2020高考文科数学(人教版)一轮复习讲义第47讲 空间几何体的结构及三视图、直观图

1、1空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图(3)会用平行投影画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式(4)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式2空间直角坐标系(1)了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置(2)会简单应用空间两点间的距离公式3点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理公理1：如果一

2、条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点在此平面内公理2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线公理4：平行于同一条直线的两条直线平行定理：空间中如果两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理理解以下判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂

3、直如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直理解以下性质定理，并能够证明：如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线相互平行垂直于同一个平面的两条直线平行.如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于他们交线的直线与另一个平面垂直(3)能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题120142018年全国卷的考查情况年份2014考查内容第8题三视图表示的几何体第19题(1)证线线垂直(2)求三棱柱的高分值5分12分2015201620172018第6题实际问题、锥体的体积计算第11题

4、三视图、表面积第18题(1)证面面垂直(2)计算侧面积第7题三视图、表面积第11题异面直线所成角的正弦值第18题(1)证明G是AB的中点(2)作投影求体积第6题判定线面平行第16题三棱锥的体积、球的表面积第18题(1)证明面面垂直(2)求四棱锥的侧面积第5题圆柱的表面积第9题三视图、最短路径第10题线面角、长方体的体积第18题(1)证明面面垂直5分5分12分5分5分12分5分5分12分5分5分5分12分(2)求三棱锥的体积2.20142018年全国卷的考查情况年份考查内容第6题三视图、体积分值5分20142015201620172018第7题求三棱锥的体积第18题(1)证线面平行(2)求点到面

5、的距离第6题三视图、体积第9题球的表面积第19题(1)作图问题(2)计算体积比第4题切、接问题第7题三视图、表面积第19题(1)证线线垂直(2)求锥体的体积第6题三视图、体积第15题长方体外接球的表面积第18题(1)证线面平行(2)求锥体的体积第9题异面直线所成的角第16题圆锥的体积第19题(1)证线面垂直5分12分5分5分12分5分5分12分5分5分12分5分5分12分(2)求点到平面的距离立体几何是每年高考必考内容，在2014年至2018年卷和卷的10套试题中，除2014年卷是“一小一大”，2018年卷是“三小一大”外，其他各套试题都是“两小一大”，占22分客观题主要考查三视图，球的表面积

6、或体积、多面体、组合体的有关计算，其中三视图是高考的热点，每年都考查一道小题客观题主要以选择题为主，选择题一般在第6至11题之间，填空题一般在第15题或第16题的位置，一般是中等难度或偏难的试题解答题都是设置两问，其中第一问主要是位置关系的证明，主要涉及线线垂直、线面平行、面面垂直、线段相等及作图等，第二问主要涉及体积与表面积的计算，以几何体的体积计算为主，包括直接求体积、间接求体积(如用等体积法求点到面的距离、求体积之比等)立体几何解答题一般在第18题或第19题，是中等难度的试题立体几何是培养学生空间想象能力和逻辑推理能力的良好素材，主要以三个载体(三视图、直观图、点线面的位置关系)来帮助学

7、生认识空间图形及其位置关系，提升空间想象能力并在几何直观的基础上，初步形成对空间图形的逻辑推理能力在复习时要注意如下几个方面：1三视图是高考的重点和热点，在学习时可以通过“实物模型三视图直观图”这样一个相互转化的过程来认识空间几何体，要求能够画出空间几何体的三视图和直观图，从三视图想象出它的实物图和直观图注重培养和发展学生的几何直观能力和空间想象能力，帮助学生更全面地把握空间几何体2空间位置关系特别是空间中平行与垂直关系的判断与证明是高考必考内容，要求熟练掌握平行与垂直的判定定理及性质定理，要能根据问题的特点迅速联想相应的问题进行证明，提高空间想象能力和逻辑推理论证能力3明确柱、锥、台、球的几

8、何特征，并能进行表面积、体积的运算高考常以此为载体考查空间想象能力及运算能力第47讲空间几何体的结构及三视图、直观图1了解柱、锥、台、球的定义、性质及它们之间的关系2掌握柱、锥、台、球的结构特征)3能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等及其简易组合的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图知识梳理1柱、锥、台、球的结构特征名称结构特征图例棱柱两底面相互平行，其余各面都是平行四边形，侧棱平行且相等棱锥底面是多边形，各侧面均是三角形，各侧面有一个公共顶点续表名称结构特征图例棱台圆柱圆锥圆台球两底面相互平行；是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之

9、间的部分两底面相互平行；侧面的母线平行于圆柱的轴；是以矩形的一边所在直线为轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体底面是圆；是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体两底面互相平行；是用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分球心到球面上各点的距离相等；是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体2.三视图(1)正视图是光线自物体的前面向后面正投影所得的投影图俯视图是光线自物体的上面向下面正投影所得的投影图侧视图是光线自物体的左面向右面正投影所得的投影图(2)三视图的排列规则：先画正视图，俯视图画在正视图的下方，长度与正视图相等

