《交通工程学》第四章交通流理论2013－03－21

1、2022/7/141 本章内容： 第一节 概述 第二节 交通流的统计分布特征 重点 第三节 排队论的应用 重点 第四节 跟驰立论简介 第五节 流体力学模拟理论第四章交通流理论2022/7/142 交通流理论是运用物理和数学的方法来描述交通特性的一门边缘科学，它用分析的方法阐述交通现象及其机理，使我们能更好地理解交通现象及其本质，并使城市道路与公路的规划设计和营运管理发挥最大的功效。 a.行人横穿马路时,间隔10秒以上的车头时距 b.1小时内，1个信号周期中超过4辆左转车的次数 c.高速公路收费站的车辆到达分布 d.停车场的车辆到达分布e.大型公共设施的车辆到达分布 第一节 概述2022/7/1

2、43 交通流理论是发展中的科学，有很多理论在探讨各种交通现象： 交通流量、速度和密度的相互关系及量测方法； 交通流的统计分布特性； 排队论的应用； 跟驰理论； 交通流的流体力学模拟理论； 交通波理论。2022/7/144第二节交通流的统计分布特性一、离散型分布泊松分布适用条件：车流密度不大，其他外界干扰因素基本上不存在，即车流是随机的 。基本公式:式中： P(k) 在计数间隔t 内到达 k 辆车的概率; 平均到车率(辆/s) ； t 每个计数间隔持续的时间(s) 。 2022/7/145令m=t,则：递推公式：分布的均值M和方差D都等于m2022/7/146 应用举例 例1：设60辆车随机分布

3、在10km长的道路上，其中任意1km路段上，试求： 无车的概率； 小于5辆车的概率； 不多于5辆车的概率； 6辆及其以上的概率； 至少为3辆但不多于6辆的概率； 恰好为5辆车的概率。2022/7/147 解：这里t 理解为车辆数的空间间隔，为车辆平均分布率，m 为计数空间间隔内的平均车辆数。 由=60/10 t=1 ，因此m =t=6（辆） 这里m即为计数空间间隔内的平均车辆数。 2022/7/148无车的概率为：小于5辆车的概率为：不多于5辆车的概率为： 6辆及其以上的概率为： 至少为3辆但不多于6辆的概率为： 恰好为5辆车的概率为：2022/7/149例2：已知某信号灯周期为60s，某一个

4、入口的车流量为240辆/h，车辆到达符合泊松分布，求：在1s、2s、3s内无车的概率；求有95%的置信度的每个周期来车数。解：1）1s、 2s、3s内无车的概率 =240/3600（辆/s ）， 当t=1s时， m= t=0.067 当t=2s时， m= t =0.133， 当t=3s时， m= t =0. 3，2022/7/1410 2）有95%置信度的每个周期来车数的含义为：来车数小于或等于k辆的概率95%时的k值，即： ，求这时的k 即=240/3600（辆/s ），当t=60s时，m=t=4 来车的分布为： 求： 的k值。2022/7/1411 设计上具有95%置信度的来车数不多于8辆

5、。kP(k)P(k)kP(k)P(k)00.01830.018350.15630.785210.07330.091660.10420.889420.14650.238170.05950.948930.19540.433580.02980.978740.19540.62892022/7/1412 适用条件：车辆比较拥挤、自由行驶机会不多的车流。交通流具有较小的方差时，来车符合二项分布。 基本公式： 式中： P（k）在计数间隔t 内到达k 辆车的概率; 平均到车率（辆/s）； t 每个计数间隔持续的时间（s）； n正整数 ； p二项分布参数， 。二项分布2022/7/1413递推公式： 均值M和方

6、差D分别为: M=np D=np(1-p)2022/7/1414例3：在一交叉口，设置左转弯信号相，经研究来车符合二项分布，每一周期平均来车30辆，其中有30%的左转弯车辆，试求：到达的5辆车中，有2辆左转弯的概率；到达的5辆车中，少于2辆左转弯的概率；某一信号周期内没有左转弯车辆的概率。解：1）由： p =30%，n=5，k=22022/7/1415 2）由： p =30%，n=5，k=23）由： p =30%，n=30，k=02022/7/1416二、连续性分布 1.负指数分布 适用条件:用于描述有充分超车机会的单列车流和密度不大的多列车流的车头时距分布。 负指数分布常与泊松分布相对应，当

