八年级上册数学-全等三角形、轴对称能力提高练习

1、全等三角形、轴对称能力提高练习1.如图， P 是等边 ABC 内的一点 ,连接 PA、PB、 PC.以 PB 为边作等边 BPM ，连接 CM.1）观察并猜想 AP 与 CM 之间的大小关系，并说明你的结论；2）若 APC=100， PMC 为直角三角形，求 APB 的度数APBCM2.如图，已知在四边形ABCD 中， AC 平分 BAD ，过 C 作 CE AB 于 E，并且1AE=( ABAD) ，求 ABC+ ADC 的度数。DCBAE3.点 P 在 AOB 内，点 M ，N 分别是点 P 关于 OA ，OB 的对称点， M ，N 的连线交 OA 于点 E，交 OB 于点 F，若 PEF

2、 的周长为 20cm，求线段 MN 的长。拓展：（ 1）若 AOB=45 o，连接 OM ，ON 判断 MON 的形状，并说明理由。2）已知点 P 在 AOB 内，在 OA,OB 上分别取点 E,F，使 PEF 周长最小，请画出图形，并写出过程。MAEPOFBN4.已知如图，等腰RtABC 中， BAC=90 o，点 D 是 BC 边的中点，且 BE=AF.求证： DE DFAFEBDC5.如图， ABC 中， ABC=90 o，AB=CB ， AE 平分 BAC ，过点 C 作 CD AD 于点 D，求证： CD= 1 AE2BDEAC6. 以 ABC 的两边 AB,AC 向外作等边三角形A

3、BE, 等边三角形ACD ，连接 BD,CE, 交于点 O.1）试写出图中和 BD 相等的一条线段，并说明理由。2）BD 和 CE 的夹角大小与 ABC 的形状有关吗？说明理由。EADPOBC7.如图所示， ABC 中，AB=AC ，在 AB 上取一点 E，在 AC 延长线上取一点 F，使 BE=CF， EF 交 BC 于 G，求证： EG=FGAEBCGF8.已知 ABC 中， AB=AC ，且过 ABC 的某一顶点的直线可将 ABC 分成两个等腰三角形，试求 ABC 各内角的度数。9.如图， ABC 中 BD 是 AC 边上的中线， BD BC 于点 B，且 ABC=120 o.求证： A

4、B=2BC.BADC10.如图所示， ABC 是等边三角形， P 是三角形外一点，且 ABP+ ACP=180o，求证： PB+PC=PAABCP11.已知 P 是等边 ABC 内任意一点，过点 P 分别向三边作垂线，垂足分别是 D、E、F，试证明 PD+PE+PF是不变的值。ADFPBEC12.如图所示，等边 ABC ，D、 E 分别在 AC 、AB 的延长线上，且CD=AE ，求证： DB=DEDCABE13.如图，在 ABC 中， AD 平分 BAC ， ABC=2 C，求证： AB+BD=AC.A12BCD14.在图 1 至图 3 中， ABC 是等边三角形，点 E 在 AB 上，点

5、D 在 CB 的延长线上，且 ED=EC.AAAEEFEDBCDBCDBC图 1图 2图 3观察思考：当点 E 为 AB 的中点时，如图1，线段AE与DB的大小关系是：AEDB( 填“”，“”或“ =”）；拓展延伸：当点 E 不是 AB 的中点时，如图2，猜想线段 AE 与 DB 的大小关系是： AEDB( 填“”，“”或“ =”），并说明理由（提示：在图 2 中，过点 E 作 EFBC 角 AC 于点F，得到图 3）。15.如图 1，在 ABC 中， ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一点，连接 AD ，以 AD 为一边且在 AD 右侧作正方形 ADEF.解答下列问题：1） 如果 AB

6、=AC ， BAC=90 o当点 D 在线段 BC 上时，（与点 B 不重合），如图2，线段 CF、BD 之间的位置关系为，数量关系为当点 D 在线段 BC 的延长线上时，如图3，中的结论是否仍然成立，请说明理由。2）如图 4，如果 ABAC ， BAC90 o，点 D 在线段 BC 上运动，其余条件不变，猜想当 BCA 等于多少度时， CFBC，请说明理由。FAFEABCDEBC D图 1图 2AAFFBDCBDCEE图 3图 416.三角形 ABC 中， BD 和 CE 是三角形的高，延长 BD 至点 F，使 BF=AC ，在 EC 上取点P，使 CP=AB，作 FM 垂直于 BC， PN

