力学基础 空间力系

1、第四章 空间力系14 - 1 回 顾1、力在直角坐标轴上的投影 xyzFxFzFyFFxFzFyFFx = FsincosFy = FsinsinFz = Fcosxyz Fx = Fcos Fy= Fcos Fz = FcosFxy = FsinFz = Fcos(1).直接投影法(2).二次投影法22、力的分解3 动画斜齿轮啮合运动4 动画斜齿轮啮合力Fn的分解5 动画斜齿轮受力分析26回顾：力偶矩矢量7回顾：力对点的矩1.定义设空间一力F作用在点A,点O的矩为矢量则定义力F对空间任一的大小方向与矩心的选择有关,因此力对点的矩应画在矩心处.8一.力对点的矩2.的解析表达式力对点的矩与力对轴

2、的矩9Oz力对轴的矩之定义力对轴的矩是力使刚体绕该轴转动效果的度量，是一个代数量，其绝对值等于该力在垂直于该轴的平面上的投影对于此平面与该轴的交点的矩的大小。顶着坐标轴看力使物体绕轴逆时针旋转为正。FFxyFzABh即 mz( F ) = m o( Fxy) = Fxy h = 2OAB力对轴的矩等于零的情形： 力与轴相交( h = 0 ) 力与轴平行( Fxy = 0 )一句话: 只要力与轴在同一平面内,力对轴的矩等于零。FxyFxyFzFxyFxyFzFxy10力对轴的矩之解析表达式设空间中有一个力 FyxyxOzXYFxyXYZFA(x, y, z)力作用点 A的坐标为 x，y，z ;力

3、 F 在三坐标轴的投影分别为 X，Y，Z ;A(x, y, z)A(x, y, z)mz( F ) = mO( Fxy)根据合力矩定理，得 = mO( X ) + mO ( Y ) = xY yX将上式与按同类方法求得的其他两式合并写成：m x ( F ) = y Z z Y m y ( F ) = z Xx Zm z ( F ) = x Y y XXYZXYZ11三.力对点的矩和力对轴的矩之间的关系比较力对点的矩和力对于轴的矩的关系式得力对点的矩与力对轴的矩12手柄 ABCE 在平面 Axy内，在D 处作用一个力F，它垂直y轴，偏离铅垂线的角度为，若CD = a，BCx轴，CE y轴，AB

4、= BC = l。求力F对x、y和z三轴的矩。例 4-1CDEAxzyFB1314显然， Fx = Fsin Fz = Fcos由合力矩定理可得：CDEAxzyFB解法1 将力F沿坐标轴分解为Fx 和Fz。FxFzM x ( F ) = M x ( Fz ) = -F z (AB+CD) = - F ( l + a )cosM y ( F ) = M y ( Fz ) = - F z (BC) = - Fl cosM z ( F ) = M z ( Fx) = -F x (AB+CD) = -F ( l + a )sinFxFzFxFz15解法2直接套用力对轴之矩的解析表达式：力在 x、y、z

5、轴的投影为X = F sin Y = 0Z = - F cos CDEAxzyFBFxFzM x( F ) = yZ zY = ( l + a )(- Fcos) - 0 = - F( l + a )cosM y ( F ) = zX xZ = 0 - ( -l ) (- Fcos) = - FlcosM z ( F ) = xY yX = 0 - ( l + a ) ( Fsin) = -F( l + a )sin163. 力对点的矩和力对轴的矩的关系力对点的矩矢量可以写成：可得 MO( F ) x = M x ( F ) MO( F ) y = M y ( F ) MO( F ) z =

6、M z ( F ) MO( F ) = MO( F )x i + MO( F )y j + MO( F )z k = (yZ zY) i + (zX xZ) j + (xY yX) k 而 M x ( F ) = yZ zY M y ( F ) = zX xZ M z ( F ) = xY yX 结论：力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。17力对点的矩和力对轴的矩的关系（续）如果力对通过O点的直角坐标轴 x、y、z 的矩是已知的，则力对点O的矩的大小和方向余弦为：18图中力F 的大小为10kN，求的力 F 在 x、y、z三坐标轴的投影，以及对三坐标轴的矩和对O点的矩。(长度

7、单位为m)OxyzA(4,9,5)534例 4-2Fijk解：1、先求F的三个方向余弦FF见后续192、求力的投影（F = 10kN）例 4-2（续1）OxyzA(4,9,5)534FijkFF已算得：见后续203、求力对轴的矩例 4-2（续3）OxyzA(4,9,5)534FijkFF已算得：见后续21（求力对轴的矩也完全可以先将力 F 分解为三个分力，再由合力矩定理分别求出力对轴的矩）例 4-2（续4 ）4、求力F对O点的矩由 MO (F ) = M x i + M y j + M z k 得：也可以按如下方法求解：22一.力的平移定理作用在刚体上的一个力，可平行移至刚体中任意一指定点，但

