2022届太和高三第一次调研测试数学试卷含解析

1、2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知椭圆的左、右焦点分别为、，过的直线交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若、M是线段AB的三等分点，则椭圆的离心率为( )ABCD2如图是正方体截去一个四棱锥后的得到的几何体的三视图，

2、则该几何体的体积是（ ）ABCD3函数（或）的图象大致是（ ）ABCD4函数的图象大致为（ ）ABCD5如图，在三棱柱中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，.若分别是棱上的点，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）ABCD6已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且，则该双曲线的离心率为（ ）ABC2D47函数满足对任意都有成立，且函数的图象关于点对称，则的值为（ ）A0B2C4D18直线与圆的位置关系是（ ）A相交B相切C相离D相交或相切9复数的（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限10某个小区住户共200户，为调查小区居民的7月份用水量，用分层抽样的方法抽取了50户进行调查，得到本月的用水量

3、(单位：m3)的频率分布直方图如图所示，则小区内用水量超过15 m3的住户的户数为( )A10B50C60D14011已知是虚数单位，则（ ）ABCD12记为等差数列的前项和.若，则（ ）A5B3C12D13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知数列的前项和为,则满足的正整数的所有取值为_14已知复数（为虚数单位），则的模为_15若，则的最小值为_.16已知公差大于零的等差数列中，、依次成等比数列，则的值是_三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（12分）已知曲线的参数方程为为参数， 曲线的参数方程为为参数).（1）求与的普通方程；（2）若与相交于

4、，两点，且，求的值.18（12分）已知是抛物线：的焦点，点在上，到轴的距离比小1.（1）求的方程；（2）设直线与交于另一点，为的中点，点在轴上，.若，求直线的斜率.19（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）写出的普通方程和的直角坐标方程；（2）设点在上，点在上，求的最小值以及此时的直角坐标.20（12分）已知关于的不等式有解.（1）求实数的最大值；（2）若，均为正实数，且满足.证明：.21（12分）已知函数.（1）当时.求函数在处的切线方程；定义其中，求；（2）当时，设，(为自然对数的底数)，若对任意给

5、定的，在上总存在两个不同的，使得成立，求的取值范围.22（10分）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）若，求曲线与的交点坐标；（2）过曲线上任意一点作与夹角为45的直线，交于点，且的最大值为，求的值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1D【解析】根据题意，求得的坐标，根据点在椭圆上，点的坐标满足椭圆方程，即可求得结果.【详解】由已知可知，点为中点，为中点，故可得，故可得；代入椭圆方程可得，解得，不妨取，故可得点的坐标为，则，易知点坐标，

6、将点坐标代入椭圆方程得，所以离心率为，故选：D.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难点在于根据题意求得点的坐标，属中档题.2C【解析】根据三视图作出几何体的直观图，结合三视图的数据可求得几何体的体积.【详解】根据三视图还原几何体的直观图如下图所示：由图可知，该几何体是在棱长为的正方体中截去四棱锥所形成的几何体，该几何体的体积为.故选：C.【点睛】本题考查利用三视图计算几何体的体积，考查空间想象能力与计算能力，属于基础题.3A【解析】确定函数的奇偶性，排除两个选项，再求时的函数值，再排除一个，得正确选项【详解】分析知，函数（或）为偶函数，所以图象关于轴对称，排除B，C，当时，排除D，故选：A【点

7、睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，解题时可通过研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等，研究特殊的函数的值、函数值的正负，以及函数值的变化趋势，排除错误选项，得正确结论4A【解析】根据函数的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.【详解】因为，所以是偶函数，排除C和D.当时，令，得，即在上递减；令，得，即在上递增.所以在处取得极小值，排除B.故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.5B【解析】建立空间直角坐标系，利用向量法计算出异面直线与所成角的余弦值.【详解】依题意三棱柱底面是正三角形且侧棱垂直于底面.设的中点为，建立空间

8、直角坐标系如下图所示.所以，所以.所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：B【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角的求法，属于中档题.6A【解析】由倾斜角的余弦值，求出正切值，即的关系，求出双曲线的离心率.【详解】解：设双曲线的半个焦距为，由题意又，则，所以离心率，故选：A.【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，属于基础题7C【解析】根据函数的图象关于点对称可得为奇函数，结合可得是周期为4的周期函数，利用及可得所求的值.【详解】因为函数的图象关于点对称，所以的图象关于原点对称，所以为上的奇函数.由可得，故，故是周期为4的周期函数.因为，所以.因为，故，所以.故选：C.【点睛】本题考查函数的奇偶性

9、和周期性，一般地，如果上的函数满足，那么是周期为的周期函数，本题属于中档题.8D【解析】由几何法求出圆心到直线的距离，再与半径作比较，由此可得出结论【详解】解：由题意，圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离为，故选：D【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题9C【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题.10C【解析】从频率分布直方图可知，用水量超过15m的住户的频率为，即分层抽样的50户中有0.350=15户住户的用水量超过15立方米所以小区内用水量超过15立方米的住户户数为，故选C11B【解析】根据复数的乘法运算法则，直接计算，即

