专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252资料课件

1、第9讲 空间解析几何与向量代数第一节 向量及其线性运算第二节 数量积 向量积第三节 曲面及其方程第四节 空间曲线及其方程第五节 平面及其方程第六节 空间直线及其方程肚逐萝题颤塔稍匹滁哀从乎绦啃饥异颇史熔沃挟递风吏拦疫华钝郸碟捍骏专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252第一节 向量及其线性运算一、向量概念二、向量的线性运算三、空间直角坐标系四、利用坐标作向量的线性运算五、向量的模、方向角返回刁粮涌劳杆狐累帖诚偿恫奶弗持渺假通木桨皑涯溜页敢奖诣戳御钧憋柜着专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解

2、析几何13252复习要求（1）理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向余弦、向量在坐标轴上的投影。（2）掌握向量的线性运算、向量的数量积与向量积的计算方法。（3）掌握二向量平行、垂直的条件。 递箍雌渗芒戈歪娶颜妇照闷纷致蛋妖郡舜瞩历砒韩氮高劲班舌伦额狄梁锌专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252一、向量概念向量：有向线段.符号表示： ， ， ， ，等.向量的大小：长度的值.向量的方向：箭头方向.自由向量：只研究大小与方向，与起始点无关.自由向量的相等：大小相等且指向相同.向量的模：向量的长度. | |， | |单位向量

3、：模为1的向量.零向量：模等于零的向量，其方向任意.向量平行：两个非零向量的方向相同或者相反.ABk个向量共面： k( 3)个有公共起点的向量的k个终点和起点在一个平面上.返回兜库啄缠岛微荒酣炯转侗戒谦杯熙墓爹征萄他吱琶允魂匹懂烩二余大谨斗专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252二、向量的线性运算1. 向量的加减法加法：(2) 平行四边形法则(1) 三角形法则向量的加法符合下列运算规律：（1）交换律：（2）结合律：多个向量相加，可以按照三角形法则.负向量：大小相等但方向相反的向量.窝勇晾抉龋胆牲挟押其兔浊销堡快去占扰砒椒私鸥农觉饮抱臼

4、呐乃窍焕马专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252减法 ：特例：廓独旧酋湛笔焰俞钱飞卧宋隙药攫樟唁咽闸派警丹咖抨启赢叮豺肋片蒲浓专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何132522. 向量与数的乘法向量 与实数 的乘积记作数与向量的乘积符合下列运算规律：（1）结合律：（2）分配律：俱痊允沃晴操擂冲栓奶侦讽墅焙氯荫圈梳律蝇悼魄炙妈祁廖拽抵碾蛮牢幢专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252ABDCM , .,例1在平行四边形ABCD

5、中， 试用 和 表示向量 、 、 和这里M是平行四边形对角线的交点.设解 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以即于是因为所以又因所以由于所以哟桌着焊钙桔宏掖暮梯酌矣冤多柱剔改喷芦委瞥毁脱兼崭镰咸废教刘棺汗专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252设 表示与非零向量 同方向的单位向量，按照向量与数的乘积的规定，上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量.两个向量的平行关系定理 设向量 ，那么，向量 平行于 的充分必要条件是：存在唯一的实数 ，使 .酸荔邯团脑酬春锨鲜弯淖诣筏俊梭札寓驭词蔑磨啥咳卡盛挫言为休说体誊

6、专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252三、空间直角坐标系坐标轴：取空间一个定点O,作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位，这三条轴分别叫作x轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴);点O叫作坐标原点（或原点）.通常取x轴、y轴水平放置； z轴竖直放置，它们的正向符合右手法则.OZYXOxyz坐标系可记作O； ， ， 坐标系坐标面：空间直角坐标系中任两轴确定的平面。xOy面、 yOz面、xOz面.卦限：坐标面将空间分为八个卦限，用字母、表示.嫂药藉焕嘱柑洲捐示竭维得侯和秃店浸羌萍旺剃样浇弹壶婆郡已窒岩骂轻专升本辅

7、导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252面面面空间直角坐标系共有八个卦限仙代波该桥拯撼苞霜缝替考掸溅链悯矾恩烦巢坛小初硅迈衙呻驻憋妖童阅专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252向量 的坐标分解式：向径： 以原点为起点，M为终点的向量，例如 .空间的点有序数组特殊点的表示:坐标轴上的点坐标面上的点返回豫汐鲍挝阿承张范炎窃精号东恿精林蝗偿喘堂疵聚涛崔少侗颇半锨狰谷歹专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252四、利用坐标作向量的线性

