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文档简介

1、2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1已知数列的前n项和为,且对于任意,满足,则( )ABCD2设为虚数单位,则复数在复平面内对应的点位于( )A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限3已知等式成立,则( )A0B5C7

2、D134设,则,三数的大小关系是ABCD5自2019年12月以来,在湖北省武汉市发现多起病毒性肺炎病例,研究表明,该新型冠状病毒具有很强的传染性各级政府反应迅速,采取了有效的防控阻击措施,把疫情控制在最低范围之内.某社区按上级要求做好在鄂返乡人员体格检查登记,有3个不同的住户属在鄂返乡住户,负责该小区体格检查的社区诊所共有4名医生,现要求这4名医生都要分配出去,且每个住户家里都要有医生去检查登记,则不同的分配方案共有( )A12种B24种C36种D72种6已知函数(,)的一个零点是,函数图象的一条对称轴是直线,则当取得最小值时,函数的单调递增区间是( )A()B()C()D()7已知函数,的图

3、象与直线的两个相邻交点的距离等于,则的一条对称轴是( )ABCD8曲线在点处的切线方程为( )ABCD9已知角的终边与单位圆交于点,则等于( )ABCD10设椭圆:的右顶点为A,右焦点为F,B、C为椭圆上关于原点对称的两点,直线BF交直线AC于M,且M为AC的中点,则椭圆E的离心率是( )ABCD11已知六棱锥各顶点都在同一个球(记为球)的球面上,且底面为正六边形,顶点在底面上的射影是正六边形的中心,若,则球的表面积为( )ABCD12已知复数,则( )ABCD2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13设第一象限内的点(x,y)满足约束条件,若目标函数zaxby(a0,b0)的最大

4、值为40,则的最小值为_.14已知函数有两个极值点、,则的取值范围为_.15在中,已知,则A的值是_.16平行四边形中,为边上一点(不与重合),将平行四边形沿折起,使五点均在一个球面上,当四棱锥体积最大时,球的表面积为_.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17(12分)已知函数,其中.()若,求函数的单调区间;()设.若在上恒成立,求实数的最大值.18(12分)如图1,在边长为4的正方形中,是的中点,是的中点,现将三角形沿翻折成如图2所示的五棱锥.(1)求证:平面;(2)若平面平面,求直线与平面所成角的正弦值.19(12分)已知函数,()当时,证明;()已知点,点,

5、设函数,当时,试判断的零点个数20(12分)第十四届全国冬季运动会召开期间,某校举行了“冰上运动知识竞赛”,为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取部分学生的成绩(得分均为整数,满分100分)进行统计,请根据频率分布表中所提供的数据,解答下列问题:(1)求、的值及随机抽取一考生其成绩不低于70分的概率;(2)若从成绩较好的3、4、5组中按分层抽样的方法抽取5人参加“普及冰雪知识”志愿活动,并指定2名负责人,求从第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的概率.组号分组频数频率第1组150.15第2组350.35第3组b0.20第4组20第5组100.1合计1.0021(12分)已知函数,.(1)若曲线在

6、点处的切线方程为,求,;(2)当时,求实数的取值范围.22(10分)某大型单位举行了一次全体员工都参加的考试,从中随机抽取了20人的分数.以下茎叶图记录了他们的考试分数(以十位数字为茎,个位数字为叶):若分数不低于95分,则称该员工的成绩为“优秀”.(1)从这20人中任取3人,求恰有1人成绩“优秀”的概率;(2)根据这20人的分数补全下方的频率分布表和频率分布直方图,并根据频率分布直方图解决下面的问题.组别分组频数频率1234估计所有员工的平均分数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);若从所有员工中任选3人,记表示抽到的员工成绩为“优秀”的人数,求的分布列和数学期望.参考答案一、选择题:

7、本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1D【解析】利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式,然后求解数列的和,判断选项的正误即可【详解】当时,所以数列从第2项起为等差数列,所以,故选:【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法,考查转化思想以及计算能力,是中档题2A【解析】利用复数的除法运算化简,求得对应的坐标,由此判断对应点所在象限.【详解】,对应的点的坐标为,位于第一象限.故选:A.【点睛】本小题主要考查复数除法运算,考查复数对应点所在象限,属于基础题.3D【解析】根据等式和特征和所求代数式的值的特征用特殊

