抽样分布与估计式ppt课件

1、第7章 抽樣分佈與估計式 .前言抽樣的目的並不意味著我們關心的焦點是在樣本的資料上。樣本背後的母體才是關心的重點。以樣本的統計量statistic，如樣本平均數、樣本變異數等，來推論母體的參數parameter，如母體平均數、母體變異數等。要達到此目的，必須知道樣本的統計量的機率分佈，以及如何在眾多的統計量中，選擇最恰當的，以便估計母體參數。.第一節 抽樣誤差 (1)不針對母體進行普查的主要缘由有：1. 母體太大，客觀條件限制。2. 無法確知母體的範圍。3. 破壞性檢測。4. 從樣本的結果已經可以有效推知母體。.第一節 抽樣誤差 (2)估計誤差抽樣誤差sampling error ：任何因為抽

2、樣中的機遇chance所產生的變動。添加樣本數，可以降低抽樣誤差。运用恰當的樣本統計量來估計母體參數，也是降低抽樣誤差的方法之一。適當的抽樣方法，可以降低抽樣誤差。非抽樣誤差nonsampling error ：一切不是因為抽樣所產生的誤差。例如樣本沒有代表性，在資料的蒐集、整理、分析時也能够產生誤差。.第二節 抽樣方法 (1)抽樣方法隨機抽樣random sampling：按照隨機的方式，使母群體中的每一個份子都有能够被抽到。非隨機抽樣nonrandom sampling：取決於研讨者主觀的想法或是參照客觀環境的限制，所設計出來的抽樣方法，因此母群體的某些份子完全沒有被抽到的機會。 .第二節

3、 抽樣方法 (2)隨機抽樣1. 簡單隨機抽樣simple random sampling2. 間隔抽樣interval sampling3. 分層抽樣stratified sampling4. 集群抽樣cluster sampling5. 分段抽樣staged sampling非隨機抽樣1. 配額抽樣quota sampling2. 判斷抽樣judgment sampling.第二節 抽樣方法 (3)簡單隨機抽樣先將母體加以編號，然後如抽籤般的抽出200位即可。也可以利用均勻分佈所產生的數值來替代抽籤。假设母群體很大，將母體加以編號恐怕不切實際。有時研讨者並不確知母群體的大小，簡單隨機抽樣並不

4、見得可行。 .第二節 抽樣方法 (4)間隔抽樣每隔幾個就抽取一個。在工商界中，常用此方法進行抽樣，如每隔幾個上門的顧客就訪問一位，每隔幾個產品就抽樣一個。运用間隔抽樣時，必須確保樣本的資料並無規律性變化才可。 .第二節 抽樣方法 (5)分層抽樣先決定有哪幾個重要的層strata，接著就按照母體分佈的比率，隨機抽樣。這樣一來可以保證樣本與母群體的分佈情形非常相近，因此所得到的調查結果比簡單隨機抽樣更能夠推論到母群體。假设選擇一些不相关的層，就會一點效果都沒有。因此在實務上，通常只選取少數幾個最為重要的層而已。 .第二節 抽樣方法 (6)集群抽樣先將母群體分為數個类似的集群，然後隨機抽取數個集群，

5、加以調查。在集群抽樣裡，集群與集群間要非常类似，集群內則差異要大越接近母群體的分佈越好。在分層抽樣裡，層與層之間的差異要大，但層之內要非常类似。 .第二節 抽樣方法 (7)分段抽樣採用多種抽樣的方法。例如先集群抽樣，然後再簡單隨機抽樣。或先集群再分層抽樣。實務上，仍以兩階段和三階段的抽樣最為普遍。 .第二節 抽樣方法 (8)配額抽樣它和分層抽樣的概念非常類似，只不過在分層抽樣裡，研讨者確知母群體中各層的比率，但在配額抽樣裡，事先並不完全知道母群體的分佈，但按照研讨者的學識和判斷，研擬出配額的依據。.第二節 抽樣方法 (9)判斷抽樣它必須仰賴研讨者主觀的判斷來進行抽樣。判斷抽樣又比配額抽樣更為主

