1076常微分方程-国家开放大学2020年1月至2020年7月期末考试试题及答案（202001-202007共2套）

1、试卷代号：1076 座位号口口国家开放大学2 0 1 9年秋季学期期末统一考试常微分方程试题（半开卷） r2020年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分）1. 一阶线性微分方程dydx+p(x)y=q(x)的积分因子是( ) A=e-qxdx B=eqxdx C. =e-pxdxD. =e-pxdx2方程dydx=1-y2+1( ) A无奇解 B. 有奇解y=1 C有奇解y=1 D有奇解y= -13二阶方程y+ 2xy+xy =0的等价方程组是( )Ay=y1 y1=2xy1+xy By=y1 y1=-2xy1-xy Cy=y1 y1=2xy1-xy Dy=y1 y1=-2xy1+xy

2、4三阶线性齐次微分方程的所有解构成一个( )线性空间 A1维 B2维 C3维 D4维 5方程组曲dxdt=-ydydt=x 的奇点(o，o)的类型是( ). A焦点 B. 中心 C鞍点 D结点二、填空题（每小题3分，本题共15分） 6方程(y+1)dx+(x+1)dy =0所有常数解是_ 7方程dydx=| y |满足初值解存在且唯一的区域是 8向量函数组Y1(x),Y2(x)，Yn(x)线性相关的_条件是它们的朗斯基行列式W(x)=0 9方程x +2x+x=et的任一解的图像是三维室间（t,x,x）中的_ 10.点（x0，y0）是方程组dxdt=P（x，y）dydt=Q（x，y） 点的充分条

3、件是_ 。三、计算题（每小题8分本题共40分）求下列方程的通解或通积分：11求变量可分离方程tany dx - cotx:dy=0的解12求一阶线性非齐次方程dydx+1+xxy=3xe-x的解13.求全微分方程-yxdx(y3+lnx)dy=0的解14求克莱洛方程y=xy +y2的解15.求恰当导数方程yy+ (y)2+ 3x2 =0的解四、计算题（本题共15分） 16求下列方程组的通解 dxdt=2x-3ydydt=x-2y 17证明：一阶微分方程 dydx=sinyx2+y2+1的任一解的存在区间必是(-，+)试卷代号：1076国家开放大学2 0 1 9年秋季学期期末统一考试常微分方程试

4、题答案及评分标准（半开卷）2020年1月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1D 2A 3B 4C 5B二、填空题（每小题3分，本题共10分） 6y =-1,x=-1 7全平面 8必要 9一条曲线 10.P(x0 ,y0)=Q(x0,y0)=0三、计算题（每小题8分，本题共40分） 11求变量可分离方程tan y dx - cotxdy =0的解 解 当x2+k，yk，k = 0，1，2，时，分离变量，两端取积分得dytany=dxcotx+ln|C| （4分） 即ln|siny|=-ln|cosx|+ln|C| 通积分为：sinycosx=C （8分） 12求一阶线性非齐次方程dyy

5、=-1+xxdx+C的解. 解 先解齐次方程，通解为：dyy=-1+xxdx+C 即 y=Ce-xx （4分） 令非齐次方程的特解为：y=C(x)e-xx 代人原方程，求出C(x) =x3+C 原方程的通解为：y=e-xx (x3+C ) （8分） 注：直接用通解公式求出方程通解，同样给分 1 3求全微分方程yxdx+y3+lnxdy=0的解 解 因为My=1x=Nx，所以原方程是全微分方程. （3分） 取(x0，y0)=(1，0)，原方程的通积分为： （6分） 1xyxdx+0yy3dy=C 即ylnx+14y4=C （8分） 14.求克莱洛方程y=xy+ y2的解 解 克莱洛方程，通解为：

6、y=Cx+C2 （8分） 15求恰当导数方程yy+（y）2+3x2 =0的解 解 原方程是恰当导数方程，可写成：(yy+x3)=0 即 yy+x3=C1 （4分） 分离变量解此方程，通积分为：12y2=C1x-14x4+C2 （8分）四、计算题（本题共15分） 16求下列方程组的通解dxdt=2x-3ydydt=x-2y 解 特征方程IA-EI=2- -31 -2-=+1-1=0 （5分） 特征根为1=1，2=-1 （7分）1和2对应的特征向量分别是31和11 （12分） 原方程组的通解是xy=C13etet+C2e-te-t (15分)五、证明题(本题共15分) 17证明：一阶微分方程 dy

7、dx=sinyx2+y2+1 的任一解的存在区间必是（-，+） 证明 方翟在全平面上满足解的存在唯一性定理的条件，又y=k，k=0，1，2，是方程的常数解 （6分） 对平面上任取的（x0，y0） 若y0=k，则对应的是常数解y=k，其存在区间显然是（-，+） 若y0(k，(k+1)，则过该点的解可以向平面无穷远无限延展，但是上下又不能穿越y=k和y=（k十1），于是解的存在区间必是（-，+） (15分)试卷代号：1076国家开放大学2 0 2 0年春季学期期末统一考试 1常微分方程 试题 2020年7月一、单项选择题（每小题3分，本题共15分） 1积分方程yx=1+0 x3t2y(t)dt的解