7、来车符合泊松分布时，车头时距则符合负指数分布。 由公式： 可知，当车辆平均到达率为时，P(0)为计数间隔t 内无车到达的概率。 可见，在具体的时间间隔 t 内，如无车辆到达，则在上一次车和下一次车到达之间车头时距ht至少有t，即ht t。2022/7/1417将到达率代入泊松分布中，有：q：小时交通量2022/7/1418若在时间t内没有车辆到达，则车头时距至少有t秒。那么，车头时距ht大于或等于t秒的概率为：令，T=3600/q为到达时间间隔概率分布的平均数，有负指数分布2022/7/1419 对于任意的t ，如果在t 内没有车辆到达，上一次车和下一次车到达之间车头时距必然大于或等于t ，即

8、： P(ht)车头时距大于或等于t (s)的概率 车头时距小于t (s)的概率，可有下式求得：2022/7/1420例4：对于单向平均流量为360辆/h的车流，求车头时距大于或等于10s的概率。 解：车头时距大于或等于10s的概率也就是10s以内无车的概率。 由=360/3600=0.1 同样，车头时距小于10s的概率为：2022/7/1421 车头时距服从负指数分布的车流特性 见图，曲线是单调下的，说明车头时距愈短，出现的概率愈大。这种情形在不能超车的单列车流中是不可能出现的，因为车辆的车头与车头之间至少存在一个车长，所以车头时距必有一个大于零的最小值。2022/7/1422 例5 ：在一条

9、有隔离带的双向四车道道路上，单向流量为360辆/h，该方向路宽7.5m，设行人步行速度为1m/s，求1h中提供给行人安全横过单向车道的次数，如果单向流量增加到900辆/h，1h中提供给行人安全横过单向车道的次数是增加还是减少 。7.5mQ=360辆/h2022/7/1423 解：行人横过单向行车道所需要的时间： t =7.5/1=7.5s 因此，只有当h7.5s时，行人才能安全穿越，由于双车道道路可以充分超车，车头时距符合负指数分布，对于任意前后两辆车而言，车头时距大于7.5s的概率为： 对于 Q=360辆/h的车流，1h车头时距次数为360，其中h7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：20

10、22/7/1424 当Q = 900辆/h时，车头时距大于7.5s的概率为： 1h内车头时距次数为900，其中h7.5s的车头时距为可以安全横穿的次数：2022/7/1425 2.移位负指数分布 适用条件：用于描述不能超车的单列车流的车头时距分布和车流量低的车流的车头时距分布。移位负指数分布公式:分布的均值M和方差D分别为： 用样本均值m代替M，样本方差s2代替D,可以计算 移位负指数分布的局限性： 服从移位负指数分布的车头时距愈接近出现的可能性愈大。这在一般情况下是不符合驾驶员的心理习惯和行车特点的。 车头时距分布的概率密度曲线一般总是先升后降。2022/7/1426第三节 排队论一. 概述

11、二.排队理论的基本原理 重点三.M/M/n模型的解 重点、难点四. 实际应用计算2022/7/1427 一：引言 排队论是研究“服务”系统因“需求”拥挤而产生等待行列（即排队）的现象，以及合理协调“需求”与“服务”关系的一种数学理论，是运筹学中以概率论为基础的一门重要分支，亦称“随机服务系统理论”。 在交通工程中，对于研究车辆延误、通行能力、信号灯配时以及停车场、加油站等交通设施的设计与管理方面得到广泛应用。 二：排队论的基本原理 基本概念 1）“排队”单指等待服务的，不包括正在被服务，而“排队系统”既包括了等待服务的，又包括了正在被服务的车辆 2）排队系统的3个组成部分 输入过程 就是指各类

12、型的“顾客”按怎样的规律到达。 排队规则 指到达的顾客按怎样的次序接受服务。（损失制，等待制，混合制）2022/7/1428 服务方式： 指一时刻有多少服务台可接纳顾客，每一顾客服务了多长时间。 3）排队系统的主要数量指标 最重要的数量指标有3个： 等待时间 即从顾客到达时起到他开始接受服务时止这段时间。 忙期： 即服务台连续繁忙的时期，这关系到服务台的工作强度。 队长: 有排队顾客数与排队系统中顾客之分 ，这是排队系统提供的服务水平的一种衡量。2022/7/1429交通设计的目标：减少行驶延迟至最小。匝道入出口等候排队；行人过路等待；交叉口延迟，左转弯车辆的等待；收费站前的等待。 2022/

13、7/1430图46 排队系统的基本结构(到达)(等待)(服务)(离去)顾客通道（窗口）2022/7/143120世纪初获得应用。W.F.Adams:无信号交叉口的行人延误(1936)；L.C.Edie:收费站排队问题(1954)。系统中的顾客？列队等候的顾客有多少？顾客接受服务的时间？顾客需要等待多久？设施不起作用的时间？2022/7/1432二、 排队理论的基本模型到达特性: (1)平均到达率及(2)到达间隔和统计分布；服务设施特性: (1)服务时间的平均比率及其分布，和 (2)可同时得到服务的顾客数或通道数；C.排队纪律特性: 服务对象方式（先来先服务，最有利的先服务）。表示形式：a /

