全国大学生数学竞赛决赛试卷（数学三四年级）

1、第六届中国大学生数学竞赛决赛三 四年级试卷(数学类，2015年3月)考试形式：闭卷考试时间：180分钟满分：100分题号一二三四五总分满分20151520101010100得分注意：1.前5大题是必答题，再从6-11大题中任选两题，题号要填入上面的表中.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记.如答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号.得分评阅人一、(本题20分，每小题5分)填空题(2) ?数 力3的和为-(1)实二次型2X1X2 X1X3 + 5x2X3的规范型为(3)计算第一型曲面积分的值:( X 2 + 2 y 2 +

2、3 z 2 ) d Sx2+y2+z2=1(4) A = (aij)为3阶实对称矩阵(n 1), rank(A) = n 1, A的每行元素之和均 为0.设2, 3,.,n为A的全部非零特征值.用An表示A的元素an所对应的代数 余子式.则有An =得分评阅人二、（本题15分）设空间中定点P到一定直线l的距 离为p. 一族球面中的每个球面都过点P,且截直线l得到 的弦长都是定值a.求该球面族的球心的轨迹.得分评阅人三、（本题15分）设rz1 z2-Z2ZiZi, Z2 G C其中C表示复数域.试证明：VA G r, A的Jordan标准形Ja仍然属于r；进一步还存在可逆矩阵p G r使得P-i

3、AP = JA.得分评阅人四、（本题20分）设f(x)1x sin ,x0,x = 0;x = 0.求满足不等式的最大常数a.0, a(t) 2 1, Vt G R. j0 f (t)dt = +x.已知 C2 函数 x(t) 满足x(t) + a(t)f (x(t) W 0, Vt G R.求证：x(t)在0, +x)有上界.得分评阅人的非常值整函数f (z).求满足方(1)六、(本题10分)设a,b是两个不同的复数.(尸(z)2 = (f (z) a)(f(z) b)姓名: 准考证号:所在院校:考生座位号:专业：O 密封线答题时不要超过此线O港11+ ,(井関5) 5S 淞用一 FsLgs

4、ch 亍医 L-schi-tz彗涉 K)-Mm*sLebesgue 到角=淋 E G 洛期 A K 771(E) Mn_u mLebesgue得分评阅人八、(本题10分)设三维空间的曲面S满足： P0 = (0, 0, -1) G S;对任意P G S OP 1.得分评阅人九、（本题10分）考虑求解线性方程组Ax = b的如下 迭代格式（aD - C）x（k+1） = （a - 1）D + CT）x（k）+ b,其中D为实对称正定方阵，C是满足C + CT = D - A的实方阵，a为实数.若A 是实对称正定方阵，且aD - C可逆，a 1/2.证明：上述迭代格式对任何初始向 量x（0）收敛.得分评阅人十、（本题10分）设R为0,1上的连续函数环，其 加法为普通的函数加法，乘法为普通的函数乘法.I为R 的一个极大左理想.证明：Vf,g g I, f与g在0,1上必 有公共的零点.得分评阅人十一、本题10分）设在国际市场上对我国某种出 口商品每年的需求量X （单位：吨）是随机变量，X服从 100, 200上的均匀分布.每