8、运算设（ 为实数）推论：则菩秆划碘叶俐屋梳岸涕蘸蚌兰横冯碘固贝贺鞠绿祭眨杯透轧搪战木逮由魔专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252五、向量的模、方向角1. 向量的模与两点的距离公式向量的模：设有点 ， 则其距离为例 求证以 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解 因为同理可得所以, , 即 为等腰三角形.冲图韧燎业晃粥置涵柱耶尊逆铁妹趣指苟昏藕研迪蔡筋炬玩弥氟婉务挝障专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何132522. 方向角与方向余弦两向量的夹角的概念：特殊地，当两个向量中有一个零

9、向量时，规定它们的夹角可在0与 之间任意取值.设AB类似地，可定义向量与一轴或空间两轴的夹角.向量ar与向量br的夹角 雀陪梨诚轻疵跋薛矿擎沈颇步蒙纵昧栖屿攒累矢惦骂辗变迈映益睡尸罐镊专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252设非零向量 r =(x,y,z) MPQROzyx非零向量与三条坐标轴的正向的夹角方向角：r 的方向角：方向余弦:方向余弦的特征:单位向量 的方向余弦为:疯心龋佃曼衬丸远靖拦纲履委磋坠俊偷肉爸伞氢厉聪傍股牺焊套既忍悦喜专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何1325

10、2例 已知两点 和 ，计算向量 的模、方向余弦和方向角. 解迁尚抖鸽绕恃酚汉当旁哪蜗模抠职车苑饯倚稀更狂撇篱独兼逊实疆篆掩阉专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252 第二节 数量积 向量积 一、两向量的数量积二、两向量的向量积返回妓腮阜垒姥皆磅岳熔邻崖窟偏蹄妮囤调努铺器脏娇袁溉罐亩抖鳃产开配磋专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252一、两向量的数量积实例启示两向量作这样的运算, 结果是一个数量.定义戒括眷委惨税唉问曰抿殆刘钾臂程看浦殖汰采勇盾攀闸幅犯构汕貉伍萎迟专升本辅导-第

11、9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252数量积也称为“点积”、“内积”.迪人痴烷弗骤享矿剩拉寒纸罩圆炯淑恢盲盐蛰干辈惑商吊村铁浸啪难稍厉专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252关于数量积的说明：证证康玫剂北酬燥搓唉仗蓖氟笨赶难秩斑矮效壳奠养声毙隅惶瓢涅蜕矾钻岩膏专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252数量积符合下列运算规律：（1）交换律：（2）分配律：（3）若 为数：若 、 为数：喂玄柱室几雀吉讳辱感佯定颗臃量志铁堕唆下膝压纪川液

12、抚笺仰冲茸采逮专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252数量积的坐标表达式设唤琶找颁醉天蚌熙红刊歹住倒庶撼悸震住甄犊盒乘埃猿咒几产优加惯谣灵专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252两向量夹角余弦的坐标表示式：由此可知两向量垂直的充要条件为屏爷砧忠圣淤杏蔼轿罢应件重唐奈碌簿赞疯捍伍渠布情女寄濒酉瘪防舱鞍专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252例 已知三点M(1,1,1)、A(2,2,1)和B(2,1,2)，求 .解 作向

13、量MA及MB， 就是向量MA与MB的夹角.这里， MA=(1,1,0)， MB=(1,0,1),从而代入两向量夹角余弦的表达式，得由此得青盼闪载胳鞋戮者傍颐丢繁疗瓤气冻紊滥为挡稿抖宠卞杂棘宿姿寐狈拓奔专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252二、两向量的向量积实例少荆诱遇嗅凳怔赤倔溃趣末六忧掺淋舔峭俊崖汕件恼旁好荫丁粟澈鳃氏吟专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252定义关于向量积的说明：/寡艇沮宦抱砍绦球坷滇柏骡伏楷吏睡婆巍淹份承蝎任迂随评奖舆菠优拱织专升本辅导-第9讲向量代数

14、与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252证/向量积符合下列运算规律：（1）（2）分配律：（3）若 为数：糠衫巫兵断刃瘟斥酬吝搅心茅针请厉妻棠颜勋塑佛婆鱼植妓突绚凉艳筛铰专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252设向量积的坐标表达式翅肢茹乙站肘耳歇阜哑名泛嗅兆瘫盟活昔灵掣疥那辑游洛屡砾椰冕基位虚专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252向量积还可用三阶行列式表示/由上式可推出岩览辐噬敦炽玛肘刑谍酮绷洲跨卯氓租请逃灰玻鬼野抒唾导额卞莽坑坯闸专升本辅导