8、必须同时附加一力偶，其力偶矩矢等于原力对于指定点的力矩矢。4.4 空间任意力系的简化.合力矩定理（改“幻灯片设计”白色的）23二.空间任意力系向空间内任一点简化空间任意力系向一点简化可得一力和一力偶，这个力等于各力的矢量和，作用在简化中心O点，即为主矢。这个力偶的矩矢等于各力对于O点的矩矢的矢量和。即为主矩。力偶矩矢 应画在简化中心O点处。主矢:主矩:4.4 空间任意力系的简化.合力矩定理24亦即主矢在各坐标轴上的投影等于各分力矢在同一轴上投影的代数和。主矢的解析表达式三.主矢 与主矩 的解析表达式4.4 空间任意力系的简化.合力矩定理Fi的解析表达式主矢25主矩矢在各坐标轴上的投影等于各分力

9、对各轴的矩的代数和。回顾：力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系主矩：主矩的解析表达式：26四.空间任意力系向空间内任一点简化主矢和主矩均等于零 此时力系处于平衡状态主矢等于零而主矩不等于零 此时力系等效于一个合力偶的作用主矢不等于零而主矩等于零 此时力系等效于一个合力的作用主矢不等于零,主矩也不等于零 此时力系可以进一步简化4.4 空间任意力系的简化.合力矩定理27此时力系可以进一步简化力螺旋2829主矢主 矩最终结果说 明平衡合力偶合力合力力螺旋力螺旋主矩与简化中心无关合力作用线通过简化中心合力作用线距简化中心力螺旋中心线过简化中心力螺旋中心线距简化中心简化的最终结果30五.空间任意力系的

10、合力矩定理若空间力系能合成一个合力，则31一、空间任意力系的平衡方程空间任意力系处于平衡的必要和充分条件是：这力系的主矢和对于任一点的主矩都等于零，即写成空间任意力系的平衡方程4.5 空间任意力系的平衡方程32几种特殊情形平衡规律汇交力系 所有的力矩方程恒等于0 汇交力系有三个平衡方程： X = 0，Y= 0，Z = 0平行力系（假定力的作用线平行 z 轴） X0，Y0 ，Mz 0 平行力系有三个平衡方程： Z = 0，M x = 0 ，M y = 0平面一般力系（假定力的作用面为Oxy面） Z0 ，Mx 0 ，My 0 平面一般力系有三个平衡方程： X = 0，Y= 0，M z = 0334

11、 -7 空间力系平衡问题举例例 4-3 均质长方形薄板重 W = 200N，用球形铰链A和蝶形铰链 B 固定在墙上，并用二力杆 EC 将板维持水平。求 EC 杆的拉力和铰链的反力。WZBXBZAYAXAT解：受力分析如图CADBabyxzE3060ZAYAXAZAYAXAZBXBTZBXBT空间任意力系的平衡方程有六个，所以对于空间任意力系作用下平衡的物体，只能求解六个未知量。本节基本目的：受力分析 平衡方程的建立 解题技巧34例 4-3(续）X = 0，XA + XBT cos30 sin30 = 0Y = 0，YA T cos30 cos30 = 0Z = 0，ZA + ZB W + T

12、sin30 = 0WZBXBZAYAXATCADBabyxzE3060ZAYAXAZAYAXAZAYAXAZBXBTZBXBTZBXBTMz ( F ) = 0， X B a = 0M x ( F ) = 0， Z B a +T sin30 a W a / 2 = 0M y ( F ) = 0， W b / 2 T sin30 b = 0 解之得：XA = 86.6N，YA = 150N，ZA = 100N X B = 0，Z B = 0 ， T = 200NW = 200N35图示三轮小车，自重 P = 8kN，作用于点 E，载荷 P1 = 10N，作用于点 C。求小车静止时地面对车轮的反力

13、。P1PFBFAFD解：以小车为研究对象，受力分析如图FBFAFDFBFAFD0.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0. 2mAC例 4-436P10.2mB0.6m0.6m1.2m2mED0. 2mACFBFDFBFDFBFDFBFDP例 4-4(续）zxyOM x (F) = 0，2FD 1.2P 0.2P1 = 0 FD = 5.8kNM y (F) = 0， 1.2FB +0.8P1 + 0.6P 0.6FD = 0 FB = 7.8kNZ = 0， FA + FB + FD P1 P = 0 FA = 4.4kN适当地选择坐标轴对简化计算非常重要。FAFAFAFA选取坐标轴如图3

