高二数学教案：最小二乘估计教案

1、5/5高二数学教案：最小二乘估计教案教学目标：1、掌握最小二乘法的思想2、能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程教学重点：最小二乘法的思想教学难点：线性回归方程系数公式的应用教学过程回忆：上节课我们讨论了人的身高与右手一拃长之间的线性关系 ,用了很多种方法来刻画这种线性关系 ,但是这些方法都缺少数学思想依据。问题1、用什么样的线性关系刻画会更好一些?想法：保证这条直线与所有点都近(也就是距离最小)。最小二乘法就是基于这种想法。问题2、用什么样的方法刻画点与直线的距离会方便有效?设直线方程为y=a+bx ,样本点A(xi ,yi)方法一、点到直线的距离公式方法二、显然方法二能有效地表示

2、点A与直线y=a+bx的距离 ,而且比方法一更方便计算 ,所以我们用它来表示二者之间的接近程度。问题3、怎样刻画多个点与直线的接近程度?例如有5个样本点 ,其坐标分别为(x1 ,y1) ,(x2 ,y2) ,(x3 ,y3) ,(x4 ,y4) ,(x5 ,y5)与直线y=a+bx的接近程度：从而我们可以推广到n个样本点：(x1 ,y1) ,(x2 ,y2) ,(xn ,yn)与直线y=a+bx的接近程度：使得上式到达最小值的直线y=a+bx就是我们所要求的直线 ,这种方法称为最小二乘法问题4、怎样使 到达最小值?先来讨论3个样本点的情况设有3个点(x1 ,y1) ,(x2 ,y2) ,(x3

3、 ,y3) ,那么由最小二乘法可知直线y=a+bx与这3个点的接近程度由下面表达式刻画：整理成为关于a的一元二次函数 ,如下所示：利用配方法可得从而当 时 ,使得函数 到达最小值。将 代入式 ,整理成为关于b的一元二次函数 ,同样使用配方法可以得到 ,当时 ,使得函数 到达最小值。从而得到直线y=a+bx的系数a ,b ,且称直线y=a+bx为这3个样本点的线性回归方程。用同样的方法我们可以推导出n个点的线性回归方程的系数：其中由 我们知道线性回归直线y=a+bx一定过 。例题与练习例1 在上一节练习中 ,从散点图可以看出 ,某小卖部6天卖出热茶的杯数(y)与当天气温(x)之间是线性相关的。数

4、据如下表气温(xi)/oC 26 18 13 10 4 -1杯数(yi)/杯 20 24 34 38 50 64(1) 试用最小二乘法求出线性回归方程。(2) 如果某天的气温是-3 oC ,请预测可能会卖出热茶多少杯。解：(1)先画出其散点图i xi yi xi2 xiyi1 26 20 676 5202 18 24 324 4323 13 34 169 4424 10 38 100 3805 4 50 16 2006 -1 64 1 -64合计 70 230 1286 1910可以求得那么线性回归方程为y =57.557-1.648x(2)当某天的气温是-3 oC时 ,卖出热茶的杯数估计为：

5、练习1 x ,y之间的一组数据如下表 ,那么y与x的线性回归方程y=a+bx必经过点 ( D )x 0 1 2 3y 1 3 5 7(A)(2 ,2) (B)(1.5 ,0) (C)(1 ,2) (D)(1.5 ,4)练习2 某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：商店名称 A B C D E销售额(x)/千万元 3 5 6 7 9利润额(y)/百万元 2 3 3 4 5(1) 画出销售额和利润额的散点图;(2) 假设销售额和利润额具有相关关系 ,计算利润额y对销售额x的回归直线方程。解：(1)(2)数据如下表：i xi yi xi2 xiyi1 3 2 9 62 5 3

6、25 153 6 3 36 184 7 4 49 285 9 5 81 45合计 30 17 200 112可以求得b=0.5 ,a=0.4线性回归方程为：小结1、 最小二乘法的思想2、 线性回归方程的系数：“教书先生恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼 ,从最初的门馆、私塾到晚清的学堂 ,“教书先生那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生概念并非源于教书 ,最初出现的“先生一词也并非有传授知识那般的含义。?孟子?中的“先生何为出此言也？；?论语?中的“有酒食 ,先生馔；?国策?中的“先生坐 ,何至于此？等等 ,均指“先生为父兄或有学问、有德行的长辈。其实?国策?中本

7、身就有“先生长者 ,有德之称的说法。可见“先生之原意非真正的“教师之意 ,倒是与当今“先生的称呼更接近。看来 ,“先生之根源含义在于礼貌和尊称 ,并非具学问者的专称。称“老师为“先生的记载 ,首见于?礼记?曲礼? ,有“从于先生 ,不越礼而与人言 ,其中之“先生意为“年长、资深之传授知识者 ,与教师、老师之意根本一致。单靠“死记还不行,还得“活用,姑且称之为“先死后活吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即稳固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,到达“一石多鸟的效果。作业：P60 习题1-8 第1题课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也很难做到恰如其分。为什么?还是没有彻底“记死的缘故。要解决这个问题,方法很简单,每天花3-5分钟左右的时间记一条成语、一那么名言警句即可。可以写在后黑板的“积累专栏上每日一换,可以在每天课前的3分钟让学生轮流讲解,也