6、觀。因為在配額抽樣中，研讨者只是去估計母體的比例而已。但在判斷抽樣裡，研讨者甚至判斷哪些份子較具代表性，以決定能否要對它進行調查。.第三節 抽樣分佈 (1)推論統計學就是利用樣本統計量來估計母體參數的一門學問。統計量的機率分佈稱為抽樣分佈理論sampling distribution theory。根本上我們關心該分佈是何種機率分佈，平均數和變異數各為多少，藉以估計母體參數。.第三節 抽樣分佈 (2)定理7.1令X1, , Xn為獨立隨機變項，其平均數分別為m1, , m n，其變異數分別為 , , 。假设令Y的平均數和變異數分別為 .第三節 抽樣分佈 (3)例子1令X1表示丟公平硬幣出現的點

7、數，X2表示丟公平骰子出現的點數，則3X1 2X2的平均數和變異數分別是多少？作法公平硬幣出現的點數的平均數和變異數分別為0.5以及0.25。丟骰子出現的點數為間斷均勻分佈，平均數和變異數分別為3.5以及2.92。X1和X2互為獨立，得3X1 2X2的平均數為3 0.5 2 3.5 = -5.5，變異數為32 0.25 + 22 2.92 = 13.93。 .第三節 抽樣分佈 (4)例子2X和Y變項互為獨立，X變項的變異數為 ，Y變項的變異數為 ，aX + bY的變異數是多少？作法aX + bY的變異數為a2 + b2 。.第三節 抽樣分佈 (5)推論1X1，Xn的平均數均為m，變異數均為 ，

8、且ai 都等於1/n： 的平均數會等於母體平均數m，變異數會等於母體變異數除以n，即s2/n。即： .第三節 抽樣分佈 (6)定理7.2令X1, , Xn為來自常態分佈的獨立隨機變項，其平均數分別為m1, , mn，變異數分別為 , , 。假设令則Y為常態分佈，平均數為和變異數分別為.第三節 抽樣分佈 (7)推論 1令X1, , Xn為來自常態分佈N(m, s2)的獨立隨機變項，則樣本平均數 推論2令X1, , Xn為來自常態分佈N(m, s2)的獨立隨機變項，則.第三節 抽樣分佈 (8)推論3令X1, , Xn為來自標準常態分佈N(0, 1)的獨立隨機變項，則.第三節 抽樣分佈 (9)例子3

9、假設智商的分佈為N(100, 225)。隨機抽樣25人調查其智商，並計算智商的樣本平均數。假设重複抽樣無數次，每次抽樣25人，並計算樣本平均數，則樣本平均數會成何分佈？其平均數和變異數各為多少？ 作法令這25人的智商分別為X1, , X25。知它們均服從常態分佈N(100, 225)，根據定理7.2得知，樣本平均數的抽樣分佈為N(100, 225/25)。 .第三節 抽樣分佈 (10)定理7.3令Z1, , Zn為標準常態分佈的獨立隨機變項，則定理7.4令X1, , Xn為來自常態分佈N(m, s2)的獨立隨機變項，且其樣本平均數為 ，樣本變異數為S2 ，則 (1) 和S2相互獨立，(2).第

10、三節 抽樣分佈 (11)例子4假設智商的分佈為常態分佈，平均數和變異數分別為100和225。假设隨機抽樣25人調查其智商，並計算智商的樣本變異數S2。假设重複抽樣無數次，每次抽樣25人，並計算樣本變異數，則樣本變異數S2會成何分佈？其平均數和變異數各為多少？ .第三節 抽樣分佈 (12)作法令這25人的智商分別為X1, , X25，均服從常態分佈N(100, 225)，因此由於卡方分佈的平均數是其自在度，變異數為2倍的自在度，因此 的平均數是24，變異數是48。所以S2的平均數是225，變異數是4218.7 (=48 / (24/225)2)。 .第三節 抽樣分佈 (13)定理7.5 中央極限

11、定理令X1, , Xn為來自某平均數為m，變異數為s2的母體的獨立隨機變項，當n趨近無限大時，其樣本平均數會趨近於N(m, s2/n)。在實用上，只需樣本數n夠大如n 25，樣本平均數就會很接近常態分佈。其實即使n小於25，只需母體分佈與常態分佈相去不遠，如類似單峰和左右對稱形狀，樣本平均數會近似常態分佈。.第三節 抽樣分佈 (14)例子5知丟骰子出現點數為間斷均勻分佈，平均數和變異數分別為3.5和2.92。現丟骰子25次，計算骰子點數的平均數。假设這樣無數次，每次均丟骰子25次，並計算骰子點數的平均數，則骰子點數的平均數會成何分佈？其平均數和變異數各為多少？作法根據中央極限定理，樣本平均數接