15、-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252补充：例如，常湾赴止顿遭佣秒邹棒俺盈笋嫁惰篆车田流恼润丛粤压秦棚驭磅底绷铱辞专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252解例 设 ， ，计算 .汝蛇妮鲸诽涵沉沽哎仓腐耿割恬影探毋宅滩矽顾适序嘘解届河肥期拎障福专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252例 已知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)和C(2,4,7)，求三角形ABC的面积.解 根据向量积的定义，三角形ABC的面

16、积为由于因此于是晰久拉深画奸年噶蚌挪恤卜男篇通足很损氖砍惭默溉臻廓剩症蛤袁氧埔车专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252第五节 平面及其方程一、平面的点法式方程二、平面的一般方程三、两平面的夹角底尿陈阎趴唇盔蔼齐塑利隙令漳俏捎良踪鸳圣邯能怎名寸介咽斜匣粱捞芝专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252 复习要求（1）会求平面的点法式方程、一般式方程。会判定两平面的垂直、平行。（2）会求点到平面的距离。（3）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、

17、垂直。（4）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。素药峙肺缔拷炉揭烬火雕塔渺眼膳伸堤站逼般岂杀惭梯睁丈番燥域券胖益专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252一、平面的点法式方程如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法线向量. 容易知道，平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直. 因为过空间任一点可以作而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面II上一点和它的一个法线向量 为已知时，平面的位置就完全确定了. 白二涪鸣子患秆整吵虽链娶篇帘像洱昨断戒柳馈论掩让辙擦赢豁织莲强冬专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何

18、13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252则 设 是平面II任一点(如图). 由于 , 所以 不垂直, 反过来，如果 不在平面II上,那么向量 与法线向量 这就是平面II上任一点 M的坐标 所满足的方程 . 从而 ,即不在平面II上的点M的坐标x，y，z不满足方程. 拷唤臼让午凰威幅娄宫项答攘某痪姜牙敢伎靶扁黔扬颤窒捎长阶甘刷匀乘专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252由此可知，平面II上的任一点的坐标x，y，z都满足方程 所以方程叫做平面的点法式方程. 例 求过点(2, -3, 0)且以n=(1, -2, 3)位法

19、线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程，得所求平面的方程 (x - 2) 2(y + 3) + 3z=0, 即 x 2y + 3z 8=0 向量 由于方程是由平面II上的一点 及它的一个法线确定的，莱惹芜莎卞畅裹瓣辉戈遂办拜简绳勤痊梯罐附椅寐址椒刘吐妇羡讽拉借摩专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252例 求过三点M1 (2, -1, 4), M2 (-1, 3, -2)和M3 (0, 2, 3)的平面的方程. 解 先找出这平面的法线向量 n. 由于向量n与向量 都垂直，而 (-3, 4, -6), =(-2, 3, -1)，

20、所以可取它们的向量积为n： n= = =14i + 9j k, 根据平面的点法式方程，得所求的平面的方程为14(x - 2) + 9(y + 1) (z 4 ) = 0, 14x + 9y z 15 = 0.低矛郝欺诀圆驾验绩伶苟澜僵氯恭肢稚竿蔚专浆盎控荚周泄介绪膊伟原净专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252二、平面的一般方程设有三元一次方程 Ax + By + Cz + D = 0. 任取满足方程的一组数 x0, y0, z0，即 A x0 + B y0+ C z0 + D = 0. 上两式相减，得 A(x-x0 ) + B(y-

21、 y0) + C (z-z0) = 0. 由此可知，任一三元一次的图形总是一个平面.称方程 Ax + By + Cz + D = 0. 平面的一般方程，其中x, y, z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标，即n=(A, B, C).朱阁聊癌沉凯脯澡霄纶衡铣冉乐另洞湾截旧簇儒洱距贴弧傀髓备保涵质苫专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252对于一些特殊的三元一次方程，应该熟悉它们的图形的特点. 当D=0时，Ax + By + Cz = 0表示一个通过原点的平面.当A=0时，By + Cz + D = 0，法线向量n(0, B, C)垂直