8、是( ) Ay=1 By=ex Cy=ex2 Dy=ex3 2若f(x，y)在全平面上连续且对y，满足李普希兹条件，那么方程dydx=f(x,y)的任一解的存在区间( ) A因解而定 B必为(一，0) C必为（-，+） D必为（0，+） 3一阶线性非齐次方程组dYdx=Axy+Fx，Y=(y1，yn)T的任一解的图像是n+1维空间(x，y1，yn)中的( ) A一个曲面 B一条曲线 C一族曲线 D一族曲面 4已知方程xy+y=4x的一个特解为x2，又对应齐次方程xy+y=0有一个特解为lnx，则原方程的通解为( ) Ay=C1x+C2lnx+x2 By=C1x2+C2lnx+x2Cy=C1+C

9、2lnx+x2 Dy=C1x3+C2lnx+x2 5平面系统dxdt=2x+ydydt=3x+4y的奇点(0，0)的类型是( ) A鞍点 B不稳定结点 C不稳定焦点 D稳定焦点二、填空题（每小冠3分，本题共15分）6方程xsinydx+ycosx=0的所有常数解是_.7常微分方程的一个不可延展解的存在区间一定是_区间8二阶线性方程y+y=0的基本解组是_.9n阶线性齐次微分方程的所有解构成一个_维线性空间 10根据零解稳定性定义，系统dxdt=y dydt=-x的零解是_.三、计算题（每小题8分，本题共40分）求下列方程的通解或通积分：11求变量可分离方程 x2-1y+2xy2=0 的解12求

10、一阶线性非齐次方程 dydx+yx=x2 的解13求全微分方程 e-ydx-2y +xeydy=0 的解，14求克莱洛方程 y=xy+y+(y)2 的解15求可降阶的高阶方程y3y+1=0的解.四、计算题（本题共15分） 16求下列方程组的通解.dxdt=y dydt=2x+y五、证明题（本题共15分）17若f(u)在(-，+)上连续可微，且当u0时，uf（u）0，求证：方程dydx=x2f(sinx)的任一解y=y(x)均在(-，+)上存在.试卷代号：1076国家开放大学2 0 2 0年春季学期期末统一考试常微分方程 试题答案及评分标准（供参考） 2020年7月一、单项选择题（每小题3分，本

11、题共15分） 1D 2A 3B 4C 5B二、填空题（每小题3分，本题共15分） 6x=2+k，y= k，k=0,1，2， 7开 8cosx，sinx 9n 10.稳定的三、计算题（每小题8分，本题共40分） 11.求变量可分离方程(x2-1)y+ 2xy2=0的解 解 当x1,yo时，分离变量积分，得-1y2dy=2x(x2-1)dx （4分） 积分得1y2=ln | x2 -1 |+C 即通积分为：y=1ln | x2 -1 |+C-（8分） 12求一阶线性非齐次方程dydx+yx=x2的解 解 齐次方程的通解为：y=Cx （4分） 设原方程的通解为：了一 - 代入原方程，得C(x)=x4

12、4+C 所以，原方程的通解为：y=1x（C+14x4）（8分） 注：直接用通解公式求出方程通解，同样给分 13.求全微分方程e-y dx -（2y+xe-y）dy =0的解 解 因为Mx=- e-y=Nx， 所以，原方程是全微分方程（3分） 取(x0，y0)=(0，0)，原方程的通积分为：0 xe-ydx-0y2ydy=C（6分） 即xe-y - y2 =C（8分） 14.求克莱洛方程y=-xy +y+ (y)2的解. 解 克莱洛方程的通解为：y=Cx+C+C2（8分） 15求可降阶的高阶方程y3y”+1=0的解 解 令y=p，y=pdpdx等代人方程，得 Pdp=-1y3dy（3分） 积分，

13、得12p2=12y-2+C1,p2=1y2+C=1+Cy2y2, dydx=1+Cy2y（5分） 分离变量，积分得ydy1+Cy2=dx+C2 原方程的通积分为：1+ Cy2=（Cx +C3）2（8分）四、计算题（本题共15分） 16求下列方程组的通解dxdt=ydydt=2x+y 解 特征方程为：| A-E|= -121-=0 即2-2=0 特征根为1=2，2 =-1（5分） 1=2对应特征向量应满足：-2121-2a1b1=00 可确定出a1b1=12(10分) 同样可算出2=一1对应的特征向量为a2b2=1-1 (12分) 所以，原方程组的通解为：xy=C1e2t2e2t+C2e-t-e-t(15分)五、证明题(本题共15分) 17.若f(u)在（-，+）上连续可微，且当u0时，uf(u) 0，求证：方程 dydx=x2f(siny