8、值法进行求解即可.【详解】由可知:令,得;令,得;令,得,得,而,所以.故选:D【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了特殊值代入法,考查了数学运算能力.4C【解析】利用对数函数,指数函数以及正弦函数的性质和计算公式,将a,b,c与,比较即可.【详解】由,所以有.选C.【点睛】本题考查对数值,指数值和正弦值大小的比较,是基础题,解题时选择合适的中间值比较是关键,注意合理地进行等价转化.5C【解析】先将4名医生分成3组,其中1组有2人,共有种选法,然后将这3组医生分配到3个不同的住户中去,有种方法,由分步原理可知共有种.【详解】不同分配方法总数为种.故选:C【点睛】此题考查的是排列组合知识,解

9、此类题时一般先组合再排列,属于基础题.6B【解析】根据函数的一个零点是,得出,再根据是对称轴,得出,求出的最小值与对应的,写出即可求出其单调增区间.【详解】依题意得,即,解得或(其中,).又,即(其中).由得或,即或(其中,),因此的最小值为.因为,所以().又,所以,所以,令(),则().因此,当取得最小值时,的单调递增区间是().故选:B【点睛】此题考查三角函数的对称轴和对称点,在对称轴处取得最值,对称点处函数值为零,属于较易题目.7D【解析】由题,得,由的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,可得最小正周期,从而求得,得到函数的解析式,又因为当时,由此即可得到本题答案.【详解】由题,得,因

10、为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于,所以函数的最小正周期,则,所以,当时,所以是函数的一条对称轴,故选:D【点睛】本题主要考查利用和差公式恒等变形,以及考查三角函数的周期性和对称性.8A【解析】将点代入解析式确定参数值,结合导数的几何意义求得切线斜率,即可由点斜式求的切线方程.【详解】曲线,即,当时,代入可得,所以切点坐标为,求得导函数可得,由导数几何意义可知,由点斜式可得切线方程为,即,故选:A.【点睛】本题考查了导数的几何意义,在曲线上一点的切线方程求法,属于基础题.9B【解析】先由三角函数的定义求出,再由二倍角公式可求.【详解】解:角的终边与单位圆交于点,故选:B【点睛】考查三角函数

11、的定义和二倍角公式,是基础题.10C【解析】连接,为的中位线,从而,且,进而,由此能求出椭圆的离心率.【详解】如图,连接,椭圆:的右顶点为A,右焦点为F,B、C为椭圆上关于原点对称的两点,不妨设B在第二象限,直线BF交直线AC于M,且M为AC的中点为的中位线,且,解得椭圆的离心率. 故选:C【点睛】本题考查了椭圆的几何性质,考查了运算求解能力,属于基础题.11D【解析】由题意,得出六棱锥为正六棱锥,求得,再结合球的性质,求得球的半径,利用表面积公式,即可求解.【详解】由题意,六棱锥底面为正六边形,顶点在底面上的射影是正六边形的中心,可得此六棱锥为正六棱锥,又由,所以, 在直角中,因为,所以,设

12、外接球的半径为,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面积为.故选:D.【点睛】本题主要考查了正棱锥的几何结构特征,以及外接球的表面积的计算,其中解答中熟记几何体的结构特征,熟练应用球的性质求得球的半径是解答的关键,着重考查了空间想象能力,以及推理与计算能力,属于中档试题.12C【解析】根据复数模的性质即可求解.【详解】,故选:C【点睛】本题主要考查了复数模的性质,属于容易题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13【解析】不等式表示的平面区域阴影部分,当直线ax+by=z(a0,b0)过直线xy+2=0与直线2xy6=0的交点(8,10)时,目标函数z=ax+by(a0,b0)取得

13、最大40,即8a+10b=40,即4a+5b=20,而当且仅当时取等号,则的最小值为.14【解析】确定函数的定义域,求导函数,利用极值的定义,建立方程,结合韦达定理,即可求的取值范围【详解】函数的定义域为,依题意,方程有两个不等的正根、(其中),则,由韦达定理得,所以,令,则,当时,则函数在上单调递减,则,所以,函数在上单调递减,所以,.因此,的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查了函数极值点问题,考查了函数的单调性、最值,将的取值范围转化为以为自变量的函数的值域问题是解答的关键,考查计算能力,属于中等题.15【解析】根据正弦定理,由可得,由可得,将代入求解即得.【详解】,即,则,则.故答