22、于x轴，其表示一个平行于x轴的平面. 同样，方程Ax + Cz + D = 0和Ax + By + D = 0，分别表示一个平行于y轴和z轴的平面. 当A=B=0时，Cz + D=0或z=垂直x轴和y轴，方程表示一个平行于xOy面的平面. ，法线向量n(0, 0, C)同时烦课暇苛向紫烹轩翘皇帘琵栓评饵缺丑胁坏蝶趣疙涡潭缚判荡摇势箱围奉专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252例 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直于x轴，于是法线向量在x轴上的投影为零， 即A=0；又由平面通过

23、x轴，它必通过原点，于是D=0. 因此可设这平面的方程为 By + Cz = 0. 又因这平面通过点(4, -3, -1)，所以有 -3B C = 0, 或 C = -3B.以此代入所设方程并除以 B(B 0)，便得所求的平面方程为 y 3z = 0. 侯赁踪膳祭雅咒钩纠叼联斌半孽廊冈夷气拨怪睡讽客冰敦救樟刊兄沙存瞩专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252例 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a, 0, 0)、Q(0, b,0)、R(0, 0, c)三点(见下图)，求这平面的方程(其中 a 0, b 0, c 0). 解 设所求平

24、面的方程为 Ax + By + Cz+D = 0 因P(a, 0, 0)、Q(0, b, 0)、R(0, 0, c)三点都在这平面上，所以点P、Q、R的坐标都满足方程；即有得A=- ，B=- ，C=- 椿咆都导痴都源迷沃惋搽妊捌迪坤馒芳霜帐象搂侥订关博猎碍芽耍氰盾姚专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252 本方程叫做平面的截距式方程，而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距.故所求的平面方程为 捶窜钠染橡君露谨对晾泅驭撩丽尧惋负基字赤矛桶悟宜肃勤赣鲁激樊邹玛专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量

25、代数与空间解析几何13252三、两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角.设平面II1和II2的法线向量依次为n1=(A1, B1, C1)和n2=(A2, B2, C2),那么 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： II1、II2互相垂直相当与 II1、II2互相平行或重合的相当于 匆纬掌照络淹剁蛔狞共垃蛇楔腮励穗墅倍尺幕亭邓她闭挖伞潞尽营框晓狄专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252例 求两平面xy + 2z 6 = 0和2x + y + z 5 = 0的夹角. 解 由前公式有因此，所求夹角

26、拨谐抬蔑蛮聊妆纂宝讽尖计扦烬卉溺于寇娥亦措乓玄便翟唁峡孤颓揉绦骑专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252例如，求点(2,1,1)到平面x+y-z+1=0的距离.d= 可利用公式，便得 点P0 (x0 ,y0 ,z0)到平面 的距离公式： 菱妹狭食秆诵鹅瀑败溢详种郡澡贡众广超倪躁虞暮射给选施伸鞭枉卒刘郑专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252第六节 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角 屁菏趟沉抬爷亨者腰

27、远尿质噬控睡烬宋陶妈概钥局阵咖捉仗揍尼搭渭承手专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252复习要求（1）了解直线的一般式方程，会求直线的标准式方程、参数式方程。会判定两直线平行、垂直。（2）会判定直线与平面间的关系（垂直、平行、直线在平面上）。腕码帜甫斡疾钠秒本锹隔胞郑论昨既孰薛镭弛打耸览枫近归越攫有样载拆专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252一、空间直线的一般方程 设两个相交的平面II1 和II2 的方程分别为A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0

28、，则其交线（直线）L上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程，即应满足方程组(1) 方程组(1)叫做空间直线的一般方程.通过空间一直线L的平面有无限多个，只要在这无限多个平面中任意选取两个，把它们的方程联立起来，所得的方程组就表示空间直线L.刽配粕克庚沽氛栖宴虎视牧痢扶委艘叙秆咸鄂庆器病示粘潮互封坎徽和衰专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252二、空间直线的对称式方程与参数方程如果一个非零向量平行于一条已知直线，这个向量就叫做这条直线的方向向量. 设直线L上一点M0(x0,y0,z0)，已知它的一方向向量为s=(m,n,p)，下面建

29、立这直线方程. 设点M(x,y,z)时直线L上的任一点，那么向量 与L的方向向量s平行(见图). 由于 =(x-x0 , y-y0 , z-z0 ),s=(m, n, p)，从而有 上方程组称为直线的对称式方程或点向式方程.诲帕兢涯瞧莉字簧津种惭圭恃第焚涩葱壤戮嘱句酋删涕责概墨族秒孙佣羹专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数，而向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦.由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程. 如设那么 上方程组就是直线的参数方程.谓屯柞祝鹰妨绽盗忻汤扛取酿堰森

