八年级上册数学-二次根式及其性质导学案

1、7.1二次根式 (1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。2、掌握二次根式有意义的条件。3、掌握二次根式的基本性质：a0(a0) 和 (a) 2a(a0)二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质难点：综合运用性质a0( a0) 和 (a) 2a(a0) 。三、学习过程（一）复习引入：（ 1）已知 x2 = a ，那么 a 是 x 的_; x是 a 的_, 记为 _,一定是 _数。2） 4 的算术平方根为 2，用式子表示为 4=_ ；正数 a 的算术平方根为 _，0 的算术平方根为 _；式子a0(a0) 的意义是。（二）提出问题1、式子a 表示什

2、么意义 ?2、什么叫做二次根式？3、式子a0(a0) 的意义是什么？4、 (a) 2a(a0) 的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第 2 页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？a(a0) ， x 23 ，16，3 4，5 ， 312、计算：(1)(4)2(2)( 3)2（3）(0.5)2（ ）1)24(3根据计算结果，你能得出结论：2，其中a 0,( a )_( a) 2a(a0) 的意义是。3、当 a 为正数时指 a 的，而 0的算术平方根是，负数，只有非负数 a 才有算术平方根。所以，在二次根式中，字母

3、 a 必须满足,才有意义。（三）合作探究1、学生自学课本第2 页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习：取何值时，下列各二次根式有意义？ 3x42x122 x32、（ 1）若 a 33 a 有意义，则 a 的值为 _（ 2）若 x在实数范围内有意义，则x 为（ ）。A. 正数B. 负数C.非负数D.非正数（四）展示反馈(学生归纳总结 )1非负数 a 的算术平方根a (a 0) 叫做二次根式 .二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。2式子a (a0) 的取值是非负数。（五）精讲点拨1、二次根式的基本性质(a ) 2 =a

4、 成立的条件是a 0，利用这个性质可以求二次根式的平方，如 (5) 2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如 5=(5 ) 2.2、讨论二次根式的被开方数中字母的取值，实际上是解所含字母的不等式。（五）拓展延伸1、(1)在式子12x中， x 的取值范围是 _.1x(2)已知x24+2 xy ，则x-y_.0(3)已知 y3 x+x3 2 , 则 y x = _。2、由公式(a)2(0)，我们可以得到公式a=(a )2,利用此公式可以把任意a a一个非负数写成一个数的平方的形式。把下列非负数写成一个数的平方的形式：50.35在实数范围内因式分解x274a2-11（六）达标测试2A 组(

5、 一) 填空题：1、 3 =_;52、 在实数范围内因式分解：（ 1） x2-9= x2 -（ ）2=（ x+ _ ） (x-_)（ 2） x 2 - 3 =x2 - ()2 = (x+ _) (x- _)（二）选择题：1、计算( 13) 2 的值为（）A. 169B.-13C13D.132、已知x 3 0,则x为（）A. x-3 B. x-3C.x=-3 D x的值不能确定3、下列计算中，不正确的是（ ）。A. 3=( 3)2B 0.5=(0.5)2C . (0.3)2 =0.3D(57)2=35B 组（一）选择题：1、下列各式中，正确的是（）。A.94=4B4 9949C424D 2255

6、3662、 如果等式 (x ) 2 = x 成立，那么 x 为（）。Ax 0; B.x=0 ; C.x0;D.x0（二）填空题 :1、 若 a 2b 3 0 ，则 a2b =。2、分解因式：X4-4X2 + 4= _.3、当 x=时，代数式4x5 有最小值，其最小值是。7.1 二次根式 (2)一、学习目标1、掌握二次根式的基本性质：a2a2、能利用上述性质对二次根式进行化简.二、学习重点、难点重点：二次根式的性质a 2a 难点：综合运用性质a 2a 进行化简和计算。三、学习过程（一）复习引入：（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）二次根式2有意义，则 x。x 5（3）在实数范围内因式分解：

7、x2-6= x2 - （ ）2 = （x+ _ ）(x-_)（二）提出问题1、式子a 2a 表示什么意义 ?2、如何用a 2a 来化简二次根式 ?3、在化简过程中运用了哪些数学思想?（三）自主学习自学课本第 3 页的内容，完成下面的题目：420.22(4)22021、计算：5观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当 a 0时 ,a 2( 4)2( 0.2)2(4 ) 2( 20)22、计算：5观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当a0时, a3、计算：02当 a0时 ,a（四）合作交流1、归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：aa0a 2a0