7、 垂直于 BC。求证 PN+FM=BCFADEPBCNM17.如图，等腰直角 ABC 中，AC=BC ，ACB=90o，P 为 ABC 内部一点，满足 PB=PC，AP=AC ，则 BCP=()APBC如图， ABC 中， AB=AC ，角 BAC=90 度， D 为 BC 上一点，过 D 作 DE 垂直 AD ，且 DE=AD ，连接 BE，求 DBE 的度数。ABCDE如图， ABC 中， BAC=90o，AB=AC ，点 D 是 BC 上一点， DEAD 且 DE=AD ，求证： CEACAEBDCABC 为等边三角形 ,BDA= ADC=60 ，试说明 AD=BD+DCABCD21.在

8、等边三角形 ABC 中的 AC 延长线上取一点 E,以 CE 为边做等边三角形 CDE，使它与三角形 ABC 位于直线 AE 的同一侧，点 M 为线段 AD 的中点，点 N 为线段 BE 的中点，求证：三角形 CNM 为等边三角形。BDNMACE22.正方形 ABCD ，E 为 BC 上一点， AEF 为直角， CF 平分 DCG。(1)如图（ 1），当点 E 在线段 BC 上时，求证： AE=EF(2)如图（ 2），当点 E 在 BC 的延长线上时，试判断AE=EF 是否依然成立，并说明理由。ADADFFBECGBC EG图(1)图(2)23. 如图， ABC，CDE是边等三角形， C 为线

9、段 AE 上一不动点CNABB AD=BE AOE=120 度D CM=CNO OC 平分 AOEM OB+OC=OAN DM=CN 其中正确的有 AEC参考答案：1.（ 1） AP=CM证明AB=BC ， ABP=CBM ， BP=BM ABP CBM SASAP=CMB2） APC=100 BAP+BCP=BCP+ BCM= PCM=100-60=40若 CPM=90 ，如图（ 1）则 APB=360- BPM- CPM- APC=360-60-90-100=110若 CMP=90 ，如图（ 2）则 APB=360- BPM- CPM- APC=360-60-50-100=150过点 C

10、作 CF AD ，交 AD 的延长线于点 FAC 平分 BAD ，CEAB AEC= AFC=90o， EAC= FAC, CE=CF AEC AFC AE=AF AE= 1 (AB+AD)D2 2AE=AB+AD AB-AE =AE-AD AB-AE =AF-AD ，即 EB =FD在 EBC 和 FDC 中：ACE=CF ， BEC=DFC=90o ，EB =FD EBC FDC B= FDC，即 ABC= FDC FDC+ADC=180 o ABC+ ADC=180 oM、N 分别是点 P 关于 OA、OB 的对称点 EP=EM ， FP=FN PEF 的周长 =EP+EF+FP =EM

11、+EF+FN，即 PEF 的周长 =线段 MN PEF 的周长 =20cm MN=20cm(1)连接 OM，OP，ONOM、N 分别是点 P 关于 OA，OB 的对称点OM=OP ，ON=OP ， MOA= POA ,NOB= POBOM=ONAPCM图（ 1）APBCM图（ 2）FCBEMAEPFBNMON= MOA+ POA + NOB+ POB=2(POA +POB)=2AOB AOB=45 o， MON=90 o ， MON 是等腰直角三角形2）分别作点 P 关于 OA ，OB 的对称点 M 、 N ，连接 MN ，分别交 OA ， OB 于点 E、 F 连接 PE、 PF， PEF

12、即为所求。4.提示：连接 AD ，证 ADF BDE5.提示：延长 AB 与 CD 的延长线交于点F，证 ABE CBF6.提示：（1）EC=BD(2)BOP= BAE=60o，故 BOP 的大小与 ABC 形状无关。7.提示：过点 E 作 EM AC ，交 BC 于点 M ，证 MEG CFG8.（ 1）当在底边 BC 边上取点时，分两种情况：AA45o45o45o45oCBBE图（ 1）2xxx2xxF图（ 2）C如图（ 1），在 BC 上取点 E，使 AE=BE=CE 时，容易计算得 B=C=45o ， BAC=90 o；如图（ 2），在 BC 上取点 F，使 AB=FB ， AF=CF

13、 ，设 B= C= x ，则 FAC=x ，BFA=BAF=2x ，所以有 x+x+x+2x=180 o， x=36o ，2x=72o，3x=108o，B=C=36o ，BAC=108o ；（ 2）当在腰上取点时，也有两种情况：AAxxDGx2x2xxBx2xB 2x 3x CC图（ 3）图（ 4）如图（ 3），在 AC 上取点 D，使 BD=AD=BC ，设 A=x ，则 ABD=x，所以 BDC=2x ，C=2x， DBC=x ，所以有 x+2x+2x=180o，x=36o， 2x=72o. 所以 A=36o， ABC= ACB=72 o.如图（ 4），在 AC 上取点 G，使 AG=BG