10、可得出结果.【详解】.故选B【点睛】本题主要考查复数的乘法，熟记运算法则即可，属于基础题型.12B【解析】由题得，解得，计算可得.【详解】，解得，.故选：B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，前项和公式，考查了学生运算求解能力.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。1320,21【解析】由题意知数列奇数项和偶数项分别为等差数列和等比数列,则根据为奇数和为偶数分别算出求和公式,代入数值检验即可.【详解】解: 由题意知数列的奇数项构成公差为的等差数列,偶数项构成公比为的等比数列,则;.当时, ,.当时, ,.由此可知,满足的正整数的所有取值为20,21.故答案为: 20,21【点睛

11、】本题考查等差数列与等比数列通项与求和公式,是综合题,分清奇数项和偶数项是解题的关键.14【解析】，所以15【解析】由基本不等式，可得到，然后利用，可得到最小值，要注意等号取得的条件。【详解】由题意，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时取等号，所以当时，取得最小值【点睛】利用基本不等式求最值必须具备三个条件：各项都是正数；和（或积）为定值；等号取得的条件。16【解析】利用等差数列的通项公式以及等比中项的性质，化简求出公差与的关系，然后转化求解的值.【详解】设等差数列的公差为，则，由于、依次成等比数列，则，即，解得，因此，.故答案为：.【点睛】本题考查等差数列通项公式以及等比中项的应用，考查计算

12、能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（1），（2）0【解析】（1）分别把两曲线参数方程中的参数消去，即可得到普通方程；（2）把直线的参数方程代入的普通方程，化为关于的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时的几何意义求解【详解】（1）由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得；由曲线的参数方程为为参数），消去参数，可得，即（2）把为参数）代入，得，解得：，即，满足【点睛】本题考查参数方程化普通方程，特别是直线参数方程中参数的几何意义的应用，是中档题18（1）（2）【解析】（1）由抛物线定义可知，解得，故抛物线的方程为；（2）设直线：，联立，利用韦达

13、定理算出的中点，又，所以直线的方程为，求出，利用求解即可.【详解】（1）设的准线为，过作于，则由抛物线定义，得，因为到的距离比到轴的距离大1，所以，解得，所以的方程为（2）由题意，设直线方程为，由消去，得，设，则，所以，又因为为的中点，点的坐标为，直线的方程为，令，得，点的坐标为，所以，解得，所以直线的斜率为.【点睛】本题主要考查抛物线的定义，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查学生的运算求解能力.涉及抛物线的弦的中点，斜率问题时，可采用韦达定理或“点差法”求解.19（1）：，：；（2），此时.【解析】试题分析：（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）由题意，可设点的直角坐标为到的距离当

14、且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.试题解析： （1）的普通方程为，的直角坐标方程为.（2）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值即为到的距离的最小值，.当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为.考点：坐标系与参数方程.【方法点睛】参数方程与普通方程的互化：把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法，常见的消参方法有：代入消参法；加减消参法；平方和（差）消参法；乘法消参法；混合消参法等把曲线的普通方程化为参数方程的关键：一是适当选取参数；二是确保互化前后方程的等价性注意方程中的参数的变化范围20（1）；（2）见解析【解析】（1）由题意，

15、只需找到的最大值即可；（2），构造并利用基本不等式可得，即.【详解】（1），的最大值为4.关于的不等式有解等价于，（）当时，上述不等式转化为，解得，（）当时，上述不等式转化为，解得，综上所述，实数的取值范围为，则实数的最大值为3，即.（2）证明：根据（1）求解知，所以，又，当且仅当时，等号成立，即，所以，.【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.21（1）；8079；（2）.【解析】（1）时，利用导数的几何意义能求出函数在处的切线方程由，得，由此能求出的值（2）根据若对任意给定的，在区间，上总存在两个不同的，使得成立，得到函数在区间，上不单调，从而求得

16、的取值范围【详解】（1），所以切线方程为.，. 令，则,. 因为, 所以, 由+得,所以. 所以.（2），当时，函数单调递增；当时，函数单调递减，所以，函数在上的值域为. 因为， ，故，此时，当 变化时、的变化情况如下：0+单调减最小值单调增，对任意给定的，在区间上总存在两个不同的， 使得成立，当且仅当满足下列条件，即令，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减所以，对任意，有，即对任意恒成立.由式解得：综合可知，当时，对任意给定的，在上总存在两个不同的，使成立.【点睛】本题考查了导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性、求函数最值问题，会利用导函数的正负确定函数的单调性，会根据函数的增减性求出闭区间上函数的最值，掌握不等式恒成立时所满足的条件不等式恒成立常转化为函数最值问题解决22（1），；（2）或【解析】（1）将曲线的极坐标方程和直线的参数方程化为直角坐标方