八年级上册数学-《二次根式》教案

1、第五章二次根式第一课时二次根式（ 1）学习目标：了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。掌握二次根式有意义的条件。3. 掌握二次根式的基本性质：a 0（ a 0）和 (a ) 2= a ( a 0)和.a 2a教学过程：学一学： 自主预习教材的内容，完成下面各题。每一个正实数 a 有且只有 _个平方根，其中一个平方根是_,记作 _,称它为 a 的算术平方根 ,另一个平方根是 _。0 的平方根是 _，记作 0 ， 0 =_。我们把形如 _(a 0)的式子叫做二次根式。4. 二次根式a 有意义的条件是 _， a 是一个 _数。知识点一：二次根式的概念及二次根式有意义的条件选一选：已知各式

2、： a21 ,x 3, a , b ( b 0), (x 1) 22x 4 ( x 2),5 , 2( x 0); 是二次根式的有 _.x议一议：当 x 是怎样的实数时，二次根式x 2 在实数范围内有意义？【归纳总结】1.形如 _0)的式子叫做二次根式。“ ”称为 _，(a“”下的数叫做 _。二次根式的两个要求：必须含有 _，即根指数为_；在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等，但必须是_。二次根式有意义的条件： 由算术平方根的意义可知， 当 a 0 时， a有意义，是二次根式。所以要使二次根式有意义，只要使_为非负数。知识点二：二次根式的性质填一填： 1. ( a)

3、2 =_(a0) , 利用这个性质可以求二次根式的平方，如( 5) 2 =_;(22) 2 =_(2 ) 2 =_.教材做一做内容。 ( 直接填在教材上） 3. a2 =_(a 0), 想一想：当 a0时 ，a 2 =_. 即a 2a =_【课堂展示】1.计算： ( 7 )2 (3 2)2132(5)2合作探究互动探究一： 已知2a13a2b =0，求 a 和 b 的值。【解】互动探究二： 当 a 是怎样的实数时，代数式a有意义？【解】2a1【当堂检测】：1.下列代数式中是二次根式的是（）A. aB. x22C. 37D.2x 42.当 x 是怎样的实数时，二次根式x5 有意义？3.计算：(7

4、)2 (2 3)2 (3)2 x 2( x 0)第二课时二次根式（ 2）学习目标：1.理解并掌握积的算术平方根的性质：a b =a b（ a 0，b 0）.2.利用积的算术平方根的性质化简二次根式。重点：积的算术平方根的性质在二次根式化简中的应用。难点：将二次根号下的平方因子正确地移出根号。教学过程：学一学： 自主预习教材的内容，完成下列各题。1.用式子表示积的算术平方根的性质：a b=_(a 0， 0).b2.化简 9 7 =_,x2 y ( x 0，y 0)=_.知识点一：积的算术平方根的性质学一学： 利用积的算术平方根的性质化简下列二次根式。（1）12； 27 ；9a3 b b 0）；a

5、42a2( a0（a0,).议一议： 化简二次根式的一般步骤是什么？【归纳总结】 将被开方数分解，化成 _的形式。 选出被开方数中的 _. 利用积的算术平方根性质和二次根式的性质直接把根号下的每一个 _去掉平方号以后移到根号外 (注意：移到根号外的数必须是 _).知识点二：二次根式的化简【课堂展示】1.化简下列二次根式：7228(5)2732532.设 a 0， b 0,化简下列二次根式：8a2 b3a2 b2ab2b34ab250a 2b 5合作探究互动探究一： 当 b 0 时， 1a 对吗？aa议一议： 如何将被开方数的分母全部转化平方因子？【归纳总结】 化简二次根式时，如果根号下是分数，

6、我们可以把分子中 的 每 一 个 _去掉 _后 移 到 根 号 外， 放 在_的 位 置 ； 把 分 母 中 的 每 一 个 _ 去 掉_后移到根号外，放在 _的位置。练一练： 化简下列二次根式：27812x33（x0,y0）40.123y知识点二：最简二次根式说一说： 最简二次根式应有如下两个特点：（ 1）被开方数中不含_的因数或因式 ; 被开方数不含 _.一般地，在二次根式的运算中，最后结果通常要求化成_二次根式。【课堂展示】 1.下列二次根式中最简二次根式是（）A.1B. 0.5C. 5D. 5052.把下列各个二次根式化为最简二次根式（其中a 0, b 0）a 2 b38 ； 3b3

7、a 3a2 b1252a2合作探究互动探究一： 已知长方形的长为4 2cm ，宽是 2 3cm，求它面积。互动探究二： 化简下列二次根式，其中a 0, b 0.8a3 (ab)211a 2b 2【当堂检测】：把下列各式化简，其中 a 0, b0.（425 分）451257a5222;12;18b3 ;4a4ab b第四课时二次根式的乘法学习目标：1.掌握二次根式的乘法法则:abab (a0,b0).2.熟练进行二次根式的乘法运算及化简。重点：理解并掌握二次根式的乘法法则。教学过程：学一学： 预习教材的内容。说一说： 积的算术平方根的性质是什么？a bab (a _ 0,b _ 0)把这个公式从