12、近常態分佈，其平均數為母體平均數3.5，變異數為0.12 (=2.92/25)。 .第三節 抽樣分佈 (15) 定理7.6 假设由平均數為m1和m2，變異數為 和 的常態分佈母體抽隨機抽出樣本數為n1和n2的獨立樣本，則假设母體並非常態分佈，只需樣本數n1和n2夠大如均大於25，就可放心运用常態分佈了。 .第三節 抽樣分佈 (16)例子6丟硬幣25次，計算出現點數的平均數正面一點，反正零點，也丟骰子25次，計算出現點數的平均數。然後將硬幣的平均數減骰子的平均數，得到兩平均數差異。假设重複這樣無數多次，這些無數多次的平均數差異成何分佈？平均數和變異數各式多少？.第三節 抽樣分佈 (17)作法丟硬

13、幣出現的點數的平均數和變異數分別為0.5以及0.25。丟骰子出現的點數的平均數和變異數分別為3.5以及2.92。令 為硬幣的平均數， 為骰子的平均數，則 的平均數為0.53.5 = -3，變異數為 根據中央極限定理， 近似常態分佈。 .第四節 估計式 (1)推論統計包括兩大部份：估計和假設檢定。估計分為點估計和區間估計。母體參數的點估計：利用統計量的某一個值加以估計。例如用樣本平均數這個統計量的大寫表示變項，小寫表示特定的數值估計母體平均數m。統計量又稱為估計式estimator，以阐明其估計母體參數的功用。同一個參數可以有好多個估計式。.第四節 估計式 (2)不偏性 令q為所欲估計的參數，

14、唸做theta hat為其估計式。假设 E ( ) = q，那麼 就具有不偏性。或謂 是q的不偏估計式unbiased estimator。 樣本平均數的期望值為母體平均數，因此樣本平均數是母體平均數的不偏估計式。 .第四節 估計式 (3)例子7令X1, X2, X3, X4為隨機從母體抽出的4個值，樣本平均數是母體平均數m的不偏估計式，已如上述。但X1、 、 、 能否也是母體平均數的不偏估計式？ .第四節 估計式 (3)作法E(X1) =m.第四節 估計式 (4)例子8樣本變異數S2是母體變異數s2的不偏估計式嗎？作法.第四節 估計式 (5)有效性 假設q是所欲估計的參數， 是眾多估計式中的

15、一種。假设E( -q )2在一切的估計式中最小， 就是最有效的估計式。在一切的估計式中，具有最小的均方誤，就是最有效的估計式。假设只限於從不偏估計式中挑選最有效的，那麼該估計式就是不偏的最小變異估計式。 .第四節 估計式 (6)例子9在例子7中， 、X1、Y1、Y2都是母體平均數的不偏估計式。何者較為有效？作法 .第四節 估計式 (7)一致性假设樣本數n越大，估計式 與母體參數q 的誤差量越小。假设樣本數趨近於無限大， 與q 的差量小於微量e的機率趨近1。即該估計式 就具有一致性consistency 是母體平均數的不偏估計式，且變異數為s2/n。假设n趨近於無限大，則s2/n趨近於0 ，因此

16、 具有一致性。 .第四節 估計式 (8)例子10例子7中的X1、Y1、Y2能否具有一致性？作法即使樣本數n再大，X1、Y1、Y2的變異數都不會改變，當然也不會趨近於0。換句話說，樣本數添加，並無助於X1、Y1、Y2趨近於母體平均數，因此它們不具有一致性。 .第四節 估計式 (9)充分性令X1，Xn為隨機變項，其聯合機率函數為f(x1, , xn; q)。統計量 是q的充分統計式或具有充分性，假设且為假设f(x1, , xn; q) = g( ; q) h(x1, , xn)其中h(x1, , xn) 與q 無關。此時， 包含了一切從樣本資料來推估q的訊息，再也沒有其他剩餘的訊息了。固定充分統計量後，X1，Xn的條件機率就與q無關。 .第四節 估計式 (10)在二項式分佈中，樣本中胜利次數就是胜利機率p的充分統計量。其他的訊息例如這幾次試驗中，哪幾次是胜利，哪幾次是失敗。是無法