕丝长度）的多组数据来建立合理科学的 数学模型来综合分析、评估蛛网捕丝间距对蛛网结构的影响。 3 模型的假设不考虑蜘蛛在织网过程中的浪费的蛛丝长度；不考虑支持带对蛛网上捕食区的影响；蛛网与水平面夹角为90度；设蛛网所处环境均为最优条件，可忽略环境的影响；所有数据均为原始数据，来源真实可靠。4 名词解释与符号说明一、名词解释捕捉效率：一定时间内捕捉到的猎物的数量；稠密度：两条相邻的半径丝之间所包括的捕丝的条数；最优化：是应用数学的一个分支，主要研究以下形式的问题：给定一个 函数，寻找一个元素使得对于所有A中的（最小化）或者（最大化）；蛛网结构最优模型

14、和：使得蜘蛛拥有最大捕捉效率的蛛网结构模型；半径丝：从蜘蛛网中心向外辐射出的蛛丝；捕丝：蜘蛛网上的纬线部分；捕食区：由捕丝在蜘蛛网上覆盖的区域。二、符号说明符号符号的说明S蛛网的面积n蛛网半径丝根数L蛛网捕丝长度x蜘蛛的大小Ri蛛网上半面半径R2蛛网下半面半径a蛛网上下面半径的比值m蛛网稠密度a两半径丝夹角的一半ca角对应的捕丝长R 2可决系数d蛛网的捕丝间距 5 模型的建立与求解从所要解决的问题和对问题所做的假设出发，我们在解决问题过程中建立蛛 网面积模型和蛛网结构最优模型。模型I蛛网面积模型(1)对问题的第步分析蛛网是蜘蛛的捕食工具，其面积反映了蜘蛛的捕食效率，不同大小的蜘蛛的 捕食性与捕

15、食面面积、蛛网捕丝长度、半径丝根数和上下捕丝长度的比值都有关， 蜘蛛捕食的容量主要与捕食面积有关，此时不考虑环境对其的影响。(2)模型的准备设当蛛网面积最大时蜘蛛的捕食效率最大，建立函数S _兀（R+ R22）-W 2为了求得S的最大值我们引入蜘蛛的大小分别与蛛网捕丝长度、半径丝根数和 上下捕丝长度的比值的关系，根据样本数据可求得。再由得到的关系式迭代可求得蛛网面积与蛛网半径丝根数的关系，分析函数结构关系可确定最优半径丝根数时的最大面积。（3）模型的建立与求解1）从表一中蜘蛛大小与蛛网半径丝根数的数据分析后可制成如下散点图，如 图2；o o o o O 4 3 2 1 数根丝径半网蛛n = -

16、5.1294Ln(x) + 57.696R2 = 0.81740060080010001200蜘蛛的大小图2蜘蛛大小与蛛网半径丝根数的关系图中给出了蛛网半径丝根数与蜘蛛个体大小的关系，从图中可以看出蛛网半 径丝根数随蜘蛛体重的增加而减少，二者呈显著负相关，其中，当体重为14. 8 mg 和28. 3 mg的2只蜘蛛所结的网半径丝根数最多，均为46根，而体重为744. 4 m 的个体所结的网半径丝根数最少，仅具有16根半径丝，蛛网半径丝根数的这种变 化趋势可能直接影响蛛网稳定性的稳定性，这在模型二中研究。化简后的得到蛛网半径丝根数与蜘蛛大小的关系式：1.3806- nx = e 0.1572）从

17、表一中蜘蛛大小与蛛网上下捕丝长度比值的数据分析后可制成如下散点图如下图3：图3蜘蛛大小与蛛网上下捕丝长度比值的关系随着蜘蛛体重的增加，捕丝在蛛网上、下半面的分布不对称性也会加强，我 们利用捕丝在蛛网上、下半面的不对称性，即蛛网上、下半面捕丝长度的比值来 反映这种布局变化。比较网上、下半面的捕丝长度，可以发现，在体重小于200 mg 的个体中，随着蜘蛛体重的增加，网上、下部捕丝长度的比值越来越小，二者呈 显著负相关；但是在体重大于200 mg的蜘蛛个体中，蜘蛛体重与网上、下部捕丝 的长度比之间的相关性却并不显著。图中可得蜘蛛大小与蛛网上下面长度比值的关系式:a = -0.157ln x +1.3