14、b /c到达类型服务通道数服务类型2022/7/1433a, b,c处的符号：M:随机到达和服务时间(服从指数分布,Markov)；D:固定到达和服务时间(Deterministic)；G:服务次数的一般分布(General)；GI:到达时距次数的一般分布；Ek:爱尔朗分布，参数k(Erlang)；N:通道数(Server)。M/G/N: 指数分布到达，一般分布服务，N个服务通道。2022/7/1434三、M/M/1排队系统（单通道服务系统）M/M/1系统（单通道服务系统）的基本概念：由于排队等待接受服务的通道只有单独的一条，因此也叫做“单通道服务”系统。服务（收费站）输出输入M/M/1系统2

15、022/7/1435 主要参数： 设平均到达率为，则两次到达的平均间隔时间（时距）为1/； 设排队从单通道接受服务后出来的系统平均服务率（输出率）为， 则平均服务时间为1/ ； 比率： 称为交通强度或利用系数，由比率即可确定各种状态的性质。2022/7/1436 当比率1（即），且时间充分，每个状态都会以非0的概率反复出现；当比率1（即），任何状态都是不稳定的，且排队会越来越长。要保持稳定状态，确保单通道排队消散的条件是1（即）。 例如：某高速公路进口收费站平均每10s有一辆车到达，收费站发放通行卡的时间平均需要8s，即: 1/=10s； 1/=8s 如果时间充分，这个收费站不会出现大量阻塞。

16、2022/7/1437 当比率1（即），系统处以稳定状态： 在系统中没有顾客的概率为（即没有接受服务，也没有排队）： 在系统中有k个顾客的概率为（包括接受服务的顾客与排队的顾客之和）： 在系统中的平均顾客数为（平均接受服务的顾客与排队的顾客之和）：2022/7/1438 系统中顾客数的方差： 随着的增大，n 增大；当0.8以后， n 迅速增大，从而使排队长度快速增加，排队系统便的不稳定，造成系统的服务能力迅速下降。 平均排队长度： 这里是指排队顾客（车辆）的平均排队长度，不包括接受服务的顾客（车辆）。2022/7/1439 平均非零排队长度： 即排队不计算没有顾客的时间，仅计算有顾客时的平均排

17、队长度，即非零排队。如果把有顾客时计算在内，就是前述的平均排队长度。 排队系统中平均消耗时间： 这里是指排队中消耗时间与接受服务所用时间之和。2022/7/1440 排队中的平均等待时间： 这里在排队时平均需要等待的时间，不包括接受服务的时间，等于排队系统平均消耗时间与平均服务时间之差。 共有八个指标。2022/7/1441 例1：高速公路入口收费站，车辆到达是随机的，流入量为400辆/h，如果收费工作人员平均能在8s内发放通行卡，符合负指数分布，求：收费站排队系统中的平均车辆数，平均排队长度，排队系统中的平均消耗时间和排队中的平均等待时间。 解：=400/3600（辆/s）, =1/8 （辆

18、/s） =/=0.89 1 ，排队系统是稳定的。 收费站排队系统中的平均车辆数：2022/7/1442 平均排队长度： 排队系统中的平均消耗时间： 排队中的平均等待时间：2022/7/1443 例2：修建一个服务能力为120辆/h的停车场，布置一条进入停车场的引道，经调查车辆到达率为72辆/h，进入停车场的引道长度能够容纳5辆车，是否合适 。 解： =72（辆/h）, =120 （辆/h） =/=0.6 1 ，排队系统是稳定的。 进入停车场的引道长度能够容纳5辆车,如果系统中的平均车辆数小于5辆车则是合适的，否则，准备停放的车辆必然影响交通。2022/7/1444 验证系统中平均车辆数超过5辆

19、车的概率P(5)，如果P(5)很小，则得到 “合适”的结论正确。由： 验证结果表明：系统中平均车辆数超过5辆车的概率P(5)不足5%，概率很小，进入停车场的引道长度是合适的。2022/7/1445stop第四节 跟驰理论简介 一：引言 跟驰理论是运用动力学方法，研究在无法超车的单一车道上车辆列队行驶时，后车跟随前车的行驶状态，并且借数学模式表达并加以分析阐明的一种理论。 由于有1950年鲁契尔的研究和1953年派普斯的研究，跟驰理论的解析方法才告定型。而赫尔曼和罗瑟瑞于1960年在美国通用汽车公司动力实验室进行的研究为跟驰理论作了进一步的扩充。 二：车辆跟驰特性分析 在道路上行驶的一队高密度汽

