高等数学典型例题及应用实例重积分B部分1-3

1、-. z.例 利用二重积分的性质，估计积分的值，其中为半圆形区域解 我们先求函数在区域上的最大值和最小值由解得驻点为， 在边界上，在上的最大值为，最小值为在边界上，由得驻点，综上，在上的最大值为，最小值为又的面积为，所以由二重积分的估值性质知，即例 设为*oy平面上以为顶点的三角形区域，为在第一象限的局部，则A BC D解 区域D如下图，并记为以为顶点的三角形区域，则关于轴对称，且为在轴右侧的局部区域，区域关于轴对称又关于和均为奇函数；而关于为偶函数关于为奇函数，由二重积分的奇偶对称性得，故；，故所以 因此我们选A例 设区域，为上的正值连续函数，为常数，则解 由题意知，关于直线对称，由二重积分

2、轮换对称性得因此，我们应填例 计算二次积分解 积分区域如图，则 原式；例 设为椭圆区域，计算二重积分解 令则的极坐标表示为，且由式，可得例 计算二重积分，其中D为解 解法1 D的边界曲线为这是一个以为圆心，为半径的圆域，采用一般的变量代换，令即作变换于是D变为所以，再用极坐标解法2 由于积分区域D：关于即对称，故类似地，由于D关于对称，故从而例 计算，其中，解 D由分为D2，D2两局部，如图.例 利用二重积分计算定积分解 因为所以 例 上的连续函数，且，试利用二重积分证明证因为其中 亦即 例 计算，其中解 当从而图，其中D曲线，和所围成，如图10-8。改变积分顺序，则例 设二元函数，计算，其中

3、解：由区域的对称性和被积函数的奇偶性、有其中，D1为D位于第一象限局部，D1由分成两局部：图因为 所以 例 求解 设平面区域D：则二元函数在D上连续，二重积分存在，用平行于*轴和y轴的两组平行线把D分成n2个全等的正方形，如图，取则故图例 设有一阶导数且求。解 采用极坐标，令于是原式=例 设半径为R的球面的球心的定球面上，问当R取什么值时，球面在定球面部的那局部的面积最大。解根据题意不妨设球面的方程为，则两球面的交线在*Oy面投影记1为在定球面的局部，则1在*Oy面投影区域D为. 1的方程，则1的面积 图S为R的函数，下面求S的最大值。令，得驻点舍去。又因此为极大值，即为最大值，故当时，球面在

4、定球面的局部的面积最大。例 设薄片所点区域D是介于两个圆之间的区域，各点处的面密度等于该点到原点的距离，求这薄片的质心。解 区域D如下图，由对称性知薄片的质量所以，所以薄片的质心坐标例 求由抛物线及直线所围成的薄片面密度为常数对于直线的惯性矩。解 设D为平面薄片所占据的*Oy平面上的区域如图，D任一点*,y到直线y=-1的距离平方d2=(y+1)2,故所求惯性矩为例 计算，其中是由曲面与平面z=2所围成的区域。解 从中消去z，得投影柱面方程，在*Oy平面上的投影区域D为：。采用柱面坐标，可表示为：从而计算，其中解：由于将*与z对换，积分区域和被积函数不变，故原积分=2，积分区域为球面围成，采用

5、球面坐标，令图从而，原积分=例 计算，其中是和的公共局部a0。解法一 用球面坐标，根据积分区域特点，必须分成两局部1和2，由及得，则锥面把分成1和2两局部.解法二 由于被积函数与*,y无关，且积分区域中作平行*Oy坐标面向的平面与交线是圆，于是可用先作二重积分再作一定积分先二后一法，因为两球面的交线落在平面上，故当时，为半径为的圆域；当时，为半径为的圆域，因此，例计算三重积分，其中是由抛物面与球面所围成的公共区域。解 被积函数，由于积分区域关于*Oz坐标面对称*y+yz是关于y的奇函数，所以类似地，由于关于yOz坐标面对称，*z是关于z的奇函数，所以于是采用柱面坐标，令，则所以例 ，其中是由与z=1所围成的立体。解令，得球面需将分成两局部、，其中 而 例 设为连续函数，求 解 因为在上连续，根据三重积分的中值定理，至少存在一点，使得注意，当由的连续性，于是有例 设函数具有连续导数，且，求其中为球域：.解 引入球面坐标变换：则，因为时，所以由洛必达法则，原式=例 由曲面和围成的立体，其密度为，求绕直线旋转的转动惯量。解 先求出立体任一点到直线的距离的平方的方向向量，且所以故 由对称性知 图利用柱面坐标，例 设函数连续且恒大于零，其中，证明：在单调增加.解 因为， 故在单调增加.例 设有一半径为的球体，是此球的外表上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到距离的平方成正