18、8063）从表一中蜘蛛大小与蛛网捕丝长度的数据分析后可制成如下散点图，如图4；图4蜘蛛大小与蛛网捕丝长度的关系由图4可以看出，体重相近的个体，所结网的捕丝长度差异也较大。从图2中 还可以看出，体重小于200mg的个体，所结蛛网的捕丝长度和体重呈显著正相关; 但在体重大于200 mg的个体，却并没有出现这种增长趋势。且从图中可得出蜘蛛大小与蛛网捕丝长度的关系式：L = -0.0759x2 + 76.189x +12157一l2L = 2兀（R + R2）表一蜘蛛的大小（mg）101528501002003505006007007441000蛛网半径丝根数404646403031272828241

19、625蛛网上下捕丝长度 比值1.110.850.790.350.580.420.50.380.430.360.28蛛网 捕丝 长度（mm）9000 01300 01450 01700 02000 02500 03000 04000 03100 02750 01400 01750 0由上述所有数据和关系式分析可得到以下S =兀成+ %)21.3806-尤=e 0.157 L = 0.0759尤2 + 76.189尤 +12157a = 0.157ln 尤 +1.3806a = RR22 L = 2 兀(R + R )由此推出n 24.335314 n216.75157 nR = (0.002 0

20、.001n)e 1000+ (1.8n + 102.7)e1000+ 299.66n +1.61 =3.52 n4.335314 n216.75157 n(0.075 0.003n)e 1000+ (81.36 3.76n)e1000+121573.52 n157n 9n 1027、 8、(+) + )24000 1000 5105 ) +867皿en 1 .(e 2000 500 )() + e _867 157n 3n 3157e( 2000 500 )(1000+ 40 ) + e(皿-皿)(业2034) 12157)24000 1000 2525(100( n88)22510588 (

21、100(n 25)2c，ic,14983n(皿血 -L (皿 B产严 8S =157(一e *2000 500 )(1000 500) + e *4000 1000 八 510 ) 5 (867 157n50867 157n9e 4000一1000、2000 500)e+1000867 157 n _n _J 157e( 2000 一 500 )(1000 一 500)86 157”、闻 1027、,157e( 40000 1000 )(5 + 10)14983、(1000157 867 157 n 94 nT6T T57n T (-)(-)(+ )e 4000 100025(e 2000 5

22、00 1000 402034)25 -12157)50050(n 竺)22550(n 竺)325867 157n 94e 4000 1000 + 25,867 157n 3n _3_()(+ )2000 500 1000 40157e500867 157” 地 2034 157e( 40001000)( 25 一 25)100050(n 竺)2251000 500求解过程见附录当S = 0时求得n的值即为蛛网半径丝根数，此时蛛网的捕食面积最大。关系可作图5：可求得n为多少时S的最大值，同时就可以求得R1,R2,L,得出结论：由图2分析得到图中蛛网半径丝根数与蜘蛛个体大小的关系，从图中可以 看出

23、蛛网半径丝根数随蜘蛛体重的增加而减少，二者呈显著负相关。由图3中分析得到在蜘蛛体重小于200 mg的个体中，随着蜘蛛体重的增加， 蛛网上、下捕丝长度的比值越来越小，二者呈显著负相关；但是在体重大于200 mg 的蜘蛛个体中，蜘蛛体重与蛛网上、下部捕丝的长度比之间的相关性却并不显著。由图4中分析得到在蜘蛛体重小于200mg的个体，所结蛛网的捕丝长度和 体重呈显著正相关；但在体重大于200 mg的个体，却并没有出现这种增长趋势。由综合分析图2, 3, 4结合各种关系式得到5与n之间的关系，S对n的 导数函数关系知，S随n的增大先增加后减小，故可以求得S的最大面积，从而 与之相关的数皆可以求出。但在

24、实际生活中，对于大型蜘蛛偏爱于大型猎物，此时猎物的体长较大， 蛛网的面积对蜘蛛捕捉效率的影响要明显高于蛛网的捕丝间距对蜘蛛捕捉效率1的影响，所以我们需优先考虑面积最大的情况。模型II蛛网结构最优模型问题的第二步分析在问题的第一阶段分析中，我们知道了蜘蛛网的最优捕捉面积，现在我们考 虑蜘蛛网的结果，而蛛网的稳定性又直接影响着蛛网的结构，由模型一知道蛛 网半径丝的根数与蛛网的稳定性有关，同时稳定性又与蛛丝的稠密度有 关，接 下来我们建立模型求解。模型的准备递推结构模型的建立，由三角形相似和三角关系面积求解建立函数s = - ab sin a2为了求得最优捕丝间距，我们引进新的变量 a，由模型I已经