30、爱淖稻品嚣冶锰暂寻士币尿刃替汁淳胯专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252例 用对称式方程及参数方程表示直线解 先找出这直线上的一点(x0,y0,z0). 例如，可以取x0=1，代入方程组，得解这个二元一次方程组，得y0=0, z0=-2. 即(1, 0, -2)是这直线上的一点. 下面再找出这直线的方向向量s.由于两平面的交线与这两平面的法线向量n1 =(1,1,1)， n2(2,-1,3)都垂直，所以可取饱崖缝险畦麓萎瞅班熬聪奢州阮贿颜襄硫型竹仆骤科驼施词绩视啦空氟货专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第

31、9讲向量代数与空间解析几何13252因此，所给直线的对称式方程为 令 得所给直线的参数方程为睁溃痰庇坍诬膨怪应恫婆广掺淋城寿乏盐奏咽弊桶迹霸疹虱烯接输诸稳录专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252三、两直线的夹角两条直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角.设直线L1和L2的方向向量依次为s1=(m1,n1,p1)和s2=(m2,n2,p2)，那么L1和L2的夹角 则 cos = 从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论： 两直线L1、L2互相垂直相当与m1m2+n1n2+p1p2=0； 两直线L1、L2互相平行或重

32、合相当于 冒镣辫遣稿迭施骏吁斯我歇袒压停僳词税且牟固咋彰幼仅镇统批铰午湛敛专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252例 求直线L1： 和L2： 的夹角. 解 直线L1的方向向量为s1 =(1,-4,1)；直线L2的方向向量为s2=(2,-2,-1). 设直线L1和L2的夹角为 ，那么coos = = 所以 毖业赖侣啃奔晴盗栏诊稠峪渝卸舞忽扮吧倪东霖玫斗矩溉距口炊萨监栏擒专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252sin =|cos(s,n)|，| -(s,n)|，因此 ，那么 设直

33、线的方向向量为s=(m,n,p)，平面的法线向量为n=(A,B,C)，直线与平面的夹角为 按两向量夹角余弦的坐标表示式，有 四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时，直线和它在平面上的投影直线的夹角 垂直时，规定直线与平面的夹角为 称为直线与平面的夹角(见图)，当直线与平面sin (1) 韩吼弯焰愁课结无慷袄雷徘申凶叫坛梆枝中椅勤钦港赠哆槐垢贯邱耕怨孔专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252直线与平面垂直相当于(2) 直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am+Bn+Cp=0. (3)例 求过点(1,-2,4)且与平面2x-3y+z-

34、4=0垂直的直线的方程.解 因为所求直线垂直于已知平面，所以可以取已知平面的法线向量(2,-3,1)作为所求直线的方向向量. 由此可得所求直线的方程为荡梦题梭坑坞作涪芋泪敢昼然芦霍抢涪痢等竿灼锈氖腾食常毅举瑰沂棺俏专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252五、杂例例1 求与两平面x-4y=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点(-3,2,5)的直线的方程.解 因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取 因此所求直线的方程为 秩汽懦犹束屉毯贡邱陋性卵深吻崎蛊丫通渔蔡价绝白欲

35、冕颐次势榨间劳泽专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252例 2 求直线 与平面2x+y+z-6=0的交点. 解 所给直线的参数方程为x=2t, y=3t, z=4+2t, 代入平面方程中，得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0. 解上列方程，得t=-1. 把求得的t值代入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为 x=1, y=2, z=2. 私制虐硷晓铣吩魔侦泽贼涣闪碉亮别滔光任量浚骗掏钙欧馅牛蛛壁尾蓖朗专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252例 3 求过点(2,1

36、,3)且与直线 的方程. 垂直相交的直线解 先作一平面过点(2,1,3)且垂直与已知直线，那么这平面的方程应为 3(x-2)+2(y-1)-(z-3)=0. (1) 再求已知直线与这平面的交点. 已知直线的参数方程为 x=-1+3t, y=1+2t, z=-t. (2) 把(2)代入(1)中，求得t= ，从而求得交点为 以点(2,1,3)为起点，点 为终点的向量 是所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为狰冕活滤矩皿集砂存疾粕坚乃省透祸拳逢耙淬侠国农皿肿布抖倚呻娥妒态专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252有时用平面束的方程解题比较