20、车，车间距离不大，车队中任一辆车的车速都受到前车速度的制约，驾驶员只能按前车所提供的信息采取相应的车速。这种状态亦称为非自由行驶状态。 非自由行驶状态的车队有以下三个特性： 2022/7/1446 1.制约性 在一个车队中，后车跟驰前车运行，驾驶员总不愿意落后很多，而是紧跟前车前进，这就是 “紧随要求”。 紧随要求，车速条件和间距条件构成了一队汽车跟驰行驶的制约性，即前车车速制约着后车车速和两车间距。 2.延迟性 从跟驰车队的制约性可知，前车改变运动状态后，后车也要改变运动状态，但前后车运动状态的改变不是同步的，而是延迟的。这是由于驾驶员对前车运动状态的改变要有一个反应过程，这个过程包括四个阶

21、段： 感觉阶段前车运行状态的改变被察觉； 认识阶段对这一改变加以认识； 判断阶段对本车将要采取的措施作出判断； 执行阶段由大脑到手脚的操作动作。 这四个阶段所需的时间称为反应时间。假设反应时间为T，那麽前车在t时刻的动作，要经过T时间即在（t+T）时刻，后车才能作出相应的动作，这就是延迟性。2022/7/1447线性跟驰模型 跟驰模型是一种刺激反应的表达式。 一个驾驶员所接受的刺激是指其前方导引车的加速或减速以及随之而发生的这两车之间的速度差和车间距离的变化。 该驾驶员对刺激的反应是指其为了紧密而安全地跟踪前车加速或减速动作及其实际效果。 假定驾驶员保持他所驾驶车辆与前导车的距离为S(t)，以

22、便在前导车刹车时能使车停下而不致于和前导车尾相撞。设驾驶员的反应时间为T，在反应时间内车速不变，这两辆车在t时刻地相对位置如图所示，图中n为前导车，n+1为后随车。2022/7/1448线性跟车模型示意图2022/7/1449两车在刹车操作后的相对位置如图所示。 第i 辆车在时刻t 的位置； 两车在时刻 t 的间距，且: 后车在反应时间T内行驶的距离； 后随车在减速期间行驶的距离； 前导车在减速期间行驶的距离； 停车后的车头间距； 第n+1辆车在时刻t 的速度。2022/7/1450 假定 ，要使在时刻t 两车的间距能保证在突然刹车事件中不发生碰撞，则应有： 对t 微分，得: 式中: 为后车在

23、(t+T)时刻的加速度，称为后车的反应 ；1/T 称为敏感度； 称为t 时刻的刺激。这样，上式就可理解为： 反应敏感度刺激。 2022/7/1451 上式是在前导车刹车、两车的减速距离相等以及后车在反应时间T 内速度不变等假定条件下推导出来的。实际的跟车操作要比这两条假定所限定的情形复杂得多，例如刺激也可能是有前车加速引起。而两车的变速过程中行驶的距离可能不相等。为了适应一般得情况，把上式修改为： 式中 称为反映强度系数，量纲为s-1，这里 不再理解为敏感度，而应看成是与驾驶员动作的强弱程度直接相关。它表明后车的反应与前车的刺激成正比，此公式称为线性跟车模型。2022/7/1452第五节 流体

24、动力学模拟理论 一：引言 英国学者莱特希尔将交通流比拟为流体流，提出了流力学模拟理论。 该理论运用流体动力学的基本原理，模拟流体的连续性方程，建立车流的连续性方程。 把车流因道路或交通状况的改变而引起密度的改变时，在车流中产生车流波的传播，通过分析车流波的传播速度，以寻求车流流量和密度、速度之间的关系，并描述车流的拥挤消散过程。因此，该理论又可称为车流波动理论。 将交通流比拟成流体流，两者的特性对比列于表：2022/7/14532022/7/1454一、流体动力学理论建立 车流连续性方程的建立 设车流顺次通过断面和的时间间隔为t，两断面的间距为x。车流在断面的流入量为Q、密度为K；同时，车流在