8、a0aa02、化简下列各式：0.3222(1)_(2)0.3_(3)5_(4)(2 a)2_（ a0）是二次根式，化为最简二次根式是（）yAx （ y0） B xy （y0） C xy （y0） D 以上都不对yy（ 2）化简二次根式 aa 2 2 的结果是aA 、a2B、-a2C、a2D、 -a2、填空：化简x4x2 y2 =_（x0）3、比较下列数的大小（ 1）2.8 与3（ ）7与672264（六）拓展延伸阅读下列运算过程：1333 ， 2252 53335555数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。利用上述方法化简： (1)2=_ （）1=_632( )1 =_ _ (

9、)210 =_ _125（七）达标测试：A 组1、选择题（1）计算 112 11 2 的结果是（）335A 25B2C 2D 27773 2（2）化简的结果是（）A -2B -2C -6D-23332、计算：（1）2（2）2x3488x（3）11（4）9x41664 y2B 组用两种方法计算：（ 1）64（2）6834最简二次根式一、学习目标1、理解最简二次根式的概念。2、把二次根式化成最简二次根式3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。二、学习重点、难点重点：最简二次根式的运用。难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。三、学习过程（一）复习回顾1、化简（ 1） 96x 4

10、（2）3 2272、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？（二）提出问题 ：1、什么是最简二次根式？2、如何判断一个二次根式是否是最简二次根式？3、如何进行二次根式的乘除混合运算？（三）自主学习自学课本第 9 页内容，完成下面的题目：1、满足于,的二次根式称为最简二次根式.2、化简 :(1)35(2)x2 y4x4 y212(3)8x2 y3(4)820（四）合作交流1、计算：2121213352、比较下列数的大小（1） 2.8 与3（ ）7与672264A3、如图，在 RtABC中， C=90，AC=3cm，BC=6cm，求 AB的长BC（

11、五）精讲点拨1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、 商的算术平方根的性质和分母有理化。2、判断是否为最简二次根式的两条标准：1）被开方数不含分母；2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2（六）拓展延伸观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：11(21)212，2 1(21)(2 1)21111(32)32，32(32)(32 )3232同理可得：1= 23，,23（11, +1）（2009 1 ）的值213220092008（七）达标测试：A 组1、选择题（1）如果x （ y0）是二次根式，化为最简二次根式是（）yA x （y0） B xy （y0

12、） Cxy （y0） D 以上都不对yy（2）化简二次根式a2a的结果是a2A 、a 2B 、-a 2 C 、 a 2D、- a 2、填空：（1）化简x4x2 y2=_（ x 0）（2）已知x1，则 x15 2的值等于 _.x、计算：（ 1）371(2)3 3 111 4 )15 1142(428742从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算1、什么是同类项？2、如何进行整式的加减运算？3、计算：（1）2x-3x+5x（2） a2b2ba23ab组1 、计算：2 ab5( 3a 3b)3b （a0,b0）（二）提出问题b2a1、什么是同类二次根式？2、判断是否同类二次根式时应注意什么？3、如何

13、进行二次根式的加减运算？（三）自主学习自学课本第 10 11 页内容，完成下面的题目：1、试观察下列各组式子，哪些是同类二次根式：（1） 2 2与3 2（2） 2与 32、若 x、y 为实数，且 y=x244 x21 ，求 x yx y 的值。（3） 5与 20（4） 18与 12x 2从中你得到：。2、自学课本例 1，例 2 后，仿例计算：（1） 8+ 18（2） 7+2 7+3 9 7（3）3 48 -91+3 1237.2 二次根式的加减法一、学习目标1、了解同类二次根式的定义。通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应2、能熟练进行二次根式的加减运算。二、学习重点、难点重点：二次根式加减

14、法的运算。（四）合作交流，展示反馈难点：快速准确进行二次根式加减法的运算。小组交流结果后，再合作计算，看谁做的又对又快！限时6 分钟三、学习过程(1) 12(11 )（一）复习回顾(2)(4820) (125)327(3)x1x1（ ）221x4 y2y4x 9x ( x6x)xy3x4（五）精讲点拨1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。2、二次根式的加减分三个步骤：化成最简二次根式；找出同类二次根式；合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并。（六）拓展延伸21、如图所示，面积为48cm 的正方形的四个角是2面积为 3cm 的小正方形，现将这四个角剪掉，制作一个无盖