8、右到左写写看：_= a b(a0,b0) ,能当公式用吗？知识点一：二次根式的乘法学一学： 阅读教材例 1、例 2，你还有问题吗？计算：相信你行。5 1018 362ab18a (a 0, b0)4议一议： 1.乘法运算律和乘法公式在二次根式运算中仍然适用吗？2.二次根式的运算结果要注意什么？【归纳总结】 1.二次根式的乘法法则是：aba b(a0,b0) ，语言叙述为两个二次根式相乘，把 _相乘，根指数不变。2.二次根式的运算结果一定要化简，化简时，通常是先把根号下的每个数分解因数 ,然后把每一个 _去掉平方号后移到 _外。3.乘法运算律和乘法公式在二次根式运算中仍然_.学一学： 阅读教材的

9、 “说一说 ”【课堂展示】 1.下列计算错误的是（）A.3721B.C. 233265D.872142322432.计算下列各题 ,其中 a0,b0 。36；25310 ； 21ab3 2 35ab ；22ab 3 6ab3合作探究互动探究一： 设 a 0,b0, 计算：31532210 3a3 b 15b 2 5 6ab 3 10ab2【解】互动探究二： 已知矩形的一边长 a = 2 75 ，邻边长 b = 2 54 ，求矩形的面积。互动探究三： 计算：3(615) (417)(417)(35) 2【当堂检测】：计算：（425 分）1018；435 3 70； 2( 14 3 10)；(23

10、 5)2第五课时二次根式的除法学习目标：掌握二次根式根式的除法法则和商的算术平方根的性质。能熟练进行二次根式的除法运算及化简。重点：运用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的除法运算及化简。教学过程：学一学： 预习教材的内容 .说一说： 实数 a, b 互为倒数是什么意思？有何条件？一个非零实数有几个倒数？填一填：由于313_ ，133_，所以 _和_都是3 的倒数，因此 _=_. 一般地，如果 a 0，则11 .aa知识点一：商的算术平方根的性质:学一学： :设a 0， b 0，则b1_= b_=b，即bb（ a 0, b0）.baaaaa议一议： 上式中为什么规定 a0,b

11、 0 ?如何用文字语言描述商的算术平方根的性质？选一选：当 a 0,b0 时， b =_( a b )aba10_;30_;821_;5327知识点二：二次根式的除法运算：学一学：阅读教材例 3 例 4，想想还有其它方法吗？计算：看你水平如何！1） 52 13 =_;3 72 4 3 =_;【归纳总结】二次根式的除法法则： 二次根式相除，把_相除，根指数不变，用式子表示为( a0, b0) .注意：二次根式的运算结果一定要进行化简，化成最简二次根式。【课堂展示】 1.计算：45 7608410252 15 54022合作探究互动探究一：教材说一说。互动探究二：求下列各式当 a3, b 4 时的

12、值：a3b20abab25a5【当堂检测】：1.设 x0, y 0, 计算：6x2 y3 y3x 2x2xy2.化简：7232613277523第六课时二次根式的加、减法学习目标：1.知道二次根式加减运算步骤把各个二次根式化简，然后才加减。2.掌握二次根式加减的法则： 把被开方数相同的二次根式的系数相加减，被开方数不变。重点：二次根式加减运算法则的形成与应用。教学过程：学一学： 自主阅读教材的内容。说一说：1.矩形 ABCD 的面积与矩形BEFC 的面积之和与矩形AEFD的面积有什么关系？用式子表示:2 53 5（)5=55.2.上式中第一个等号成立的理由是：实数的运算满足乘法对加法的_.知识

13、点一：被开方数相同的二次根式的加、减法学一学： 阅读教材的例题，回答下列问题。1.二次根式的加、减运算需要运用实数的加法_、_，以及乘法对于加法的 _.2. 7 2 的系数是 _, 3 2 的系数是 _, 2 的系数是 _,2 的系数是 _.议一议：被开方数相同的二次根式的加减法容易吗？与整式加减法的合并同类项相类似吗？【归纳总结】被开方数相同的二次根式的相加减，只要将系数相_,被开方数 _.议一议： 被开方数不相同的二次根式能加、减（合并）吗？知识点二：二次根式的加、减法学一学： 教材中的 “说一说 ”记.住：先 _,再加、减。填一填：化简 5 8_; 125 =_; 75 =_;32 58

14、3 2_=3 2 _=3 2 _=(_) 2 =_125575 =_=_.【归纳总结】 二次根式的加、减的运算，首先要把每个根式_,然后再把 _相同的二次根式的 _相加、减，_不变。补充概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫作同类二次根式。学一学： 教材例 2强调：二次根式的加、减要先化简，再加、减。12_, 48_, 18_, 50_, 45_.【课堂展示 】计算；523228385852818合作探究互动探究一：计算： 2 (32 27 ); (235 8)( 7518 );互动探究二： 计算下列各题： 27412 (34827)； (121175)12

