全国高中数学竞赛讲义立体图形、空间向量

1、竞赛试卷19 立体图形，空间向量课后练习1甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四面体的中心 ,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一个点 (体积忽略不计 ),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点的这个正四面体的体积为()A, 8 a3B, 83 a3C, 1 a3D, 8 a32727392夹在两个平行平面之间的球,圆柱 ,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之比为()A,3:2:13设二面角B,2:3:1C,3:6:2D,6:8:3a的大小是 600 ,P 是二面角内的一点,P 点到,的距

2、离分别为1cm,2cm,则点 P 到棱 a 的距离是 ()A,221 cmB,21 cmC,2 cmD,421 cm33334如图 ,E,F分别是正三棱锥A BCD的棱 AB,BCA的中点 ,且 DEa,则此正三棱锥的体积是()EF若. BC=A,a32a3E24B,24DB23C,a3D,3F12a12C5棱长为的正八面体的外接球的体积是( )A,438226B,C,D,27336若线段 AB 的两端点到平面的距离都等于 2,则线段 AB 所在的直线和平面的位置关系是.7若异面直线 a, b 所原角为600,AB 是公垂线 ,E,F分别是异面直线a,b 上到 A,B 距离为2 和平共处的两点

3、 ,当 EF3 时 ,线段 AB 的长为.8如图 (1),在直四棱柱 A1BC1 1D1ABCD 中 ,当底面四边形ABCD 满足条件时,有 A1 C B1D1 (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形 )竞赛试卷ADDBA CFCDBBC图(1)ENAM图 (2)9如图 (2),是一个正方体的展开图 ,在原正方体中 ,有下列命题 : AB 与 EF所连直线平行 ; AB 与 CD所在直线异面 ; MN 与 BF 所在直线成 600; MN 与 CD所在直线互相垂直 .其中正确命题的序号为.(将所有正确的都写出 )10如图 ,在 ABC 中 ,AB=AC=13,BC=10,D

4、E/BC分别交 AB,AC于 D,E.将ADE 沿DE 折起来使得 A 到 A1 ,且 A1DEB 为 60 0 的二面角 ,求 A1 到直线 BC 的最小距离 .AADOECBO11如图 ,已知矩形 ABCD中 ,AB=1,BC= (a 0) ,PA 平面 ABCD,且 PA=1.a(1)问 BC 边上是否存在点Q使得 PQQD?并说明理由 ;(2)若边上有且只有一个点Q,使得 PQQD,求这时二面角 QPDA的正切 .PADBQC课后习题答案竞赛试卷1过顶点 A,V 与高作一截面交BC于点 M,点 O 为正四面体的中心,O1 为底面 ABC 的中心 ,设正四面体 VABC的棱长为 m ,则

5、 AM=3 m =VM, O1M =1 AM3 m ,236O1 A2 AM3 m ,VO1VM 2O1M 26 m ,得 OO1VO1 VO6 m a3333在 Rt AOO1 中 , AO2OO12AO12,即 a2(6ma) 2(3m)2,得 m2 6 a .333则 VO14 a ,有 VV ABC1( 1m 2sin 600 ) VO183 a3 .选 B.33227温馨提示 :正四面体外接球的半径VO :内切球的半径 OO = a : 1 a3:1 .132 V1 :V2 :V3(4 R3):(R22R) : (1R22R)2:3:1 ,选 B.333设 PA棱a于点 A,PM平面

6、于点 M,PN平面于点 N,PA= , PAM,则tt sin1,得3 cos5sin,有 sin3或3(舍去 ),t sin(600)27272所以 t121 cm ,选 B.sin34由 DEEF,EF/AC,有 DEAC,又 ACBD,DEBD=D,得 AC平面 ABD.由对称性得BACCADBAD900 ,于是 ABACAD2 a .2VB ACD1 (12 a2 a)2 a2 a3,选 B.32222245可由两个相同的四棱锥底面重合而成,有 2r2 ,得 r2,2外接球的体积 V4 r 32,选 D.336当 AB2时 ,AB/;当 AB2 时 ,AB/或 AB;当 AB2时 ,A

7、B/或与斜交 .22227由 EFEAABBF ,得 EFEAABBF2 EABFcos竞赛试卷(1)当600时 有94AB212 2 11得 AB2;,2212211,得 AB6 .(2)当1200时,有 9 4 AB28 ACBD.(或 ABCD是正方形或菱形等 )9将展开的平面图形还原为正方体NACF EMBD ,可得只 ,正确 .10解 :设ABC 的高 AO 交 DE 于点 O1 ,令 AO1x ,由 AO=1325212 ,有 OO12x ,1在 AOO11 中, AOO11600,有 AO12AO112OO122 AO11 OO1cos600得 13(x6)236.AO当 x 6

8、 时 , A1 到直线 BC 的最小距离为 6.11解 :(1)(如图 )以 A 为原点建立空间直角坐标系,设 BQx ,则Q (1,x,0) ,P(0,0,1),D (0, a,0) 得 PQ(1, x,1),QD(1, ax,0)由PQQD有 (1, x, 1) (1, ax,0)0得2ax10,x若方程有解 ,必为正数解 ,且小于a.由(a)240 ,a0 得 a2.,(i)当 a2时 ,BC上存在点 Q,使 PQQD;(ii)当 0a2 时 , BC上不存在点 Q,使 PQQD.(2)要使 BC 边上有且只有一个点Q,使 PQQD,则方程有两个相等的实根,这时 ,(a)24得 a2有 x1.0 ,又平面 APD 的法向量 n1(1,0,0),设平面 PQD 的法向量为 n2(x, y, z)而 QD( 1,1,0) , PD(0,2,0)(0,0,1)(0,2,1) ,n2QD0( x,