14、 ，CG=CB，设 A=x ，则 ABG=x ， BGC=CBG=2x，所以， ABC= ACB=3x ，所以 x+3x+3x=180 o， x= 180，3x= 540.77所以 A= 180 ， ABC= ACB= 54077综上所述， ABC 各内角度数分别为45o， 45o， 90o或 36o， 36o， 108o或 36o， 72o， 72o或 180 ， 540 ， 5407779.如图，延长 BD 到点 E，使 DE=DB ，连接 AE.ADE CDB，所以 AE=BC ， AED=90 o，由 ABC=120o， BD BC， A 所以 ABD=30 o，所以 AB=2AE=2

15、BC10.延长 PC 到点 D，使 CD=BP，连接 AD. ABP+ACP=180o， ACP+ACD=180 o ABP=ACD.在 ABP 和 ACD 中：AB=AC ， ABP=ACD ，BP=CD ABP ACD .AP=AD ， BAP= CAD. BAP+PAC=60o， CAD+ PAC=60o，即 PAD=60o PAD=60o B PAD 是等边三角形AP=PD=PC+CDAP=PB+PC11.过点 A 作 AH BC 于 H，连接 PA、 PB、 PC.S ABC =S PAB+S PBC+SPACBC.AH= 1 AB.PD+ 1 BC.PE+ 1 AC.PF2222又

16、 AB=BC=AC ，AH=PD+PE+PFPD+PE+PF 的值是等边 ABC 的高，是不变的值。12.如图，延长 AE 到点 F，使 EF=AB ，连接 DF.证明 ABD FEDDCBDCEADCPADFPBH ECABEF13.延长 AB 至点 E，使 BE=BD ，连接 DE，则 BED= BDE ABD= E+ BDE， ABD=2 E ABC=2 C， E=C在 AED 和 ACD 中：E=C， 1= 2， AD=AD ， AED ACD AC=AE AE=AB+BE ， AC=AB+BD 即 AB+BD=ACA12BC DE14.提示：证明 BDE FEC(1)CFBD ，CF

17、=BD 成立。提示：证明如右图， 过点 A 作 AGAC 交 BC 于点 G， AGD+ ACG=90o ， GAD+ DAC=90 o CFBC ACF+ACG=90o， AGD= ACF四边形 ADFE 是正方形 CAF+DAC=90 o， AD=AFB GAD= CAF在 AGD 和 ACF 中：AGD= ACF, GAD= CAF,AD=AF AGD ACF AG=AC AGC= ACG=45o 即 BCA=45 o当 BCA=45 o时 CFBC过点 A 作 AQBC 于点 Q，AQB=90 o， BAQ+ ABQ=90 oCE AB PCN+ABQ=90 o BAQ= PCNPN

18、BC CNP=90o AQB= CNPB又 AB=CP ABQ CPNBQ=PN同理可证： ACQ BFM, CQ=FMPN+FM=BQ+CQ, 即 PN+FM=BC17.作 PM BC， PN AC ，垂足分别为 M 、N 四边形 PMCN 是矩形 PNCM PBPCCMBM 1 BC 1 ACPN= 1 AC222 AP=ACPN 1 AP2在直角 PAN 中， PAN30o PCA CPA75o BCP 90o 75o 15oABD ACFAFCGDEFADEPCQNMAPBC过点 A 作 AN BC 于点 N，过点 E 作 EMBC 于点 M DME= AND= 90 o， DAN+

19、ADN=90 oA DE AD EDM+ ADN=90 o EDM= DAN在 EDM 和 DAN 中：BMC DME= AND ， EDM= DAN ， DE=AD EDM DANND DM=AN ，EM=DNE AB=AC ， BAC=90o BN=AN BN=DM BN-MN=DM-MN, 即 BM=DN EM=BM DBE=45oA19.提示：过点 A 作 AM BC 于点 M ，E过点 E 作 ENBC，交 BC 的延长线于点 N证明 AMD DNE ，其余如上题。BMDC20.在 DA 上截取 DE=BD ，连接 BEA BDA=60 ， BDE 是等边三角形， BD=BE ， DBE=60E ABC 为等边三角形，B ABC=60 ，AB=BC ， ABC= DBE ABC- CBE=DBE- CBE，即 ABE= CBDD BD=BE ，BC=AB ， CBD ABE SASNCCD=AE ， AD=AE+DE=CD+BD21.提示：证明 ACD BCE，然后证明 AMC BNC MCA= NCB ， MC=NC MCA+ MCB=60 o， NCB+ MCB=60 o，即 MCN=60 o， CNM 为等边三角形。2