15、的长方体盒子，求这个长方体的高和底面边长分别是多少？2、已知 4x2+y2-4x-6y+10=0 ，求（ 2x 9x +y2x）- （x21 -5xy ）的值3y3xx（七）达标测试：A 组1、选择题（1）二次根式：12 ；22 ；2 ；27 中，3与 3 是同类二次根式的是（）A和B和C和D和（2）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A 2x 与 2yB 4 a3b4 与 9 a5b892C mn 与 nD m n 与 n m2、计算：（1）7 2+ 3 8- 5 50（2） 29x 6 x2x 134xB 组1、选择：已知最简根式a2ab与 a b 7 是同类二次根式，则满足条件的

16、a,b 的值（）A不存在B有一组C有二组D多于二组2、计算：（1） 3 90 +2 - 4 1（2）2 x8x322xy 2 (x0, y0)540（2）二次根式的乘除法法则是：（3）二次根式的加减法法则是：（4）写出已经学过的乘法公式：2、计算：（1） 6 2 3a 21 b3（3）2 3 811215025。（ 2）11416二次根式的混合运算一、学习目标熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。二、学习重点、难点重点：熟练进行二次根式的混合运算。难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。三、学习过程（一）复习回顾：1、填空（ 1）整式混合运算的顺序是：。（二）合作

17、交流1、探究计算：（1）（83）36（2）(4 23 6)2 22、自学课本 11 页例 3 后，依照例题探究计算：（1） ( 23)(25)（2） (2 32)2（三）展示反馈计算：（限时 8 分钟）（ 1）(12) 12（ ）2724332 (235)(23)3（ 3）(3 22 3)2（ ）（）（- 10 -7 ）410-7（四）精讲点拨整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、 多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。（五）拓展延伸同学们，我们以前学过完全平方公式( ab) 2a22abb2 ，你一定熟练掌握了吧 ! 现在，我们又

18、学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=（3 ）2， 5=（5 ）2，下面我们观察：(21)2( 2)221 2122221322反之，3222221(2 1)2322( 21)2322=2-1仿上例，求：（1）；423（2）你会算412 吗？（3）若a2 bmn ，则 m、n 与 a、b 的关系是什么？并说明理由（六）达标测试：组1、计算：（1）(8090)5（2）243623（3） (33ab3) ( ab)（a0,b0）（）(2 6- 5 2)(- 2 6- 5 2)a bab42、已知 a1,b1，求 a 2b210 的值。2121组1、计算：（1） (

19、 32 1)( 32 1) （2） (3 10) 2009 (3 10) 20092、母亲节到了，为了表达对母亲的爱，小明做了两幅大小不同的正方形卡片送给妈妈，其中一个面积为228cm,另一个为 18cm，他想如果再用金彩带把卡片的边镶上会更漂亮，他现在有长为50cm 的金彩带，请你帮忙算一算，他的金彩带够用吗？二次根式复习一、学习目标1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。2、熟练进行二次根式的乘除法运算。3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。二、学习重点、难点重点：二次根式的计算和化简。难点：二

20、次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。三、复习过程（一）自主复习自学课本第 13 页“小结”的内容，记住相关知识，完成练习：1若 a0， a 的平方根可表示为 _a 的算术平方根可表示 _2当 a_时，12a 有意义，当 a_时， 3a 5 没有意义。3 (3)2_( 32)2_41448_;7218_51227_;12520_（二）合作交流，展示反馈1、式子x4x4 成立的条件是什么 ?x5x52、计算： (1)2 1213 5 2(2)125x349y23(1)253375(2)(3223)2（三）精讲点拨在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子：（ 1） (a )2a(a0)与 a(a)2 (a0)aa0（2）a2a0a0aa0（3）abab (a0,b 0)与 abab (a 0,b 0)（4）aa (a0,b0)与 aa (a0,b0)bbbb（5） (a b)2a22abb2 与(ab)(a b)a2b2Ax4Bx2Cx4且 x 2Dx4且 x 2（ 3）下列各运算，正确的是（）