14、7在图中，皮带的拉力 F2 = 2F1，曲柄上作用有铅垂力 F = 2000N。 已知皮带轮的直径 D = 400mm，曲柄长R = 300mm，= 30 ，=60 。求皮带拉力和轴承反力。例 4-5200mm200mm200mmDRFF2F1AB38例 4-5(2) (= 30 ，=60 )解: 选坐标轴如图X = 0，F1sin30 + F2sin60 + XA + XB = 0Y = 0，0 = 0Z = 0，ZA + ZB - F - F1cos30 - F2cos60 = 0z yxzxFRDF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB以整个轴为

15、对象，受力分析如图200mm200mm200mmAB(= 30 ，=60 )解: 选坐标轴如图39M x ( F ) = 0，400ZB - 200F + 200 F1cos30 + 200 F2cos60 = 0M y ( F ) = 0，FR - (F2 - F1) D/2 = 0M z ( F ) = 0，200F1 sin30 + 200F2 sin60 - 400XB = 0又有： F2 = 2F1 (由于Y 0，所以只有在题设条件下可解）解得： F1 =3000N，F2 = 6000N， XA = -1004N，ZA = 9397N，XB = 3348N，ZB = -1700Nz

16、yxzxFRDF2F1ZAXAZBXBF2F1FZAXAZBXBZAXAZBXBZAXAZBXB200mm200mm200mmAB= 30 ，=60 例 4-5(3)40水平均质板重P，6根直杆用球铰将板和地面连接，结构如图。求由板重引起得各杆内力。例 4-6解： 给各杆编号受力分析，假定各杆均受拉力S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6S1S2S3S4S5S6MAB = 0MAE = 0S5 = 0MAC = 0S4 = 0MBF = 0S1 = 0MEG = 0S3 = 0MFG = 0 PaBHbADCFGE414 -8 重 心1. 重心的概念及其坐标公

17、式 重力是一个分布力系，可足够精确地视为空间平行力系。一般所谓重力，就是空间平行力系地合力。 可以证明不变形的物体（刚体）在地表面无论怎样放置，其平行分布重力的合力作用线都通过此物体上的一个确定的点，这一点称为物体的重心42ViMiC推导物体重心的坐标公式如果将物体分割为许多小体积，每个小块体积为Vi，所受重力为Pi，则整个物体的重量为P = PiPPi取直角坐标轴如图yizixizCxCyCxzyO根据合力矩定理，对 x 轴取矩，有- P yC = -(P1y1 + P2y2 + + Pnyn) = -Pi yi对y轴取矩，有P xC = (P1x1 + P2x2 + + Pnxn) = P

18、i xi见后续43重心的坐标公式为了求坐标 zC，将物体连同直角坐标系 Oxyz 一起绕 x轴逆时针旋转90重力的方向并无改变对有 x 轴取矩，有P zC = (P1z1 + P2z2 + + Pnzn) = Pi ziViMiCPPiyizixizCxCyCxzyOxzyOViMiCPiPzizC44体积的重心如果物体是均质的，单位体积的重量为 =常量，以Vi 表示微小体积，物体总体积为 V=Vi 。 将Pi = Vi 代入重心公式，得上式的极限为体积重心与比重无关，只与物体的体积有关45面积的重心工程中常采用薄壳结构，其厚度与其表面积S相比是很小的，若薄壳均质等厚的，则重心公式为PPiyi

19、zixizCxCyCxzyOCds46线段的重心如果物体是均质等截面的细长线段，其截面尺寸与其长度 l 相比是很小的，则重心公式为yizixizCxCyCxzyOPPiC47重心公式（1）48重心公式（2）49重心公式（3）50重心公式（4）512. 确定重心的常用方法当物体具有对称轴、对称面或对称中心时，它的重心一定在对称轴、对称面或对称中心上。对于几何形状较复杂的均质物体，往往采用分割法和负面积法分割法负面积法523. 确定重心的常用实验方法实验方法多种多样，但最常见的是悬挂法。CCCC53称重法为了确定具有对称轴的图示连杆的重心xC，线先称出连杆重量 P 。然后将其一端支承于 A 点，另一端放在磅称 B上，测得两点的水平距离 l 及 B 处的约束反力 FB , 假定为 G , 由 MA( F ) = 0 ， P xC FB l = 054本 章 小 结1、力在直角坐标轴上的投影 X = FsincosY = FsinsinZ = FcosXiZiYiFixyzxyzXiZiYiFi X = Fcos Y = Fcos Z = Fcos55本 章