10、，侧视图则安排在正视图的正右方，高度与正视图相同.3直观图空间几何体的直观图常用斜二测法来画，基本步骤是：(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x轴与y轴，两轴相交于O点，且使xOy45(或135).已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中，分别画成平行于x轴或y轴的线段在已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半.(2)画几何体的高在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z轴也垂直xOy平面，已知图形中平行于z轴的线段在直观图中仍平行于z轴且长度相等.(3)成图根据

11、实际图形，顺次连接线段的端点，并整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线)，就得到了几何体的直观图1根据三视图确定直观图的常用结论(1)三视图为三个三角形，对应三棱锥；(2)三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥；(3)三视图为两个三角形，一个带圆心的圆，对应圆锥；(4)三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱；(5)三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱42用斜二测画法画出的水平放置的平面图形的直观图的面积是原图形面积的热身练习1下列四个命题：有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱；各个面都是三角形的几何体是三棱锥；用一个平面去截棱锥，棱锥的底面与截面之间的部分是棱台；两个面互

12、相平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台其中正确的命题有(A)A0个B1个C2个D3个假，如棱台有两个面互相平行，其余各面是四边形；由图1至图3可知、都是错误的2.A是错误的，以直角三角形的直角边为轴旋转所得到的旋转体才是圆锥；B是错误的以直角梯形的垂直于底的腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；C是正确；D是错误的，圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形2下列说法正确的是(C)A以直角三角形的一边为轴旋转所得到的旋转体是圆锥B以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台C以半圆的直径为轴旋转一周所得到的旋转体是球D圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径所在圆的半径等于圆锥的母线

13、长故选C.3下列几何体的三视图中，有且仅有两个视图相同的是(D)ABCD圆锥和正四棱锥的正视图和侧视图都是等腰三角形4(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来构件榫头，凹进部分叫卯眼图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图的凸出部分叫放的木构件与可以是(A)由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，A12B12C22D.由直观图可知其俯视图应选A.5如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长均为1的等腰梯形，那么这个平面图形的面积是(C)21222先画出直观图：图(1)对应的平面图形：图(2)，2

14、22.可知平面图形是一个直角梯形，其中AD2，DC1，AB21，所以其面积S1212空间几何体的结构特征(经典真题)若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值A至多等于3B至多等于4C等于5D大于5根据n的取值构造相应的几何图形或几何体求解n2时，可以；n3时，为正三角形，可以；n4时，为正四面体，可以；n5时，为四棱锥，侧面为正三角形，底面为菱形且对角线长与边长不可能相等B本题考查了空间想象能力和推理论证能力，试题有较大的难度根据题目特点善于构造几何图形和空间几何体是解决这类问题的关键1在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何体是.(写出所有正确结

15、论的编号)矩形；不是矩形的平行四边形；有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；每个面都是等边三角形的四面体；每个面都是直角三角形的四面体作出正方体ABCDABCD.显然可能；不可能；取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；取正方体中对面上的两条异面直线对角线的四个端点构成的四面体，如BACD；取DBBC时各面均为直角三角形空间几何体的三视图如图，四面体ABCD的四个顶点是长方体的四个顶点(长方体是虚拟图形，起辅助作用)，则四面体ABCD的三视图分别是(代表图形)()ABCD由四面体ABCD四个顶点是长方体的四个顶点，可得四面体ABCD的正视图为，侧视图为，俯视图为.故四

16、面体ABCD的三视图分别为.B(1)解决三视图问题，要从以下几个方面加以把握：搞清正视、侧视、俯视的方向，同一物体由于正视、侧视的方向不同或放置的位置不同，所画的三视图可能不同遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则注意几何体中与投影面垂直或平行的线段在三视图中的特点要注意实线、虚线的画法，可视轮廓线画成实线，不可视的画成虚线(2)画三视图时，要注意所给几何体与熟知的几何体的联系，如将几何体放置在正方体或长方体)中或补形成正方体等，有利用发现线、面与投影面的位置关系，从而准确作出相应的三视图2(1)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1

17、,2,1)，(2,2,2)给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为(D)A和B和C和D和(2)已知三棱锥的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图的面积为(C)所示，则其侧视图A.B.343243C.D1(1)在空间直角坐标系中构建棱长为2的正方体，设A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2,2,2)，则ABCD即为满足条件的四面体，得出正视图和俯视图分别为和.(2)由图可知其侧视图为三角形，根据三视图的“高平齐”得侧视图的高为3，又由“宽相等”可知侧视2图的宽度和俯视图的宽度相等，得侧视图的底为1sin603.所以侧视图的面积为S3.133224由三视

18、图得到空间几何体的直观图(2017北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为()A32B23C22D2在正方体中还原该四棱锥，如图所示，可知SD为该四棱锥的最长棱由三视图可知正方体的棱长为2，故SD22222223.B将三视图还原为直观图时，若能将其放置到“正方体”或“长方体”中去研究，不仅能较易得到直观图，同时还能发现各元素之间的数量关系与位置关系，便于问题的解决3(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为(B)A10B12C14D16将三视图还原为直观图，如图：可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直