25、断面得流出量为：(Q+Q)，密度为： (K-K)，其中： K的前面加一负号，表示在拥挤状态，车流密度随车流量增加而减小。 x tQ KQ+Q K-K KQ(K,Q)(K-K,Q+Q )2022/7/1455 根据物质守恒定律，在t时间内： 流入量-流出量=x内车辆数的变化， 即：Q-(Q+Q)t=K-(K-K)x或： ，取极限可得：含义为：当车流量随距离而降低时，车辆密度随时间而增大。 2022/7/1456同样，还可以用流体力学的理论来建立交通流运动方程 由Q=VK及： 可得：该方程表明，车流密度增加时，产生减速。 2022/7/1457 VwS二、车流波动理论 VwK1 V1BSVwSK2

26、 V2A2022/7/1458 波速公式的推导： 有上图所示，假设一条公路上由两个相邻的不同交通流密度区域（K1和K2）用垂线S分割这两种密度，称S为波阵面，设S的速度为Vw（ Vw为垂线S相对于路面的绝对速度），并规定垂线S的速度Vw沿车流运行方向为正。由流量守恒可知，在t 时间内由A进入S面的车辆数等于由S面驶入B的车辆数，即： 式中: (V1- Vw)、(V2- Vw)分别为车辆进出S 面前后相对于S 面的速度。2022/7/1459 由： 规定：当K2K1，密度增加，产生的Vw为集结波。2022/7/1460三、车流波动状态讨论 当Q2Q1 、K2Q1 、K2K1时，产生一个集结波，

27、Vw为正值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相同的方向，以相对路面为Vw的速度移动。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)2022/7/1462 当Q2K1时，产生一个集结波， Vw为负值，集结波在波动产生的那一点，沿着与车流相反的方向，以相对路面为Vw的速度移动。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)2022/7/1463 当Q2Q1 、K2K1时，产生一个集结波， Vw =0，集结波在波动产生的那一点原地集结。KQ(K1,Q1)(K2,Q2)2022/7/1465 当Q2=Q1 、K2K1时，产生一个消散波， Vw =0，消散波在波动产生的那一点原地消散。KQ(K2,Q2)(K1,Q1)2022/

28、7/1466 紊流的传播速度: 线性的速度与密度的关系式 设:2022/7/1467 式中: 1、2在分界线s两侧的标准化密度。得到波速为:2022/7/1468(二)交通密度大致相同的情况 莱特希尔和惠瑟姆认为:如果在分界线S两侧的标准化密度 1、2相等，如图所示。S左侧的标准化密度为，而S右侧的标准化密度为(十0)，这里的(十0) 1。在此情况下，设:S左侧的标准化密度为= ，右侧为+ 0 ，并且：2022/7/1469 式中0忽略不计。把上式代入，则此断续的波就以下列速度传播: (三)停车产生的波 对于车流的标准化密度为1 ，以区间平均车速行驶的车辆，假定下式成立:Vl=Vf（1 1 ）

29、在道路上，位置x=x0处，因红灯停车，车流立即呈现出饱和的标准化密度2 =1。线s左侧，车流仍为原来的密度1 ，按上式的平均速度继续运行。将1 = 21 . 2022/7/1470 上式说明，由于停车产生的波，以vf1的速度向后方传播。如果信号在x=x0处变为红灯，则经过t秒以后，一列长度为vf1t的汽车就要停在xo之后。 2022/7/14712022/7/1472 所以，一候车队开始运行(发车)，就产生发车波，该波从x0处以(vf-v2)的速度向后传播。由于发车速度v2一般总是很低，所以可以看作几乎以-vf速度传播。 停车产生的波 发车产生的波2022/7/1473四、车流波动理论的应用

30、考试2022/7/14742022/7/1475四、车流波动理论的应用 考试 例：道路上的车流量为720辆/h，车速为60 km/h，今有一辆超限汽车以30km/h的速度进入交通流并行驶5km后离去，由于无法超车，就在该超限车后形成一低速车队，密度为40辆/km，该超限车离去后，受到拥挤低速车队以车速50km/h，密度为25辆/km的车流疏散，计算： (1)拥挤消散时间ts；(2)拥挤持续时间tj；(3)最大排队长度；(4)排队最长时的排队车辆数；(5) 参与过排队的车辆总数。2022/7/1476 解：三种状态的Q、K、V分别如图所示： 超限车进入后，车流由状态变为状态 ，将产生一个集结波：（注意集结波的方向！）5km Q1=720V1=60K1=12 Q2=1200V2=30K2=40 Q3=1250V3=50K3=25 w1 w22022/7/1477 超限车插入后，领头超限车的速度为30km/h，集结波由超限车进入点以Vw1=17.14km/h的速度沿车流方向运动。如果这种状况持续1h， 1h后跟在超限车后的低速车队长度为：30-17.14=12.86 km。但超限车行驶5km后离去，超限车行驶5km所用集结时间为：ta=5/30=0.16