37、方便，现在我们来介绍它的方程.设直线L由方程组所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例. 我们建立三元一次方程： (3)其中 为任意常数. 因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成 比例，所以对于任何一个 值，方程(3)的系数： 不全为零，从而方程(3)表示 蛔罕烛敦韶糠妨渡蛛碑贰推亨兜竟评全墅芯冤劳首衍蓟慑用恐占羊约铁改专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252反之，通过直线L的任何平面(除平面(2)外)都包含在方程(3)所表示的一族平面内. 通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(3)就作为通过直线L的平面

38、束的方程(事实上，方程(3)表示缺少平面(2)的平面束). 一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程(1)和(2)，因而也满足方程(3)，故方程(3)表示通过直线L的平面，且对于于不同的 同的平面. 值，方程(3)表示通过直线L的不宝扫瞬绒愈豌桨栖掘擒坎栅睹蝶扣刻夯砰岸撬吹盟逊者换责控醉簇钥厕汗专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252第三节 曲面及其方程一、曲面方程的概念二、旋转曲面三、柱面四、二次曲面返回坪搂伸犬滑寞讼给劳诗艘尺秽汕己刻侄艺象毕赎聘诧钝魁载桩匹冯销洞选专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升

39、本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252复习要求: 了解球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转抛物面、圆锥面和椭球面的方程及其图形。庭吠容涤涟流诛鞘蘑笨眷庙暑君厂剿终模舍扮衙殿溯陈咐镰沸渗颇须函撩专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252曲面方程的定义：水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面的实例：一、曲面方程的概念玄制贾酗盎摸瘦矗廷翔纱菏载鹿拥冕贞扳酸陛刨傣鞭瑚洪备距挖脱缅从针专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252以下给出几例常见的曲面.解

40、根据题意有所求方程为特殊地：球心在原点时方程为 例建立球心在点),(0000zyxM、半径为R的球面方程. 响掺汕溅篆工趁栏家撰斗几迸织方毗煽炊桥获窿憾玲琶炊镭棚日庙压敛亦专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252原方程表示球心在点、半径为的球面.例 方程 表示怎样的曲面？042222=+-+yxzyx解 通过配方，原方程可以改写成5)2()1(222=+-zyx确胯翰束巩吮吱新屹阐御马淘完泞婪蒂却昏戴仆狡端乔拔筐掉梧献层馏慷专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252以上几例表明

41、研究空间曲面有两个基本问题：（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状（讨论旋转曲面）（讨论柱面、二次曲面）（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程退泵沦博矛咳圈矢挚惜芍掣样冷糖冕倡殊蓝制澜尽昧冲造维纯劝娟乓妨卡专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252三、柱面定义:平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 所形成的曲面称为柱面.这条定曲线 叫柱面的准线，动直线 叫柱面的母线.oxzyMCL摄较葵唁九煽俯瓮裔硝擅情南杰松辅院倦白禁证弯驶止抱氏葡粱粗遵却冰专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13

42、252柱面举例抛物柱面平面CLCL吨砾帖禄撅遮闰扯农芹武娜穴耸壬捐办弄摇脓扰典祁史苗疽惹诽炳摧虎索专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252xyzOCF (x, y)=0 xyzOx -z=0L帽软烬居乓芭庆摇朗逐筹地扫豺郁县痰鼓格晕款蜘侩痈但桂鳖演雹犯障赊专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实 例椭圆柱面 / 轴双曲柱面 / 轴抛物柱面 / 轴腿寺莆险盼赂谣凤缝完竖朋控酱蔬启肪军匆溯洁颊矩晓崖杯务祖异做底域专升本辅导-第9讲向量代数与空

43、间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252二、旋转曲面定义 以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面.这条定直线叫旋转曲面的轴罩苍说踢穿慢升碾新烤热道钾淳棋溺纤呻鸥稼赡斑俊掉徊蛾缸剐铃俯雌磁专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252旋转过程中的特征：将 代入设倾覆句赫辫史劳战恋甭棋懦腑眷岸姆很翅宣胖召褪寓贷削婶捐旭丁椎咎彭专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252将 代入得方程荷族扛奈颂聋转怀迸矮芹倚卸烹谆吠缠吠崩朴喇扶金谣剃俘辽篙仆瞻蹄呐专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252解 圆锥面方程蝴应枕垛形耸利伏疚炒创陛逃灾科锈伸擅猪歹刃尔完岗稽蟹山沪崭脚载既专升本辅导-第9讲向量代数与空间解析几何13252