14、案为:【点睛】本题考查正弦定理和二倍角的正弦公式,是基础题.16【解析】依题意可得、四点共圆,即可得到,从而得到三角形为正三角形,利用余弦定理可得,且,要使四棱锥体积最大,当且仅当面面时体积取得最大值,利用正弦定理求出的外接圆的半径,再又可证面,则外接球的半径,即可求出球的表面积;【详解】解:依题意可得、四点共圆,所以因为,所以,所以三角形为正三角形,则,利用余弦定理得即,解得,则所以,当面面时,取得最大,所以的外接圆的半径,又面面,且面面, 面所以面,所以外接球的半径所以故答案为:【点睛】本题考查多面体的外接球的相关计算,正弦定理、余弦定理的应用,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出

15、文字说明、证明过程或演算步骤。17()单调递减区间为,单调递增区间为;().【解析】()求出函数的定义域以及导数,利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间;()由题意可知在上恒成立,分和两种情况讨论,在时,构造函数,利用导数证明出在上恒成立;在时,经过分析得出,然后构造函数,利用导数证明出在上恒成立,由此得出,进而可得出实数的最大值.【详解】()函数的定义域为.当时,. 令,解得(舍去),.当时,所以,函数在上单调递减;当时,所以,函数在上单调递增.因此,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;()由题意,可知在上恒成立.(i)若,构造函数,则,.又,在上恒成立.所以,函数在上单调递增,

16、当时,在上恒成立.(ii)若,构造函数,.,所以,函数在上单调递增.恒成立,即,即.由题意,知在上恒成立.在上恒成立.由()可知,又,当,即时,函数在上单调递减,不合题意,即.此时构造函数,.,恒成立,所以,函数在上单调递增,恒成立.综上,实数的最大值为【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间,同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题,本题的难点在于不断构造新函数来求解,考查推理能力与运算求解能力,属于难题.18(1)证明见解析;(2).【解析】(1)利用线面平行的定义证明即可(2)取的中点,并分别连接,然后,证明相应的线面垂直关系,分别以,为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,利用坐标运算进

17、行求解即可【详解】证明:(1)在图1中,连接.又,分别为,中点,所以.即图2中有.又平面,平面,所以平面.解:(2)在图2中,取的中点,并分别连接,.分析知,.又平面平面,平面平面,平面,所以平面.又,所以,.分别以,为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,则,所以,.设平面的一个法向量,则,取,则,所以.又,所以.分析知,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查线面平行的证明以及利用空间向量求解线面角问题,属于基础题19()详见解析;()1.【解析】()令,;则易得,即可证明;(),分, , 当时,讨论的零点个数即可【详解】解:( )令,;则令,易得在递减,在递增, ,在恒成立 在递减

18、,在递增 ;( ) 点,点, , 当时,可知, , 在单调递增, 在上有一个零点, 当时, ,在恒成立, 在无零点 当时, 在单调递减, 在存在一个零点综上,的零点个数为1【点睛】本题考查了利用导数解决函数零点问题,考查了分类讨论思想,属于压轴题20(1),;(2)【解析】(1)根据第1组的频数和频率求出,根据频数、频率、的关系分别求出,进而求出不低于70分的概率;(2)由(1)得,根据分层抽样原则,分别从抽出2人,2人,1人,并按照所在组对抽出的5人编号,列出所有2名负责人的抽取方法,得出第4组抽取的学生中至少有一名是负责人的抽法数,由古典概型概率公式,即可求解.【详解】(1),由频率分布表

19、可得成绩不低于70分的概率约为:(2)因为第3、4、5组共有50名学生,所以利用分层抽样在50名学生中抽取5名学生,每组分别为:第3组:人,第4组:人,第5组:人,所以第3、4、5组分别抽取2人,2人,1人设第3组的3位同学为、,第4组的2位同学为、,第5组的1位同学为,则从五位同学中抽两位同学有10种可能抽法如下:,其中第4组的2位同学、至少有一位同学是负责人有7种抽法,故所求的概率为.【点睛】本题考查补全频率分布表、古典概型的概率,属于基础题.21(1);(2)【解析】(1)对函数求导,运用可求得的值,再由在直线上,可求得的值;(2)由已知可得恒成立,构造函数,对函数求导,讨论和0的大小关系,结合单调性求出最大值即可求得的范围.【详解】

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