25、可以求得R1,%,S;L在这里我们直接使用。分析最终”与a的关系式，由关系式进行分析总结建立模型模型的建立与求解=S R 2 sin 2a14m 2S = 2 ab sin a研究的半径为R 1的小三角形面积:人Rb = imR cos a a = m由此可得出：r1R 2 sin 2aS=2a2b sin a =122m219 R 2 sin 2aS=3a3b sin a =1 324m 2.1R 2 sin 2aS=mambsin a=1m24n S = 2L(S+ S )mR1mR2o o SR 2 sin2a R 2sin2a (R 2 + R 2)sin2aTri + SmR2 =互

26、+=又: 2S =兀(R+ R22)兀.，L =sin 2a又有 c - b sin a =R sin amc2R1c3R2R sin am3R sin amA cii=1R1mR sin a + R sin a12_1cmR1mR sin a1m当半径为R2同理 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark162 o Current Document 寸, 、 mR sin a + R sin a + mR sin a + R sin a c = L (c + c ) =1122= L.1iR1iR2i =1 HYPERLINK l bookmark165 o Cur

27、rent Document .工=mR1sin以+ R1sin以+ mR2sin以+a HYPERLINK l bookmark153 o Current Document sin 2a22兀.n m = 1(R + R )sin a sin 2a由模型I已经求出RR2，所以此时m的大小只与角度a有关，故当 aeln,k中的某一数值时，得到能得到m的最优值故此时蛛网的间距. I R cos a R cos a Id = min m m J模型的结论上述结果表示蜘蛛的捕捉效率与蛛网的面积成显著的正相关，与蛛网的捕 丝间距成负相关。在实际生活中，对于不同大小的蜘蛛所对应的蛛网的结构不相同，对偏 爱

28、猎物的大小不同。当猎物的体长较大，蛛网的面积对蜘蛛捕捉效率的影响要明 显高于蛛网的捕丝间距对蜘蛛捕捉效率的影响，所以我们需优先考虑面积最大的 情况；对于体型小型蜘蛛而言，它更喜欢小型猎物，此时，猎物的体型较小，蛛 网的捕丝间距对蜘蛛捕捉效率的影响要明显高于蛛网的面积对蜘蛛捕捉效率的 影响，所以需悠闲考虑蛛丝的捕丝间距最小的。 6.模型的误差分析、检验和进一步讨论一、误差分析一、误差分析考虑影响因素的选取方面在划分影响因素模型中，我们选取的因素都是直观的直接的，未考虑间接因 素对的影响，但是间接因素并不能忽略，如环境的湿度系数，温度变化，所在空 间大小它们都间接的就影响蜘蛛网的结构的柔韧程度、稳

29、定性、蛛网面积，进而 影响到蜘蛛网捕捉猎物能力。考虑缺省值模型I中在数据选取上，通过实验资料获得的数据数量有限，并没有系统的 全面的数据，在进行计算的时候，对其各因变量计算时可能出现数值计算误差， 进而影响其结果的精确度。考虑偶然性考虑我们所用数据在存在一定的偶然性，而且只有单一数据，我们用层次分 析模型计算各因素相对生物多样性权重时存在一定的误差，需要在以后统计大量 数据验证和研究时在进行修正。二、模型的检验本文在进行计算权重时运用一致性检验验证其合理性，在运用数据拟合模型 是我们通过相应的软件和数学统计学公式检验其准确性。三、模型的进一步讨论在运用层次分析模型计算权重中可以考虑一些因素在生

30、物多样性指数 的权重中并不是占很大的权重，但考虑实际情况，这些因素的极端值可能对生物 多样性有根本性影响，因此我们可以运用分段模型对因素的不同极端值进行换 算，有利于更准确的反映实际情况，并且更具合理性科学性。7 模型的评价与推广一、优缺点模型的优点1）把两项用来体现蜘蛛网的捕捉效率的指标一一面积与捕丝间距，分开讨 论，减小计算量，最终蜘蛛网结构的最优化也是用此两项指标来综合评定的；2）利用EXCEL作图简便、直观、快捷，用MATLAB对数据进行处理，省去不 必要的复杂计算；3）化复杂问题简单化，单独考虑每一因素对蜘蛛网结构的影响，在实际生 活中，可根据实际蜘蛛大小来确定一结构。模型的缺点1）未考虑环境变量对蜘蛛以及蜘蛛丝的影响，可能导致模型环境过于优化， 有点与实际