15、2)(338互动探究三： 当 a =4 时，求代数式81a35aa34a 5的值。a【当堂检测】：1.下列二次根式中与18 可以合并的是 ()A.2B.3C.5D.62.计算13 482aabbabbab212 623 241 4545842183第七课时二次根式的混合运算学习目标：理解运算律和运算顺序在二次根式的混合运算中仍然适用。会进行二次根式的混合运算。重点：二次根式混合运算的顺序以及运算律的应用。教学过程：学一学： 阅读教材的内容，解决下列问题：说一说： 1.在梯形面积的计算中，包含二次根式的哪几种运算？按什么顺序运算的？2.计算过程中，每步的依据是什么？填一填： 1.去括号：（ ab

16、 ) c =_; (m+n)(a b )=_;( 23) 5 =_; (12)(23)_; 平方差公式：（ ab ）（ ab ）=_;(32)(32)=; 完全平方公式： ( ab)2 =_; (ab) 2 =_;(32 ) 2 =_=_; (23) 2 =_=_;2.实数的运算顺序：先算 _,再算 _,最后算 _;有括号的先算 _.3.运算律：实数的加法有 _律、_律，乘法有 _律、_律以及乘法对加法的 _律。以上都适用于二次根式的运算。知识点一：二次根式的混合运算学一学： 教材 P147 例 3、 P148例 4 的内容，你还有问题吗？计算：31=_;(6) 2(66 ) 284( 25)

17、(3 2 5) =_;议一议： 二次根式的化简在运算中的作用？【归纳总结】二次根式的混合运算是根据实数的运算顺序和_灵活进行的。 二次根式的和相乘，与多项式的乘法相类似。我们可以利用多项式的乘法公式， 进行某些二次根式的和相乘的运算。 二次根式的运算结果，一定要进行化简 .3(23)(25)【课堂展示】计算： (3 3)68(53)(53)(510)2合作探究互动探究一： 阅读教材 “动脑筋 ”和例 5，解答下列问题：分析： 式子 21 和 15 都是 _形式，分母分别是 _和 .2115 如何去掉这些分母中根式符号又使原分数值不变？ 在解决的过程中运用了_的性质，还运用了 _公式。互动探究二

18、： 计算： 2； 235223互动探究三： 解下列二元一次方程组：x5y 323x2y15 y22x3 y0 x【当堂检测】：计算 (5 (154 3)；(1 2 3)(3 3) ；5 (23)(23)； (53 2)2；231第八课时二次根式的复习课学习目标：1.通过对本章知识的回顾与小结，形成系统的知识结构。2.熟练掌握二次根式的化简及二次根式的概念和性质的应用。重点：二次根式性质的应用及其混合运算。教学过程：学一学： 阅读教材 P151 小结与复习，补全知识结构图：形如 _(a0)的式子二次根式的概念a0(a0)（ a ) 2a 2二次根式的性质ab二次根式aba(a 0)_( a0)a

19、0)_( a_( a0, b 0)(_, _)b乘法： ab _( a0, b 0)运算除法： a_( a 0,b0)b加减：先 _ ，再把被开方数相同的相加减混合运算：实数运算律，多项式的运算法则及乘法公式仍适用补充： 1.最简二次根式必须满足的两个条件是：_;_.2.在化简二次根式时， 可以直接把根号下的每一个平方因子去掉平方号以后移到根号外（ 注意：移到根号外的数必须是 _).3.一般地，在二次根式的运算中，最后结果通常要求化成_.3.二次根式的和相乘，类似于 _的乘法运算，注意利用乘法公式。课堂展示： 一、填空：1.式子： 21 、2x4 、 3 9 、 4 、 6a 、 x2 中，是

20、二次根式的有 _ .2.要使二次根式2x4 有意义，那么 x的取值范围是 _.3.化简：48 =_；1 =_，8x3 =_。324.计算：38_;25_235 4533755 _;6 x2 y =_2xy12 (3 4827) _; (4 3 5)2_二.先化简再求值： (a3)(a3) a(a6), 其中 a512合作探究互动探究一：是否存在实数a 与 b 使最简二次根式a 22b 2 与2a b 2 是同类二次根式？若存在，求出 a2b 2 的值；若不存在，请说明理由。互动探究二： 阅读下题的解答过程，请判断是否正确。若不正确，请写出正确的解答。已知 a为实数，化简a3a1 .a解答：a 3a1aaa 1a(a1)aaa复习题五 A 组二次根式单元检测（两课时）一、选择题：（每小题 3 分，共 24 分）得分 _1.下列运算正确的是（）A212B8Ca133216ba24bD55422.下列二次根式中，最简二次根式是（）A18B x3C3Dab223.如果7 3x是二次根式，那么 x 应满足的条件是（）A x7B x7C x7Dx733334.如果 b 是二次根式，则 a 、 b 应满足的条件是（）aA a 0且 b 0B b 0且 a 0C b 0且